Лекция 4 - Устойчивостьлинейныхсистем (PDF-лекции)

Лекция 4. Устойчивость линейных непрерывныхсистем автоматического регулирования.4.1 Понятие устойчивости САУУстойчивость CAУ - одно из основных условий ее работоспособности и включаеттребование затухания переходных процессов. Система с расходящимся процессом на выходе будет неработоспособной. Система всегда подвергается действию внешних возмущающих сил, которые могут вывести систему из состояния равновесия.

Если система устойчива, то она, выведенная из состояния равновесия, возвращается снова к нему.Если на систему управления действуют два внешних воздействия – задающее воздействие g и возмущение f, то в общем случае она описывается уравнением(n)( n 1)(m)( m 1)(l )( l 1)a 0 y  a1 y    a n y  b0 g  b1 g    bm g  c0 f  c1 f    cl f(4.1а)или в символической форме(a0 p n  a1 p n1    an ) y  (b0 p m  b1 p m1    bm ) g  (c0 p l  c1 p l 1    cl ) f . (4.1б)Учитывая, что g и возмущение f – некоторые функции времени, выполнив необходимые операции в правой части, получим(a0 p n  a1 p n1    an ) y   g (t )   f (t )(4.2а)где  g (t ) и  f (t ) – функции, получаемые соответственно из первого и второго слагаемо-го в правой части уравнения (4.1б).Из уравнения (4.1б) при g  0 и f  0 получаем однородное дифференциальноеуравнение(a0 p n  a1 p n1    an ) y  0(4.2б)Назначением систем управления является поддержание некоторого заданного режима, называемого невозмущенным движением.

Если на систему действует возмущение,то фактическое движение (которое называется возмущенным движением) будет отличаться от невозмущенного движения.Невозмущенное движение называется асимптотически устойчивым, если послеокончания действия возмущения возмущенное движение y(t) с течением времени стремится к невозмущенному движению yн (t ) : y (t )  y н (t ) при t   .Линейная система управления называется устойчивой или асимптотически устойчивой, если любое ее невозмущенное движение, определяемое задающим воздействием, асимптотически устойчиво.Общее решение уравнения (4.2а) имеет вид(4.3)y (t )  y в (t )  y c (t )где y в (t ) – частное решение уравнения (4.2а), y c (t ) – общее решение однородного уравнения (4.2б).Частное решение y в (t ) можно представить (в силу принципа суперпозиции) в видеyв (t )  y g (t )  y f (t ) где y g (t ) – частное решение уравнения (4.2а) при  f (t )  0 , y f (t ) –частное решение этого уравнения при  g (t )  0 .Общее решение y c (t ) однородного уравнения описывает свободное движение системы управления (т.

е. движение при отсутствии внешних воздействий), определяемоетолько начальными условиями. Частное решение y в (t ) описывает вынужденное движение, определяемое внешними воздействиями. В частности, при отсутствии возмущающеговоздействия ( f  0 ) частное решение yв (t )  y g (t ) описывает невозмущенное движение:yв (t )  y н (t ) .

Таким образом, если после начального момента t 0 возмущение перестаетдействовать, решение (4.3) можно записать в видеy (t )  y н (t )  y c (t ), (t  t 0 ) .1Возмущение, которое действует до начального момента t 0 , влияет на начальныеусловия, от которых зависит только свободное движение.Поэтому для того чтобы возмущенное движение было асимптотически устойчиво(т.е. для y (t )  y н (t ) при t   ), необходимо и достаточно, чтобыlim y c (t )  0.(4.4)t Это соотношение можно принять за математическое определение устойчивости(асимптотической устойчивости) линейных стационарных систем управления. То есть,линейная система является устойчивой, если общее решение однородного описывающего ее дифференциального уравнения стремится к нулю при стремлении времени кбесконечности.4.2 Основное условие устойчивости САУХарактеристическое уравнение системы управления, которая описывается уравнением (4.1) совпадает с характеристическим уравнением дифференциальных уравнений(4.2) и имеет видQ( )  a0 n  a1n1    an  0(4.5)Левая часть этого уравнения ( Q( )  a0 n  a1n1    an ) называется характеристическим полиномом.

