Лекции по функциональному анализу Смолянова О.Г., страница 6

Ýòî ñîâïàäàåò ñíàøèì îïðåäåëåíèåì.Îïðåäåëèì òîïîëîãèþ â D.Îïðåäåëåíèå 24. Âûïóêëîå ïîäìíîæåñòâî V ∈ D íàçûâàåòñÿ îòêðûòûì òîãäà è òîëü-êî òîãäà, êîãäà:∀n V ∩ D[−n,n] îòêðûòî â D[−n,n] .Ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî â D íàçûâàåòñÿ îòêðûòûì, åñëè åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü ââèäå ñ÷åòíîãî îáúåäèíåíèÿ âûïóêëûõ îòêðûòûõ ìíîæåñòâ.Óïðàæíåíèå 11. Ïîêàçàòü, ÷òî ñõîäèìîñòü â D îòíîñèòåëüíî òîëüêî ÷òî îïðåäåëåííîéòîïîëîãèè - ýòî òà, êîòîðóþ ìû îïðåäåëèëè âíà÷àëå.Ï Ð È Ì Å Ð.(f (t) =01e− t2åñëè t 6 0,èíà÷å.Ðàññìîòðèì ψ(t) = f (−t), ϕab (t) = ψ(t − b)f (t − a), a < b.Çíà÷èò, ϕab (t) ∈ D, òàê ÷òî ïðîñòðàíñòâî D íåòðèâèàëüíî (ñîñòîèò íå òîëüêî èç íóëÿ).Ïóñòü g(t) = ϕa−ε, a (t) − ϕb, b+ε (t), a < b èZtε(t)Fa,b=cg(x) dx,c = R∞−∞−∞401ϕa−ε, a (x) dx.9 ËåêöèÿÎáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ F íàä D - ýòî ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé ôóíêöèîíàë íà D, F ∈ D0 .Ïóñòü, êàê îáû÷íî, L1 (R1 ) - ïðîñòðàíñòâî âñåõ (êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè) èíòåãðèðóåìûõïî Ëåáåãó ôóíêöèé íà ïðÿìîé:1Lloc1 (R ) − ïðîñòðàíñòâî âñåõ ëîêàëüíî èíòåãðèðóåìûõ ïî Ëåáåãó ôóíêöèé,11òî åñòü f ∈ Lloc1 (R ) ⇐⇒ ∀a > 0 f γ[−a,a] ∈ L1 (R ).1Ïðèìåðîì òèïè÷íîé ôóíêöèè èç Lloc1 (R ) ÿâëÿåòñÿ ëþáîé ìíîãî÷ëåí.loc11Òåïåðü ïîñòðîèì âëîæåíèå L1 (R ) → D0 .

