Лекции по функциональному анализу Смолянова О.Г., страница 3

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî∀n |fn (ω)| 6 F (ω) ν ïî÷òè âñþäó.Òîãäà f ∈ L1 (Ω, A, ν) èZZfn (ω) dν.f (ω) dν = limn→∞ΩΩ144 ËåêöèÿÄîêàçàòåëüñòâî. Â óñëîâèè òåîðåìû −F (ω) ≤ fn (ω) ≤ F (ω) ν ïî÷òè âñþäó. ⇒ ìîæíîïðèìåíèòü òåîðåìó Ôàòó-Ëåáåãà.ZZZZlimfn (ω) dν 6lim fn (ω) dν =lim fn (ω) dν 6 limfn (ω) dνn→∞n→∞ΩΩÑëåäîâàòåëüíî, åñëèZlimn→∞Zn→∞ΩZfn (ω) dν, òàê ÷òîfn (ω) dν > limn→∞ΩΩZfn (ω) dν = limlimn→∞n→∞Ωfn (ω) dν ⇒ ∃ limn→∞ΩZΩÈòàê,ΩZZlimfn (ω) dν =n→∞fn (ω) dν.n→∞Ωlim fn (ω) dν.n→∞Ω¤Ò Å Î Ð Å Ì À 5 (Ôàòó).

Ïóñòü (fn ) - ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåîòðèöàòåëüíûõ èçìåðèìûõ ôóíêöèé, ïðè÷åìZ0 6 fn (ω) → f (ω) ν ïî÷òè âñþäóè∃C > 0 : ∀ nfn (ω) 6 C.ΩÒîãäàZf ∈ L1 (Ω, A, ν) èf (ω) dν 6 C.ΩÄîêàçàòåëüñòâî. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn (·) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû Ôàòó-ËåáåãàZZlim fn (ω) dν 6 limfn (ω) dν 6 C è òàê êàê fn (ω) → f (ω),òîRΩn→∞n→∞Ωf (ω) dν 6 C.Ω¤Â óñëîâèÿõ òåîðåìû Ôàòó çàêëþ÷åíèå òåîðåìû Ëåáåãà íå îáÿçàíî âûïîëíÿòüñÿ.Çàìå÷àíèå (1).

Ïðèâåäåì ïðèìåð. Ïóñòü Ω = [0, 1], A - ñèãìà-àëãåáðà èçìåðèìûõ ïîËåáåãó ìíîæåñòâ, ν - ìåðà Ëåáåãà. Ðàññìîòðèì ôóíêöèè, èçîáðàæåííûå íà ïåðâîì ðèñóíêåñëåäóþùåé ñòðàíèöû.n→∞Î÷åâèäíî, ÷òî fn (ω) → 0 ∀ω .Z1∀n äàííîì ñëó÷àå limRn→∞ Ω0fn (ω) dν =126=1fn (ω) dν 6 .2Rlim fn (ω) dν = 0.Ω n→∞154 ËåêöèÿÇàìå÷àíèå (2). Åñëè â òåîðåìå Ôàòó èñêëþ÷èòü óñëîâèå fn (ω) > 0, òî òåîðåìà ñòàíåòíåâåðíîé.Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèè, èçîáðàæåííóþ íà âòîðîì ðèñóíêå òîé æåñòðàíèöû. Ñ÷èòàåì, ÷òî(1,åñëè x ∈ [ n1 , 1] ∪ {0};∀ n fn (ω) =−(n − 1), åñëè x ∈ (0, n1 ).n→∞Òîãäà fn (ω) −→ 1Z∀nZ1fn (ω) dν = 0 ≤ = C è2Ω1lim fn (ω) dν = 1 .n→∞2ΩÎïðåäåëåíèå 11.

Ïóñòü èìååòñÿ (Ω, A, ν) - ïðîñòðàíñòâî ñ ìåðîé, C ∈ A, νC > 0.AC −σ -àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ C , ñîñòîÿùàÿ èç âñåõ ìíîæåñòâ èç A, êîòîðûå ñîäåðæàòñÿ â C . Òîãäà ïðîñòðàíñòâî (C, AC , νC ) íàçûâàåòñÿ èçìåðèìûì ïîäïðîñòðàíñòâîì ïðîñòðàíñòâà (Ω, A, ν) (ñóæåíèå ôóíêöèè f ∈ L1 (Ω, Aν ) íà C ïðèíàäëåæèò L1 (C, AC , νC )).Ñëåäñòâèå 1.

