Лекция 4 - Устойчивостьлинейныхсистем (PDF-лекции), страница 4

В случае n=5 необходимо и достаточно, чтобы были устойчивыми полиномыХаритонова Q1 ( ) , Q2 ( ) и Q3 ( ) .Пример 1. Исследовать робастную устойчивость системы, характеристический полином которой имеет видQ( )  4  33  2      0 , 4    5, 2    3, 1    2.Решение. В данном случае:a 0  a 0  1, a1  a1  3, a 2  4, a 2  5, a3  2, a3  3, a 4  1, a 4  2.Так как n=4, то достаточно рассмотреть два полинома Q1 ( ) и Q2 ( ) :Q1 ( )  a4  a3  a22  a13  a04  4  33  42  2  2 ,Q2 ( )  a4  a3  a22  a13  a04  4  33  42  3  2 .Необходимое условие устойчивости для обоих полиномов выполняется. Для полиномов Q1 ( ) и Q2 ( ) определитель Гурвица имеет вид:a13  a 00a3a2a103 2 0a4  1 4 2  2  0 ,a3 0 3 2a13  a 00a3a2a103 3 0a4  1 4 2  9  0 .a3 0 3 3Согласно критерию Гурвица, полиномы Q1 ( ) и Q2 ( ) являются устойчивыми,следовательно исходная система робастно устойчива.Теорема Харитонова справедлива при условии, что коэффициенты характеристического полинома изменяются на заданных интервалах независимо друг от друга.

Однакокогда множества возможных значений коэффициентов характеристического полинома определяются заданными множествами возможных значений параметров системы и приэтом одни и те же параметры входят в выражение для разных коэффициентов, эти коэффициенты уже не являются независимыми. В таких случаях условия робастной устойчивости, вытекающие из теоремы Харитонова, являются только достаточными.

Из того,что они не выполняются, не следует, что система не может быть робастно устойчива.14.