Äëÿ ëþáîé ôóíêöèè g ∈ Lloc1 (R ) çàäàäèìñîîòâåòñòâèåZ∞g 7→ Fg ∈ D0 , ãäå Fg (ϕ) =g(t)ϕ(t) dt.−∞Fλ1 g1 +λ2 g2 = λ1 · Fg1 + λ2 · Fg2 −- òî åñòü îòîáðàæåíèå ëèíåéíî.Íóæíî äîêàçàòü, ÷òî Fg = 0 â D0 , òî åñòü äëÿ ëþáîé ôóíêöèè ϕ ∈ D Fg (ϕ) = 0 òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà g(t) = 0 ïî÷òè âñþäó.Ï Ð È Ì Å Ð. Ïóñòü ϕ ∈ D 7→ ϕ0 (0). Ýòîò ôóíêöèîíàë íå ñîâïàäàåò íè ñ îäíèì ôóíêöèîíàëîì Fg .RÊàæäîé ìåðå ν ìîæíî ñîïîñòàâèòü Fν =ϕ dν (íî ôóíêöèîíàë ϕ 7→ ϕ0 (0) íå áóäåòR11îáðàçîì íèêàêîé ìåðû è òåì áîëåå íèêàêîé ôóíêöèè èç Lloc1 (R )).4110 Ëåêöèÿ10 ËåêöèÿÐàíåå áûëî ââåäåíî ïðîñòðàíñòâî D:D=∞[D[−n,n] .n=1Îïðåäåëåíèå 25. Òîïîëîãèÿ â D çàäàåòñÿ ñåìåéñòâîì P. P ñîñòîèò èç âñåõ ïîëóíîðìp, òî åñòüp ∈ P ⇔ ∀n p ¹ D[−n,n] − íåïðåðûâíàÿ ïîëóíîðìà íà D[−n,n] .Óïðàæíåíèå 12. Äîêàçàòü, ÷òî ýòî îïðåäåëåíèå òîïîëîãèè ýêâèâàëåíòíî ïðåäûäóùåìó.1Íàïîìíèì, ÷òî äëÿ ëþáîé ψ ∈ Lloc1 (R ) èìååòñÿ îòîáðàæåíèå:Z∞ψ 7→ Fψ ∈ D0 , ãäå Fψ (g) =ψ(x)g(x) dx.−∞Íàäî äîêàçàòü, ÷òî åñëè ∀g Fψ (g) = 0, òî ψ(x) = 0 ïî÷òè âñþäó.Çàìåòèì, ÷òî ∀[a, b] ⊂ Rγ[a,b] (x) = lim gn (x) ∀n gn ∈ D.n→∞Äëÿ ∀ n ôóíêöèÿ gn îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.1, åñëè x ∈ [a, b]11gn (x) = 0, åñëè x ∈/ [a − 2n, b + 2n]èíà÷å, ïðîìåæóòî÷íîå çíà÷åíèÿ1/2nÍàïðèìåð, ìîæíî ïîëîæèòü gn (x) = Fa, b (x).Äëÿ ëþáîãî n ∈ N âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùåå:ZZZFψ (gn ) = 0 = gn (x)ψ(x) dx −→γ[a,b] (x)ψ(x) dx =ψ(x) dx.RR[a,b]Ïî îïðåäåëåíèþ èçìåðèìîãî ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâà A ⊂ R,∀ε > 0 ∃ Pε − êîíå÷íîå îáúåäèíåíèå îòðåçêîâ: ν(A4Pε ) < ε.4210 ËåêöèÿÎòñþäà è èç ïðåäûäóùåãî ñëåäóåò, ÷òî:ZZ∀ε > 0ψ(x) dx = 0 =⇒ψ(x) dx = 0;PεAòàê êàê ýòî âåðíî äëÿ êàæäîãî A, â ÷àñòíîñòè, äëÿ A+ = {x : ψ(x) > 0} è äëÿA− = {x : ψ(x) 6 0}, òîψ(x) = 0 ïî÷òè âñþäó.1∗Òàêèì îáðàçîì, ìû äîêàçàëè, ÷òî âëîæåíèå Lloc1 (R ) â D èíúåêòèâíî.

Ýòî âëîæåíèåäàåò íàì ïðàâî íàçûâàòü D∗ - ïðîñòðàíñòâîì îáîáùåííûõ ôóíêöèé.1∗Lloc1 (R ) ⊂ D .Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ è âëîæåíèå â D∗ ïðîñòðàíñòâà M(R1 ) ∈ D∗ ìåð íà R1 :Z1∗M(R ) 3 ν 7→ Fν ∈ D ; Fν (g) = g(x) dx.R1Àíàëîãè÷íî ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî, åñëè äëÿ ëþáîé ôóíêöèè g ∈ D Fν (g) = 0,òî ∀A - áàðåëåâñêîå ìíîæåñòâî A ⊂ R, ν(A) = 0.Ïîäðîáíåå. Âíà÷àëå íàäî äîêàçàòü, ÷òî∀[a, b] ⊂ R ν([a, b]) = 0.À ïîòîì ïåðåéòè ê ìíîæåñòâó À (îíî ìîæåò áûòü àïïðîêñèìèðîâàíî îòðåçêàìè ñ ëþáîéñòåïåíüþ òî÷íîñòè).Ââåäåì òåïåðü îïåðàöèè íàä îáîáùåííûìè ôóíêöèÿìè:(1) Óìíîæåíèå íà ÷èñëî. Ïóñòü E(R1 ) = E - âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé íà R1 .

Ïóñòü ϕ ∈ E, F ∈ D0 , òîãäà ∀ g ∈ D, ϕg ∈ D è ïðîèçâåäåíèåϕF îïðåäåëÿåòñÿ òàê:(ϕ · F, g) = (F, ϕ · g),[F (g) ≡ (F, g)],∀ g ∈ D.Ïðîâåðèì, ÷òî ýòî îïðåäåëåíèå ñîãëàñóåòñÿ ñ îáû÷íûì:locÐàññìîòðèì ψ ∈ Lloc1 (R) è ϕ ∈ E. Òîãäà ϕψ ∈ L1 (R).Ïðîâåðÿåì:ZZFϕψ (g) = (Fϕψ , g) = ϕ(x)ψ(x)g(x) dx = ψ(x) · (ϕ · g) dx = (Fψ , ϕ · g) = (ϕ · Fψ , g).RR4310 Ëåêöèÿ(2) Äèôôåðåíöèðîâàíèå.