Ïóñòü f ∈ L1 (Ω, A, ν), òîãäà∀A ∈ A f ∈ L1 (A, AA , νA ).RÑëåäîâàòåëüíî, îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ A 3 C 7→ f (ω) dν. Ýòà ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ñ÷åòíîCàääèòèâíîé.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü C =∞Fn=1Cn . Íóæíî äîêàçàòü, ÷òîZf (ω) dν =∞ ZXn=1Cf (ω) dνCnZZ f (ω) dν = f (ω)γc (ω) dν  .CΩ164 ËåêöèÿÒàê êàê C =∞Fn=1Cn , òî γc (ω) =∞Pn=1γCn (ω) ⇒∞Xf (ω)γc (ω) =f (ω)γCn (ω).n=1Ðàññìîòðèì: gk (ω) =kPn=1f (ω)γCn (ω) - ÷àñòè÷íûå ñóììû.Èç òîãî, ÷òî f ∈ L1 ñëåäóåò,f (ω)γC (ω) ∈ L1 ⇒ |f (ω)γc (ω)| ∈ L1 .Òîãäà∀k |gk (ω)| = |kXf (ω)γCn (ω)| 6 |f (ω)|.n=1Òî åñòü âûïîëíåíî óñëîâèå òåîðåìû Ëåáåãà∞Xf (ω)γC (ω) =f (ω)γCn (ω) = lim gn (ω).n→∞n=1ZZZf (ω) dν =Cgk (ω) dν = limf (ω)γC (ω) dν = limk→∞k→∞ΩΩ= limk→∞k ZXf (ω) dν =n=1 C∞ ZXn=1 Cnk ZXf (ω)γCn dν =n=1 Ωf (ω) dν.n¤Ñëåäñòâèå 2 (èç òåîðåìû Áåïïî-Ëåâè).

Ïóñòüg(ω) =∞Pn=1gn (ω). ÒîãäàZg(ω)ν(dω) =∞ RPn=1 Ω∞ ZXgn (ω)ν(dω).n=1 ΩΩÅñëè åùå∀n gn (ω) > 0 - ïî÷òè âñþäó ègn (ω)ν(dω) < ∞, òîRg(ω)ν(dω) < ∞, òî åñòü g(·) ∈ L1 è, ñëåäîâàòåëüíî,Ωg(ω) < ∞ ν -ïî÷òè âñþäó.Óïðàæíåíèå 5. Äîêàçàòü ñëåäñòâèå.Âñÿêîé ôóíêöèè f ∈ L̄1 (Ω, A, ν) ìîæíî ñîïîñòàâèòü ôóíêöèþ ìíîæåñòâà νf íà A :Zνf (A) = f dν.A174 ËåêöèÿÎïðåäåëåíèå 12. ν, µ - íåîòðèöàòåëüíûå ìåðû íà èçìåðèìîì ïðîñòðàíñòâå (Ω, A). Ãî-âîðÿò, ÷òî ìåðà ν àáñîëþòíî íåïðåðûâíà (ν ¿ µ) îòíîñèòåëüíî ìåðû µ, åñëè ∀C ∈ Aèç òîãî, ÷òî µC = 0 ñëåäóåò, ÷òî νC = 0.Ï Ð È Ì Å Ð.