Характеристический полином получается из собственного оператора системыQ( p)  a0 p n  a1 p n1    anпри подстановке p   : Q( )  Q( p) p  .Если i(i  1, 2, , q) – корни характеристического уравнения кратностиki (k1  k2    kq  n) , то общее решение однородного уравнения yc (t ) имеет видqyc (t )   Pi (t )e it ,i 1(i )1k 1где Pi (t )  (C1  C2 t    Ck i t i ) ; C , C2 , , Ck i(i )(i )(i )(i )(4.6)(i )– постоянные интегрирования.В частном случае, когда все корни простые,nyc (t )   Ci eiti 1tПо правилу Лопиталя можно показать, Pi (t )e i  0 при t   тогда и только тогда, когда действительная часть корня i отрицательна: Re i  0 . Поэтому правая часть в(4.6) будет стремиться к нулю при t   , т. е.

будет выполнено (необходимое и достаточное) условие устойчивости (4.4), еслиRe i  0, i  1, 2, , q(4.7)Это условие является основным условием устойчивости. Оно непосредственно вытекает из математического определения устойчивости.Основное условие устойчивости. Для того чтобы система управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравненияимели отрицательную вещественную часть.На комплексной плоскости корни, имеющие отрицательную вещественную часть,располагаются в левой полуплоскости и поэтому называются левыми; корни, имеющиеположительную вещественную часть, располагаются в правой полуплоскости и называются правыми; а корни, расположенные на мнимой оси, называются нейтральными.2Таким образом, основное условие устойчивости можно также сформулировать следующим образом: для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно,чтобы все корни характеристического уравнения (нули характеристического полинома)были левыми.Согласно основному условию устойчивости определение устойчивости сводится кисследованию корней характеристического уравнения.

Однако для этого нет необходимости вычислять эти корни. Существуют различные критерии устойчивости, которые позволяют судить о том, находятся ли корни полинома в левой полуплоскости, не вычисляя их.4.3. Необходимое условие устойчивостиДля того чтобы система была устойчива, необходимо, чтобы все коэффициентыее характеристического уравнения были строго одного знака:a0  0, a1  0, , an  0(4.8а)илиa0  0, a1  0, , an  0(4.8б)Если условие (4.8а) или (4.8б) не выполняется, то система неустойчива; если оновыполняется, система может быть устойчивой.Так как коэффициент a0 (a0  0) всегда можно сделать положительным, дальше, если не оговаривается противное, в качестве необходимого условия устойчивости будемрассматривать условие (4.8а) и критерий устойчивости будем формулировать для случаяa0  0 .4.4.

Теоремы Ляпунова об устойчивости по линейному приближениюКак отмечалось ранее, практически все системы управления являются нелинейными, а линейные системы управления следует рассматривать как приближенные, линеаризованные модели нелинейных систем.Линеаризация производится относительно заданного номинального режима yн (t ) ,называемого в теории устойчивости невозмущенным движением.

Невозмущенное движение yн (t )нелинейной системы называется асимптотическиустойчивым (рис. 4.1), если существует некотораяокрестность вокруг невозмущенного движения такая, что любое возмущенное движение y (t ) , начинающееся в момент t0 окончания действия возмущения в этой окрестности, в дальнейшем не выходит из этой окрестности и y (t )  yн (t ) при t   .Рис. 4.1.Возникает вопрос: можно ли судить обасимптотической устойчивости невозмущенного движения нелинейной системы на основании исследования устойчивости ее линеаризованной модели? Впервые этот вопрос былпоставлен и решен A.M. Ляпуновым в 1892 г.