Åñëè F ∈ D0 , ϕ ∈ D, òî ïî îïðåäåëåíèþ ñ÷èòàåì, ÷òî(F 0 , ϕ) = −(F, ϕ0 ), ϕ0 ∈ D.Ïðîâåðèì, ÷òî ýòî îïðåäåëåíèå ñîãëàñóåòñÿ ñ îáû÷íûì.Ïóñòüg ∈ C 1 (R) ⊂ Lloc1 (R), òîãäàZZ¢¡000(Fg ) , ϕ = −(Fg , ϕ ) = − g(x)ϕ (x) dx = g 0 (x)ϕ(x) dx = (Fg0 , ϕ),RR0òî åñòü (Fy ) = Fy0 .Ìîæíî ãîâîðèòü âìåñòî îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ ñîïîñòàâëåííàÿ îáû÷íîé - ðàññìîòðèìîáû÷íóþ ôóíêöèþ êàê îáîáùåííóþ è çàïèñûâàòü(Fg , ϕ) = (g, ϕ).0E ⊂ C1 (R) ⊂ Lloc1 (R) ⊂ DÅñëè ââåñòè òîïîëîãèþ íà D0 , òî ýòè ïðîñòðàíñòâà áóäóò ïëîòíû â D0 . Îïðåäåëèìδ -ôóíêöèþ Äèðàêà ñëåäóþùèì îáðàçîì:Z(δ, ϕ) = ϕ(0) = ϕ(x)νδ (dx) = ϕ(0) · νδ ({0}) = ϕ(0),Rïðè÷åì νδ (A) = 1, åñëè A 3 0, è νδ (A) = 0, åñëè A 63 0.Óïðàæíåíèå 13. Íàéòè ôóíêöèþ Θ, òàêóþ ÷òî Θ0 = δ .Ââåäåì S - ïðîñòðàíñòâî âñåõ áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõ áûñòðî óáûâàþùèõ ôóíêöèé, ïðè÷åì D ⊂ S ⊂ E.

Òî åñòü:ϕ ∈ S =⇒ ϕ ∈ E è ∀ n, k ∈ Z+sup(1 + x2 )n |ϕ(k) (x)| < ∞. ýòîì ïðîñòðàíñòâå ìîæíî ââåñòè ñåìåéñòâî ïîëóíîðì:P 3 p ⇐⇒ ∃n, k : pnk = max(1 + x2 )n |ϕ(k) (x)|, ϕ ∈ S.x∈RÇàìåòèì, ÷òî ìåòðèêà:ρ(ϕ, ψ) =X 1 pnk (ϕ − ψ)2kn 1 + pnk (ϕ − ψ)k,n- îïðåäåëÿåò òàêóþ æå òîïîëîãèþ â S , ÷òî è ñåìåéñòâî ýòèõ íîðì. Îòìåòèì åùå ðàç, ÷òîD ⊂ S.Óïðàæíåíèå 14. Äîêàçàòü, ÷òî D - ïëîòíî â S .4410 ËåêöèÿÓïðàæíåíèå 15. Íàïîìíèì, ÷òî D =∞Sn=1D[−n,n] .

Ïðè ýòîì:∀n D[−n,n] ⊂ S ⊂ E.Òîïîëîãèÿ â D[−n,n] , ïîðîæäåííàÿ òîïîëîãèåé ïðîñòðàíñòâà S ñîâïàäàåò ñ òîé, êîòîðóþââåëè â D[−n,n] ðàíüøå, íî äëÿ D ýòî íå òàê.Çàìå÷àíèå. Ïóñòü F - ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë íà D. F - íåïðåðûâåí òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà ∀ n ñóæåíèå F íà D[−n,n] - íåïðåðûâíî.Äîêàæåì ⇐ (⇒ î÷åâèäíî). Ïóñòü PD - ñåìåéñòâî ïîëóíîðì â D, êîòîðîå çàäàåò òîïîëîãèþ íà D.