νf ¿ ν (f > 0).Ò Å Î Ð Å Ì À 6. ν ¿ µ ⇔ ∀ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (Cn ) ⊂ Ω, ∀n Cn ∈ A, èç òîãî, ÷òîµC → 0 ñëåäóåò, ÷òî νC → 0.(Äðóãèìè ñëîâàìè, ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀C ∈ A åñëè µC < δ, òî νC < ε.)Äîêàçàòåëüñòâî. ⇐ Åñëè µC = 0, òî νC = 0 (ýòî î÷åâèäíî).⇒ Áóäåì äîêàçûâàòü îò ïðîòèâíîãî. Íàì íàäî ïðèâåñòè ê ïðîòèâîðå÷èþ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:∃ ε > 0 : ∀δ > 0 ∃Cδ ∈ A : µCδ < δ , íî νCδ > ε.Áóäåì áðàòü â êà÷åñòâå δ ýëåìåíòû δn ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè∞Xδn < ∞,∀n δn > 0 =⇒ ∀ n > 0, ∃Cδn ≡ C n : µ C n < δn , νC n > ε.n=1Ïîëîæèì Ak =∞Sn=kC n . ßñíî, ÷òî ýòè ìíîæåñòâà âëîæåíû äðóã â äðóãà:A1 ⊃ A2 ⊃ . . . ;Ââåäåì òàêæå ñëåäóþùåå îáîçíà÷åíèå A =Òåïåðü îöåíèì ìåðó ìíîæåñòâà Ak :µAk 6∞X∞Tk=1Ak .δn → 0 (k → ∞).n=kÑëåäîâàòåëüíî,(∀kk→∞A ⊂ Ak ) =⇒ µA 6 µAk → 0 =⇒ µA = µ∞\Ak = 0.k=1Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî νA = 0.

Èç ñ÷åòíîé àääèòèâíîñòè ìåðû ν âûòåêàåò, ÷òîνAk → ν∞\Ak = 0.k=1Ñ äðóãîé ñòîðîíû, Ak =∞Sn=kC n , çíà÷èò Ak ⊃ C n , åñëè n > k .Âñïîìíèì, ÷òî νC n > ε ⇒ νAk > νC n > ε ⇒ ìû ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå.¤185 ËåêöèÿÏóñòü ñíîâà (Ω, A, µ) - ïðîñòðàíñòâî ñ ìåðîé è f ∈ L1 (Ω, A, µ); ïîëîæèìZ(f µ)(A) = µf (A) = f (ω) dµ.AÃîâîðÿò, ÷òî ýòà ìåðà fµ ≡ µf - ýòî ïðîèçâåäåíèå ìåðû µ è f . Ïðè ýòîìµf ¿ µ (f µ ¿ µ),òàê êàê, â ñèëó îäíîãî èç ñâîéñòâ èíòåãðàëà, µA = 0 ⇒ µf A = 0.Ñâîéñòâî àáñîëþòíîé íåïðåðûâíîñòè èíòåãðàëà Ëåáåãà.¯¯¯¯Z¯¯¯∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀A ∈ A, åñëè µA < δ, òî ¯ f (ω) dµ¯¯ < ε.¯¯AÄëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü ýòî ñâîéñòâî, íóæíî ïðîñòî çàìåòèòü, ÷òî µ|f | ¿ µ è âîñïîëüçîâàòüñÿ íåðàâåíñòâîì:ZZ| f (ω) dµ| ≤ |f (ω)| dµ < ε.AΩ5 ËåêöèÿÏóñòü S - êîëüöî ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà Ω.Îïðåäåëåíèå 13.

Ìåðà ν íà êîëüöå S ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà Ω íàçûâàåòñÿ σ -êîíå÷íîé,åñëèΩ=∞[Ωj ,Ωj ∈ S,νΩj < ∞ äëÿ êàæäîãî j.j=1Ââåäåì âìåñòî ìíîæåñòâà Ωn ìíîæåñòâî Ωn0 =nSj=1Ωj , òîãäàΩ10 ⊂ Ω20 ⊂ Ω30 ⊂ . . . äàëüíåéøåì áóäåì èñïîëüçîâàòü ìíîæåñòâà Ωn0 , íî øòðèõ ïèñàòü íå áóäåì äëÿ óäîáñòâà çàïèñè. ýòîì ñëó÷àå äëÿ ëþáîãî j ðàññìîòðèì (Ωj , Sj , νj ), ãäåSj = {A ∈ S|A ⊂ Ωj }è νj - ñóæåíèå ìåðû ν íà ñîâîêóïíîñòü ìíîæåñòâ Sj ; ïðè ýòîì Sj - ýòî àëãåáðà ìíîæåñòâ.Ïóñòü òåïåðü, äëÿ âñÿêîãî j, ν j - ïðîäîëæåíèå νj íà σ -àëãåáðó σ(Sj ) νj -èçìåðèìûõïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà Ωj .Îáúÿâèì, ïî îïðåäåëåíèþ, ÷òî¡¢A ∈ σ(S) ⇐⇒ ∀j A ∩ Ωj ∈ σ(Sj ) Ω ∩ Ωj = Ωj ∈ Sj ⊂ σ(Sj ) ⊂ σ(Sj ) .\νA = lim ν j (A Ωj ) −- ýòîò ïðåäåë âñåãäà ñóùåñòâóåò, òàê êàê ν íå óáûâàåò.195 ËåêöèÿÓïðàæíåíèå 6.