в его диссертационной работе.Теоремы Ляпунова.1. Если все корни характеристического уравнения линеаризованной модели являются левыми, то невозмущенное движение соответствующей нелинейной системыасимптотически устойчиво.2. Если среди корней характеристического уравнения линеаризованной моделиимеется правый корень, то невозмущенное движение соответствующей нелинейной системы неустойчиво.33. Случай, когда среди корней характеристического уравнения линеаризованноймодели имеются нейтральные корни (корни на мнимой оси), но нет правых корней, называют критическим. В критическом случае по линеаризованной модели нельзя судить обустойчивости невозмущенного движения нелинейной системы.4.5. Алгебраические критерии устойчивостиВычисление корней характеристического уравнения не представляет труда дляуравнений 1-й и 2-й степеней.

Что касается общих выражений для корней уравнений 3-й и4-й степеней, то они громоздки и практически мало удобны. Следует отметить отсутствиеобщих выражений для корней в уравнениях более высоких степеней. Поэтому большоезначение приобретают правила, которые позволяют определить устойчивость системы,минуя вычисления корней. Эти правила называют критериями устойчивости. Они позволяют в ряде случаев не только установить, устойчива система или нет, но и выяснитьвлияние тех или иных параметров, а также влияние структурных изменений на устойчивость системы.

Существуют различные формы критериев устойчивости. Однако математически эти формы эквивалентны, так как определяют условия, при которых корни характеристического уравнения находятся в левой части комплексной плоскости.Алгебраическими критериями устойчивости называются такие условия, составленные из коэффициентов характеристического уравнения, при выполнении которых система устойчива, а при невыполнении – неустойчива.При проведении исследования устойчивости с помощью алгебраических критериевследует прежде всего проверить выполнение необходимого условия устойчивости, так какего проверка не требует никаких вычислений, и в то же время при его невыполнении ненадо проводить дальнейших исследований, так как становится известным, что система неустойчива.4.5.1.

Характеристическое уравнениеДля того чтобы исследовать устойчивость с помощью алгебраических критериев,необходимо иметь характеристический полином. Рассмотрим, как он определяется.Как отмечалось выше, характеристический полином Q( ) получается из собственного оператора Q( p) простой заменой оператора p на комплексную переменную  . Поэтому достаточно найти собственный оператор.Если дано уравнение системы управления, ионо записано в символической форме, то дифференциальный оператор при выходной переменной ибудет собственным оператором.

Если дана передаточная функция, то можно принять, что собственРис. 4.2. Замкнутая (а) и разомкнуный оператор совпадает с ее знаменателем.тая (б) системыПри исследовании замкнутой системы (рис.4.2, а) нет необходимости находить ее передаточную функцию, если известна передаточная функция W ( p)  R( p) / S ( p) разомкнутой системы (рис.

4.2, б). Ее собственный оператор Q( p) равен сумме полиномов числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой системы:Q( p)  R( p)  S ( p ) .Действительно:W ( p)R( p ) / S ( p )R( p)Wз ( p) .1  W ( p ) 1  R( p) / S ( p ) R( p )  S ( p )44.5.2. Критерий ГурвицаИз коэффициентов характеристического полиномаQ( )  a0n  a1n 1    anсоставляется определитель n-го порядкаa1 a3 a5  0a0 a2 a4  0 n  0 a1 a3  0 ,(4.9)    0 0   anкоторый строится следующим образом.

На главной диагонали выписываются элементыa1 , a2 , , an . Затем при движении от этих элементов вверх размещаются коэффициенты впорядке возрастания индексов, при движении вниз – в порядке убывания. Например, припостроении i-го столбца, двигаясь от элемента ai вверх, записывают коэффициентыai 1 , ai  2 ,  , двигаясь вниз, записывают коэффициенты ai 1 , ai  2 ,  . При этом, если индекс превышает n или принимает отрицательное значение, соответствующий коэффициент принимают равным нулю.Главные миноры определителя  na11  a1 ,  2 a0a1a3, 3  a0a20a3a2a1a5a4 , … ,a3включая сам определитель  n , называют определителями Гурвица.Критерий Гурвица (Hurwitz, 1895). Для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы определители Гурвица, составленные из коэффициентов ее характеристического уравнения, при a0  0 были больше нуля:a0  0,1  0, 2  0,, n  0.4.5.3.