Ïóñòü ïîëóíîðìà îïðåäåëÿåòñÿ òàê:pF (ϕ) = |F (ϕ)|.Ñóæåíèå pF íà êàæäîå D[−n,n] íåïðåðûâíî. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî îïðåäåëåíèþ PD , pF ∈ PD .Ôóíêöèîíàë F - íåïðåðûâåí íà D, åñëè∃ p ∈ PD ∃ c > 0 :|F (ϕ)| 6 cp(ϕ).(Ýòî äîñòàòî÷íîå óñëîâèå íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèîíàëà.)  êà÷åñòâå p ìîæíî âçÿòü pF (ϕ).Ââåäåì ïðîñòðàíñòâî (D∗ , σ(D∗ , D)), ãäå σ(D∗ , D) - ñëàáàÿ òîïîëîãèÿ.Ñõîäèìîñòü Fn → F â ñëàáîé òîïîëîãèè ðàâíîñèëüíà òîìó, ÷òî(Fn , ϕ) → (F, ϕ) ∀ ϕ ∈ D.Òî åñòü:h⇐⇒hi∗∗∗D 3 Fn → F ∈ D â ñëàáîé òîïîëîãèè σ(D , D) ⇐⇒(ïî îïðåäåëåíèþ ñëàáîé òîïîëîãèè) ∀ ϕ ∈ Di(Fn , ϕ) → (F, ϕ) .Ò Å Î Ð Å Ì À 13. Ïóñòü F - ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë íà D, ïðè÷åì(Fn , ϕ) → (F, ϕ) ∀ ϕ ∈ D è ∀ n Fn ∈ D∗ .Òîãäà ôóíêöèîíàë F áóäåò íåïðåðûâåí.Äîêàçàòåëüñòâî.

 ñèëó òåîðåìû Áàíàõà-Øòåéíõàóçà, ïðèìåíåííîé ê D[−n,n] , ∀k ñóæåíèåF íà D[−n,n] - íåïðåðûâíî, ñëåäîâàòåëüíî, F ∈ D∗ .Ïðî ýòî ñâîéñòâî ãîâîðÿò, ÷òî D∗ - ñëàáî ñåêâåíöèàëüíî ïîëíî.10.1 Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå.Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ôóíêöèè f ∈ L1 (R), îïðåäåëÿåòñÿ òàê:Zbbf 7→ f , f (z) = e−izx f (x) dxRè îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå1f (x) =2πZeizx fb(z) dz.R4511 Ëåêöèÿ11 ËåêöèÿÑâîéñòâî 1. Ïóñòüf ∈ C 1 (R)\L1 (R) è f 0 ∈ L1 (R).Òîãäà ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè f :fb0 (z) = iz fb(z).Äîêàçàòåëüñòâî.Znb0f (z) = limn→∞−nÒàê êàê f (x) = f (0) +Rx0Zne−izx 0f (x) dx = limn→∞f (x)e−izx |n−n+izf (x)e−ixz dx.−nf 0 (t) dt, òî:x→∞x→−∞f (x) → C1 è f (x) → C2 ,òàê êàê f (x) ∈ C 1 (R), òî Ci = 0. ÏîýòîìóZ∞b0f (x)e−izx dx.f (z) = iz−∞Ñâîéñòâî 2.

Åñëè f ∈ L1 è [x 7→ xf (x)] ∈ L1 , òî fb - äèôôåðåíöèðóåìà è¤\(−ixf(x))(z) = (fb)0 (z).Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê, êàêîâû áû íè áûëè α, β ∈ R1 ,|eiβ − eiα | 6 |β − α|(ýòî íåðàâåíñòâî âûðàæàåò òîò ôàêò, ÷òî äëèíû äóãè ìåæäó òî÷êàìè α è β íà îêðóæíîñòèáîëüøå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè, òî åñòü äëèíû õîðäû; åãî ìîæíî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþòåîðåìû Ëàãðàíæà î êîíå÷íîì ïðèðàùåíèè) è, ñëåäîâàòåëüíî,¯¯ −ix(z+∆z)−ixz ¯¯e−e¯ 6 |x|,¯¯¯∆zïðè÷åì ôóíêöèÿ x 7→ xf (x) ïî óñëîâèþ èíòåãðèðóåìà, òî, ïðèìåíÿÿ òåîðåìó Ëåáåãà îìàæîðèðîâàííîé ñõîäèìîñòè, ïîëó÷èìZ∞(fb)0 (z) = lim4z→0−∞e−ix(z+4z) − e−ixzf (x) dx =4z4611 ËåêöèÿZ∞\(−ix)f (x)e−ixz dx = (−ixf(x))(z).=−∞¤Ñâîéñòâî 3.