Äîêàçàòü, ÷òî ν - ñ÷åòíî-àääèòèâíàÿ ìåðà, ïðèíèìàþùàÿ, áûòü ìîæåò,áåñêîíå÷íûå çíà÷åíèÿ.¡¢Ïóñòü Ω = R, S - ïîëóêîëüöî êîíå÷íûõ ïîëóèíòåðâàëîâ [α, β) è ν [α, β) = β − α. êà÷åñòâå Ωn âîçüìåì îòðåçîê [−n, n]. Òîãäà ïîëó÷èì (R, σ(S), ν).Îïðåäåëåíèå 14.

σ(S) − σ -àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ ïðÿìîé, èçìåðèìûõ ïî Ëåáåãó, à ν ìåðà Ëåáåãà. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ è ìåðà Ëåáåãà íà Rn .Âñå òåîðåìû ñïðàâåäëèâû òàêæå è äëÿ ìåðû, êîòîðàÿ ïðèíèìàåò áåñêîíå÷íûå çíà÷åíèÿ.Òîëüêî â îïðåäåëåíèè èíòåãðàëà íàäî ðàññìàòðèâàòü ïðîñòûå íåîòðèöàòåëüíûå ôóíêöèè,êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ êîíå÷íûìè ëèíåéíûìè êîìáèíàöèÿìè èíäèêàòîðîâ ìíîæåñòâ, èìåþùèõ êîíå÷íóþ ìåðó.Ò Å Î Ð Å Ì À 7. Åñëè âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ f : [0, 1] → R èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó âñîáñòâåííîì ñìûñëå, òî îíà èíòåãðèðóåìà ïî Ëåáåãó è èíòåãðàëû ñîâïàäàþò.Äîêàçàòåëüñòâî.

Åñëè f - èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó, òî äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ îòðåçêà [0, 1]ñóììû Äàðáó ñõîäÿòñÿ ê èíòåãðàëó Ðèìàíà. Ðàññìîòðèì òàêîå ðàçáèåíèå îòðåçêà íà 2nîäèíàêîâûõ ÷àñòåé. Çàïèøåì ñóììû Äàðáó.2nP∀k ak = sup f (x) ⇒ak 21n = S n (f ) - âåðõíÿÿ ñóììà Äàðáó., k )x∈[ k−12n 2n∀kak =inf, k )x∈[ k−12n 2nk=12nPf (x) ⇒ak 21n = S n (f ) - íèæíÿÿ ñóììà Äàðáó.k=1Îáå ýòè ñóììû èìåþò ïðåäåëû, êîòîðûå ðàâíû:Z1(R)f (x) dx = lim S n (f ) = lim S n (f ).n→∞n→∞0Ââåäåì íåêîòîðûå âñïîìîãàòåëüíûå ôóíêöèè, äëÿ êîòîðûõ èíòåãðàë Ëåáåãà áóäåò ñîâïàäàòü ñ ñóììàìè Äàðáó.nf n (x) =2Xk=1nak γ[ k−1k (x),n , n)22fn (x) =2Xak γ[ k−1k (x)n , n)2k=12Ïî îïðåäåëåíèþ ∀n, x ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî fn (x) 6 f (x) 6 f n (x).Áîëåå òîãî,inf f (x) 6 f1 (x) 6 f2 (x) 6 .

