Лекция 5 - Методпеременныхсостояния (962908)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 5. Метод переменных состоянияМетод переменных состояния в теории управления основан на понятии состояниесистемы. В отличие от описания САУ с использованием аппарата передаточных функций,метод переменных состояния позволяет описать поведение системы во временной областине только в переменных вход-выход. Метод переменных состояния может быть примененк нелинейным, нестационарным и многомерным системам.

Описание систем управления спомощью переменных состояния лежит в основе современной теории управления и методов оптимизации.5.1 Уравнение системы в нормальной формеЕсли уравнения системы разрешены относительно старшей производной, то ихвсегда можно преобразовать к системе уравнений 1-го порядка. Например, пусть системаописывается уравнением(n)( n 1)x  F ( x, x ,, x , t )Его можно преобразовать к видуx1  x2x 2  x3x n 1  xnx n  F ( x1 , x2 ,  , xn , t )( n 1)где x1  x, x2  x , , xn  x .Аналогичное преобразование можно произвести, когда система описывается несколькими уравнениями. Пусть, например, система описывается уравнениямиy1  F1 ( y1 , y1 , y1 , y2 , y 2 , t ),y2  F2 ( y1 , y1 , y1 , y2 , y 2 , t ) .Введя переменные x1  y1 , x2  y1 , x3  y1 , x4  y2 , x5  y 2 , можно преобразовать этиуравнения в следующую систему уравнений 1-го порядка:x1  x2 ,x2  x3 ,x3  F1 ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , t ),x4  x5 ,x5  F2 ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , t ),y1  x1 ,y2  x4 .В общем случае уравнения управляемой системы (рис.

5.1) можно представить в видеx1  f1 ( x1 , x2 ,  , xn , u1 , u2 ,  ur , t ),x2  f 2 ( x1 , x2 ,  , xn , u1 , u2 ,  ur , t ),xn  f n ( x1 , x2 ,  , xn , u1 , u2 ,  ur , t ),y1  h1 ( x1 , x2 ,  , xn , u1 , u2 ,  ur , t ),y2  h2 ( x1 , x2 ,  , xn , u1 , u2 ,  ur , t ),ym  hm ( x1 , x2 ,  , xn , u1 , u2 ,  ur , t ),1Рис. 5.1.Здесь x1 , x2 , , xn – фазовые координаты, или фазовые переменные; u1 , u2 , , ur – управляющие параметры, или управления; y1 , y2 , , ym – выходные переменные; t – время.Уравнения, записанные в виде системы дифференциальных уравнений 1-го порядка, разрешенных относительно производной, называются нормальной формой Коши илипросто нормальной формой.В векторной форме приведенные уравнения принимают видx  f (x, u, t ) ,(5.1а)y  h(x, u, t ) .(5.1б)Здесь x называют фазовым вектором или вектором состояний, u – вектором управленияили просто управлением, а также входной переменной или просто входом, y – выходнымвектором или просто выходом.

Множество всех векторов состояний (фазовых векторов)называют пространством состояний или фазовым пространством.Уравнение (5.1а) называют уравнением состояния, а уравнение (5.1б) – уравнениемвыхода или уравнением наблюдений.При дальнейшем описании будем всегда рассматривать вектор как вектор-столбец.Так что имеемx  ( x1 , x2 , xn )T , u  (u1 , u2 ,ur )T , y  ( y1 , y2 , ym )T ,где T обозначает операцию транспонирования.Если вход и выход системы являются скалярными величинами, то такие системыназывают одномерными.

Если хотя бы одна из указанных переменных является векторной,то такие системы называют многомерными.5.2. Уравнения линейных САУ в переменных состоянияВ общем случае уравнения линейной системы управления в нормальной форме могут быть записаны в следующем виде:x1  a11 x1  a12 x2    a1n xn  b11u1  b12u 2    b1r u r ,x2  a21 x1  a22 x2    a2 n xn  b21u1  b22u 2    b2 r u r ,xn  an1 x1  an 2 x2    ann xn  bn1u1  bn 2u 2    bnr u r .(5.2)В матричной форме уравнения (5.2) имеют вид: x1   a11 x   a 2    21     x n   a n1a12a 22an2 a1n   x1   b11 a 2 n   x 2  b21        a nn   x n  bn1b12b22bn 2 b1r   u1  b2 r  u 2      bnr  u r (5.3)В компактной форме система (5.3) может быть описана при помощи уравнения состояния:x  Ax  Bu .(5.4)Для полного описания системы к уравнениям состояния необходимо добавитьуравнения выхода, устанавливающие связь между переменными состояния и выходнымипеременными, которые обычно представляются в виде системы линейных алгебраическихуравнений:y1  c11 x1  c12 x2    c1n xn ,y2  c21 x1  c22 x2    c2 n xn ,ym  cm1 x1  am 2 x2    cmn xn .или в компактной векторно-матричной форме:2y  Cx .Матрица C называется матрицей выхода.(5.5)5.3.