Åñëèfn ∈ L1 è fn → f â L1 , òî åñòü kfn − f kL1 → 0, òîfbn (z) → fb(z) ðàâíîìåðíî ïî z ∈ R1 .Äîêàçàòåëüñòâî. ∀z ∈ R èìååì:¯ ∞¯¯Z¯Z∞¯ ¡¢ −ixz ¯|fn (x) − f (x)| dx = ||fn − f ||L1fn (x) − f (x) edx¯¯ 6|fbn (z) − fb(z)| = ¯¯¯¯n→∞→0.−∞−∞Ñâîéñòâî 4. Ïóñòü f ∈ L1 , òîãäà fb(z) → 0, åñëè |z| → ∞.¤Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì ýòî ñíà÷àëà äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà f - èíäèêàòîð îòðåçêà.Z∞Zb−izxγd[a,b] (z) =γ[a,b] (x)ee−ixz dx = −dx =−∞1 −izb(e− e−iza ) −→ 0, ïðè |z| → ∞.izaÇíà÷èò, ýòî âåðíî äëÿ ôóíêöèé, ÿâëÿþùèõñÿ êîíå÷íûìè ëèíåéíûìè êîìáèíàöèÿìè èíäèêàòîðîâ îòðåçêîâ. Òàê êàê ìíîæåñòâî òàêèõ ôóíêöèé ïëîòíî â L1 (R1 ), òî äëÿ ëþáîéôóíêöèè f ∈ L1 ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn êîíå÷íûõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé èíäèêàòîðîâ îòðåçêîâ, òàêàÿ ÷òîfn → f â L1 .Ñëåäîâàòåëüíî,|fbn (z) − fb(z)| → 0, ïðè n → ∞, ðàâíîìåðíî ïî z ∈ R.Òàê êàê ∀n|z|→0fbn → 0, ïîëó÷èì, ÷òî fb(z) → 0.¤Îòìåòèì, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ôóíêöèè èç L1 íå îáÿçàòåëüíî ïðèíàäëåæèò L1(òàêîâî, íàïðèìåð, ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå èíäèêàòîðà îòðåçêà).Ñâîéñòâî 5.

Ïóñòü f ∈ L1 è a ∈ R1 , a 6= 0. Òîãäà:Z∞ ³ ´Z∞³x´\x −ixz(z) =fedx =f (v)e−iavz a dv = afb(az).faa−∞(ìû âîñïîëüçîâàëèñü çàìåíîéÑâîéñòâî 6.−∞xa= v ).Z∞\f (x+ a)(z) =Z∞f (v)e−iz(v−a) dv = eiza fb(z).f (x + a)e−ixz dx =−∞−∞4711 Ëåêöèÿ(ìû âîñïîëüçîâàëèñü çàìåíîé x + a = v ).ÏÐÅÄËÎÆÅÍÈÅ 6. Ïóñòü f ∈ L1 , ϕ ∈ L1 , òîãäàZ∞Z∞fb(z)ϕ(z) dz =−∞(ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ).f (z)ϕ(z)b dz−∞Äîêàçàòåëüñòâî.Z∞Z∞fb(z)ϕ(z) dz =−∞−∞Z∞f (x)e−ixz dx ϕ(z) dz =−∞Z∞ Z∞Z∞−ixzd dx. ϕ(z)e=dz  f (x) dx =f (x)ϕ(z)−∞−∞−∞Ðàâåíñòâà âûïîëíÿþòñÿ â ñèëó òåîðåìû Ôóáèíè, òàê êàê (x, z) 7→ f (x)ϕ(z) èíòåãðèðóåìàíà ïëîñêîñòè (ñíîâà ïî ò. Ôóáèíè) èZZ∞|f (x)ϕ(z)| dx dz =Z∞|f (x)| dx−∞R2|ϕ(z)| dz.−∞Òàê èíòåãðàëû â ïðàâîé ÷àñòè êîíå÷íû, òî, ïðîèçâåäåíèå f · ϕ èíòåãðèðóåìî êàê ôóíêöèÿäâóõ àðãóìåíòîâ.¤Ï Ð È Ì Å Ð. Íàéäåì ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ôóíêöèèx21f (x) = √ e− 2 .2πÇàìåòèì, ÷òî f 0 (x) + f (x)x = 0.