. . 6 f (x) 6 . . . 6 f 2 (x) 6 f 1 (x) 6 sup f (x).x∈[0,1]x∈[0,1]Òàê êàê ôóíêöèÿ èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó, òî | inf f (x)|, | sup f (x)| < ∞ è, â ñèëó ìîíîòîííîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé,∃ lim fn (x) = f (x) 6 f (x) 6 f (x) = lim f n (x)n→∞n→∞205 ËåêöèÿÇàìåòèì, ÷òîZ∀n (L)f n (x) dx =[0,1]Z X2nak γ[ k−1k (x) dx =n , n)2k=1[0,1]Zn22Xk=1RÀíàëîãè÷íî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ∀n (L)aknγ[ k−1k (x) dx =n , n)22[0,1]2Xk=1ak1= S n (f )2nfn (x) dx = S n (f ).[0,1]Ñëåäîâàòåëüíî,R1R(L)f n (x) dx = S n (f ) → (R) f (x) dx(L)[0,1]0RR1fn (x) dx = S n (f ) → (R)[0,1]f (x) dx0Ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿì fn , f n ïðèìåíèìà òåîðåìà Ëåáåãà î ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå ïîä çíàêîì èíòåãðàëà. Çíà÷èò,ZZ1Z(L)f n (x) dx →f (x) dx = (R)f (x) dx[0,1][0,1]0ZZZ1(L)fn (x) dx →[0,1]f (x) dx = (R)f (x) dx0[0,1]Ìû òåïåðü çíàåì, ÷òî∀x f (x) 6 f (x) 6 f (x) (∗)Ïîëó÷àåì, ÷òîZ(L)¡¢f (x) − f (x) dx = 0.[0,1]Çíà÷èò, f (x) = f (x) ïî÷òè âñþäó.

 ñèëó (*):f (x) = f (x) = f (x) ïî÷òè âñþäó.À, çíà÷èò, f (x) - èçìåðèìà (òàê êàê f (x) è f (x) - èçìåðèìû), è èíòåãðàë Ëåáåãà îò íååñîâïàäàåò ñ èíòåãðàëîì îò f (x). Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷àåì, ÷òîZ(L)[0,1]Zf (x) dx =Z1f (x) dx = (R)f (x) dx.0[0,1]¤Óïðàæíåíèå 7. Âûâåñòè èç íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà, ÷òî åñëè èíòåãðàë Ëåáåãà îò íåîòðè-öàòåëüíîé ôóíêöèè ðàâåí 0, òî ñàìà ôóíêöèÿ ðàâíà íóëþ ïî÷òè âñþäó.216 ËåêöèÿÁóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèè f è g íà ïðîñòðàíñòâå ñ ìåðîé (íå ïðåäïîëàãàåìûå èçìåðèìûìè) ñîâïàäàþò ïî÷òè âñþäó, åñëè ìíîæåñòâî {ω : f (ω) 6= g(ω)} ñîäåðæèòñÿ âíåêîòîðîì ìíîæåñòâå ìåðû íóëü.Îïðåäåëåíèå 15. Ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâî ñ ìåðîé (Ω, A, ν).

Ìåðà ν - íàçûâàåòñÿïîëíîé, åñëè ∀ A ∈ A : νA = 0, ∀ B ⊂ A ⇒ B ∈ A, νB = 0.ÏÐÅÄËÎÆÅÍÈÅ 5. Ïóñòü f - èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ íà ïðîñòðàíñòâå ñ ïîëíîé ìåðîé,òîãäà åñëè g(x) = f (x) ν−ïî÷òè âñþäó, òî g(x) - èçìåðèìà.Äîêàçàòåëüñòâî. ∀c ∈ R ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî {g(x) < c} è ñðàâíèì ýòî ìíîæåñòâî ñìíîæåñòâîì {f (x) < c} ∈ A. Èç îïðåäåëåíèÿ ñîâïàäåíèÿ ôóíêöèé f è g ν -ïî÷òè âñþäó,ìîæíî âûâåñòè, ÷òî{g(x) < c} \ {f (x) < c} ⊂ D, νD = 0,{f (x) < c} \ {g(x) < c} ⊂ D1 , νD1 = 0,¡¡¢¢ [¡¢{g(x) < c} = {f (x) < c} \ {f (x) < c} \ {g(x) < c}{g(x) < c} \ {f (x) < c} .Èòàê, ìû äîêàçàëè, ÷òî g(x) èçìåðèìà, åñëè ìåðà ν ïîëíà.6 ËåêöèÿÎïðåäåëåíèå 16. Ïóñòü f : [0, 1] → R1 , ïðè÷åì·∀ n ∈ N, ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó íà îòðåçêå¸1,1 .nÔóíêöèÿ f - èíòåãðèðóåìà â íåñîáñòâåííîì ñìûñëå íî Ðèìàíó íà îòðåçêå [0, 1] (èíîãäà â ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò î ïîëóèíòåðâàëå (0, 1]),Z1åñëè ∃ lim (R)f (x) dx;n→∞1nýòîò ïðåäåë íàçûâàåòñÿ íåñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì Ðèìàíà; ìû îáîçíà÷èì åãî òàê:Z1(R)f (x) dx;0ýòîò èíòåãðàë ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî, åñëèZ1∃ limZ1|f (x)| dx = (R)n→∞|f (x)| dx01nÒ Å Î Ð Å Ì À 8.

Ïóñòü f - âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ íà [0, 1], íåïðåðûâíàÿ íà (0, 1]. Ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà ïî Ëåáåãó òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó,áûòü ìîæåò, â íåñîáñòâåííîì ñìûñëå, è èíòåãðàë ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî.226 ËåêöèÿÄîêàçàòåëüñòâî. Äàëåå ìû íå ðàçëè÷àåì îòðåçîê [0, 1] è ïîëóèíòåðâàë (0, 1]. Ðàññìîòðèìâñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ gn (x)(f (x), åñëè x > n1gn (x) =0,åñëè x < n1Çàìåòèì, ÷òî lim gn (x) = f (x), x > 0. Íà îñíîâàíèè ïðåäûäóùåé òåîðåìû, ìîæåì çàïèn→∞ñàòüZ1Z1Z1(R) f (x) dx = (R) gn (x) dx = (L) gn (x) dx01nZ1Z1(R)|f (x)| dx = (R)Z1|gn (x)| dx = (L)01nZ1(R)|gn (x)| dx.0Z1|f (x)| dx (ïî îïðåäåëåíèþ)|f (x)| dx → (R)01nZZ1|gn (x)| dx → (L)(L)0|f (x)| dx (ïî òåîðåìå Áåïïî-Ëåâè, òàê êàê |gn (x)| % |f (x)|)0Òàê êàê (R)R10|f (x)| dx < ∞, ïîëó÷àåì, ÷òîZ1|f (x)| dx < ∞ ⇒ |f (·)| ∈ L1 (0, 1),(L)0à, çíà÷èò, ñàìà ôóíêöèÿ f - èíòåãðèðóåìà ïî Ëåáåãó (f (·) ∈ L1 (0, 1)).Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òîZ1Z1(L) f (x) dx = (R) f (x) dx.00236 ËåêöèÿÏî îïðåäåëåíèþ ∀n|gn (x)| 6 |f (x)|gn (x) → f (x).Çíà÷èò, ìû íàõîäèìñÿ â óñëîâèÿõ òåîðåìû Ëåáåãà î ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå ïîä çíàêîìèíòåãðàëà.Z1(R)Z1gn (x) dx = (L)Z1f (x) dx (ïî òåîðåìå Ëåáåãà)gn (x) dx → (L)000Z1Z1Z1(R)gn (x) dx = (R)0deff (x) dx → (R)f (x) dx ∈ R.01nÌû äîêàçàëè, ÷òî èíòåãðàëû ñîâïàäàþò, åñëè èíòåãðàë Ðèìàíà ñóùåñòâóåò.Åñëè ïðîäåëàòü òå æå âûêëàäêè â îáðàòíóþ ñòîðîíó, ìîæíî ïîëó÷èòü è îáðàòíîå óòâåðæäåíèå (îñòàâëÿåì â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ).Ï Ð È Ì Å Ð.