Матричная передаточная функцияПрименяя прямое преобразование Лапласа к уравнениям (5.4) и (5.5), выраженнымв переменных состояния, получимsX( s )  AX( s )  x(0)  BU ( s ),(5.6)Y( s )  CX( s ).Отсюда, исключая X(s) и полагая x(0)  0 , найдемsX( s )  AX( s )  BU ( s ),( sI  A) X( s )  BU ( s ),X( s )  ( sI  A) 1 BU( s ),Y( s )  C( sI  A) 1 BU ( s ),(5.7)где I – единичная матрица.МатрицуФ( s )  C( sI  A) 1 B ,(5.8)устанавливающую связь между векторами выхода Y(s) и входа U(s), называют матричнойпередаточной функцией многомерной системы.Если система имеет только один вход u(t) и только один выход y(t), то матрицы B иC в уравнениях (5.6) превращаются в скаляры, которые обозначим через b и c соответственно.

Поэтому для одномерной системыY ( s)Ф( s )  c( sI  A) 1 b(5.9)U (s)5.4. Управляемость и наблюдаемость объекта управленияСостоянием системы x(t) можно управлять, изменяя вектор входа u(t), а наблюдатьсостояние системы можно, измеряя вектор выхода y(t). В связи с этим возникает два вопроса, имеющих кардинальное значение для теории автоматического управления.1.

Можно ли, выбрав соответствующим образом входы u(t), перевести объектуправления из некоторого произвольного состояния x(t0) в другое произвольное состояниеx(tf)?2. Можно ли, наблюдая вектор выхода y(t) в течение достаточного промежуткавремени, определить начальное состояние объекта x(t0)?Ответ на первый вопрос связан с понятием управляемости, а ответ на второй вопрос – с понятием наблюдаемости.5.4.1. Управляемость объекта управленияДля определения понятия управляемости рассмотрим управляемую систему (объект), которая описывается уравнениемx  f (x, u, t ), x  R n , u  R r(5.10)где х – вектор состояния, u – управление (вектор управления).Управление u  u(t )  (u1 (t ) u 2 (t )  u r (t )) T называется кусочно непрерывным, есливсе его компоненты u i (t ) являются кусочно непрерывными. Кусочно непрерывные управления называют допустимыми.3Определение 1.

Управляемая система (объект) (5.10) называется управляемой иливполне управляемой, если, каковы бы ни были точки x 0 и x f в фазовом пространстве R n ,существует допустимое управление, определенное на конечном интервале [t 0 , t f ] и переводящее систему (5.10) из начальной точки x 0  x(t0 ) в конечную точку x f  x(t f ) .Другими словами, если объект вполне управляем, то он может быть переведен допустимым управлением из произвольного начального состояния в любое другое состояниеза конечное время.Рассмотрим линейный объект, который описывается уравнениемx  Ax  Bu, x  R n , u  R r(5.11)В случае линейного объекта справедливо следующее утверждение.Утверждение 1. а) Линейный объект (5.11) вполне управляем, если, каково бы нибыло начальное состояние x(t0 )  x 0 , существует допустимое управление, определенноена конечном интервале [t 0 , t f ] и переводящее объект (5.11) в конечное состояниеx(t f )  0 , т.е.

в начало координат.б) Линейный объект (5.11) вполне управляем, если, каково бы ни было конечное состояние x(t f )  x f , существует допустимое управление, определенное на конечном интервале [t 0 , t f ] и переводящее объект (5.11) из начального состояния x(t0 )  0 , т.е. из начала координат, в конечное состояние x(t f )  x f .Утверждение остается справедливым, если в первой части в качестве конечнойточки вместо x(t f )  0 выбрать любую другую фиксированную точку, а во второй частивместо начальной точки x(t0 )  0 выбрать любую другую фиксированную точку.5.4.2. Управляемость линейных стационарных объектовПусть уравнение (5.11) описывает стационарную систему, т.е.

матрицы А и В являются постоянными. Введем в рассмотрение матрицуУ  B AB A 2 B  A n1B ,(5.12)столбцы которой представляют собой столбцы матрицы В и произведений матриц АВ,A 2 B,  , A n1B . Эту матрицу называют матрицей управляемости.Критерий управляемости линейных стационарных систем. Линейный стационарный объект вполне управляем тогда и только тогда, когда матрица управляемостиимеет максимальный ранг, т. е. когда ее ранг равен n.Напомним, что ранг матрицы равен числу независимых строк, числу независимыхстолбцов и порядку отличного от нуля минора максимальной размерности.Утверждение 2. Одномерная система управления, описываемая уравнениемb0 p m  b1 p m1    bmu, 0  m  n ,ya0 p n  a1 p n1    anгде не все коэффициенты bi (i  0, 1,  , m) равны нулю, вполне управляема.5.4.3. Наблюдаемость объекта управленияОпределение 2. Системуx  Ax  Bu,y  Cx4(5.13)называют наблюдаемой, если по данным измерения или наблюдения векторов y(t) и u(t) наконечном интервале времени [t 0 , t f ] можно однозначно определить начальное состояниеx(t0 ) .

Систему (5.13) называют полностью наблюдаемой, если все ее состояния наблюдаемы в любые моменты времени.Пусть уравнения (5.13) описывают стационарную систему, т.е. матрицы А, В и Cявляются постоянными. Введем в рассмотрение матрицуН  C T A T C T ( A T ) 2 C T  ( A T ) n1 C T .(5.14)Эту матрицу называют матрицей наблюдаемости.Критерий наблюдаемости линейных стационарных систем. Линейная стационарная система управления полностью наблюдаема тогда и только тогда, когда матрица наблюдаемости имеет максимальный ранг, т.

е. когда ее ранг равен n.5.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций