Лекция 4 - Устойчивостьлинейныхсистем (PDF-лекции), страница 3

4.11) амплитудная частотная функция A( )  1 и соответственно L( )  0 , фазовая частотная функция  ( )   (2k  1)(k=0, 1, 2,…). Поэтому на логарифмических частотных характеристиках (ЛЧХ) положительным переходам соответствуют точки пересечения логарифмической фазовой частотной характеристики (ЛФЧХ) прямой  ( )  (2k  1) (k=0, 1, 2,…) снизу вверх (в сторону возрастания  ( ) ), отрицательным переходам – сверху вниз при частотах, когдаL( )  0 (рис.

4.11, б). Поэтому на основании критерия Найквиста получаем следующийкритерий устойчивости.Рис. 4.11. Положительные и отрицательные переходы: а – АФЧХ; б – ЛАЧХ и ЛФЧХЛогарифмический частотный критерий устойчивости. Для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы разность между положительными и отрицательными переходами ЛФЧХ разомкнутой системы прямой ( )  (2k  1) (k=0, 1, 2,…) при частотах, когда L( )  0 (логарифмическая амплитудная частотная характеристика положительна), была равна l/2 (l – число правых корнейхарактеристического уравнения разомкнутой системы).4.6.5.

Запасы устойчивости системы по модулю и фазеУстойчивость замкнутой САУ зависит от расположения годографа W ( j ) разомкнутой системы относительно критической точки с координатами (–1, j0). Чем ближе он ккритической точке, тем ближе замкнутая система к границе устойчивости.10Рис. 4.12Рис. 4.13Рис. 4.14Для устойчивых систем удаление годографа W ( j ) от критической точки (–1; j0)характеризуется запасом устойчивости по модулю и фазе (рис. 4.12). Минимальный отрезок действительной оси h, характеризующий расстояние между критической и ближайшейточкой пересечения годографа W ( j ) с действительной осью, называют запасом устойчивости по модулю.

Минимальный угол  , образуемый радиусом, проходящим через точку пересечения годографа W ( j ) с окружностью единичного радиуса (с центром в началекоординат) и отрицательной частью действительной оси, называют запасом устойчивостипо фазе.Система обладает требуемым запасом устойчивости, если она, удовлетворяя условию устойчивости, имеет значения модуля характеристического вектора W ( j ) , отличающиеся от единицы не менее чем на заданное значение h (запас устойчивости по модулю), и угол поворота или фазу, отличающуюся от (   ) не менее чем на заданное значение  ( запас устойчивости по фазе). АФХ систем, обладающих запасами устойчивости недолжны входить в область I–I, II–II комплексной плоскости (рис.

4.13).В случае применения для анализа устойчивости логарифмических частотных характеристик (рис. 4.14) запасу устойчивости системы по модулю соответствует отрезокl  20 lg h при том значении частоты, при котором фазовая характеристика  ( )   .Относительно ЛЧХ можно говорить и о запасах устойчивости по модулю ( l1 и l2 ), соответствующих частотам 1 и  2 . Запасу устойчивости системы по фазе  соответствуетзначение угла, превышающее значение фазовой характеристики над линией (   ) причастоте среза  ср (см. рис. 4.14).4.6.6. Устойчивость систем управления с запаздываниемВ предыдущих разделах критерий устойчивости Найквиста рассматривался применительно к системам, передаточные функции которых имели дробно-рациональный вид.Однако во многих системах управления присутствует запаздывание по времени, существенно влияющее на устойчивость.

Запаздывание по времени – это промежуток временимежду моментом, когда в каком-то месте системы произойдет некоторое событие, и моментом, когда это событие проявит себя в другом месте.Подобное запаздывание свойственно системам,в которых имеет место перемещение материалов, когдамежду точкой, где произошло какое-то изменение некоторой переменной, и точкой, где проявляется соответствующий эффект, проходит определенное (конечное) время.В качестве примера приведем систему управлеРис. 4.15.ния прокатом стальной полосы, изображенную на рис.114.15.

Электродвигатель управляет скоростью валков таким образом, чтобы минимизировать ошибку в толщине полосы. В данном случае запаздывание между точкой измененияскорости валков и точкой измерения толщины полосы равноvdКритерий Найквиста обладает тем преимуществом, что он позволяет учесть влияние этого запаздывания на устойчивость системы.Идеальное запаздывание по времени можно охарактеризовать передаточной функциейWз ( s )  e  sгде  – время запаздывания. Критерий Найквиста остается в силе и для систем с запазды sванием, поскольку множитель eне приводит к появлению дополнительных полюсовили нулей в передаточной функции разомкнутой системы.Вся система с элементом запаздывания будет иметь структурную схему, показанную на рис.4.16. Передаточной функции разомкнутого контура этой системыРис. 4.16W ( s )  W0 ( s )e  s(4.15)соответствует амплитудно-фазовая частотная характеристикаW ( j )  W0 ( j )e  j  mod W0 ( j )e j (arg W0 ( j )  )(4.16)При   0 система называется предельной по отношению к системе с запаздыванием.

Из соотношения (4.16) следует, что амплитудно-фазовая частотная характеристикасистемы с запаздыванием получается смещением по часовой стрелке точек амплитуднофазовой частотной характеристики предельной системы W0 ( j ) на дополнительный угол  . С увеличением  значение  возрастает, а модуль W0 ( j ) обычно убывает, поэтому амплитудно-фазовая частотная характеристика системы с запаздыванием «закручивается» около начала координат.Для того чтобы замкнутая система, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии имеет вид (4.15), была устойчива, необходимо и достаточно,чтобы разность между положительными и отрицательными переходами АФХ разомкнутой системы отрезка действительной оси (;  1) была равна l / 2 , где l –число корней характеристического уравнения разомкнутой системы с положительной вещественной частью.Система с запаздыванием может иметь критическое время запаздывания  кр , прикотором она будет находиться на границе устойчивости.

При    кр амплитудно-фазоваяхарактеристика разомкнутого контура системы проходит через точку (-1, j0). Следовательно, при некоторой критической частоте  кр :mod W0 ( j кр )  1 ,(4.17)arg W0 ( j кр )   кр кр  (4.18)Уравнения (4.17), (4.18) позволяют вычислить  кр и  кр , которых в общем случаеможет быть несколько.Пример.

Определить критическое запаздывание и критическую частоту для системы с передаточной функцией в разомкнутом состоянии W ( s ) 2  se .s 1Решение. Предельная система (без запаздывания) устойчива. Условия (4.17), (4.18)принимают вид122 кр 2 (1  j кр ) 2  modmodj22 1  (1  j кр )(1  j кр ) 1кркр222   2 кр 2 1,21  2  1  2 1кркр кр  2кр   кр кр  arctgкр   кр кр   .arctg2Из первого уравнения получаем кр  1 . Подставив это значение частотыво второе уравнение, получим:34 кр    arctg1   .При    кр годограф разомкнутой системы имеет вид, показанный нарис. 4.17.Рис. 4.174.7.

Робастная устойчивостьПараметры стационарных систем с течением времени в силу старения или другихпричин могут меняться. Кроме того, при разработке регуляторов параметры объекта могутбыть точно не известны. В подобных случаях возникает необходимость построения систем управления таким образом, чтобы она была устойчива не при одних фиксированныхзначениях параметров, а при всех возможных их значениях. В последнем случае говорят,что система робастно устойчива. Более строго робастная устойчивость определяетсяследующим образом.Рассмотрим характеристический полиномQ( )  a0 n  a1n1    an1  an .(4.19)Будем называть полином устойчивым, если все его нули являются левыми.Введем в рассмотрение (n+1)-мерный вектор a  (a0 , a1 ,  , an1 , an ) .

Пусть в (n+1)-мерном пространстве коэффициентов задано множество A ( A  R n1 ) .Полином (4.19) называется робастно устойчивым в А, если он является устойчивым при любых значениях коэффициентов ai (i  0,1,  n) из множества A (a  A) .Система называется робастно устойчивой на множестве А, если ее характеристический полином является робастно устойчивым полиномом в А.4.7.1. Полиномы Харитонова. Теорема ХаритоноваПусть множество А является гиперпараллелепипедом:A  {a : ai  ai  ai , i  0,1,  n}(4.20)Здесь ai и ai – минимальное и максимальное значения коэффициента ai .Введем в рассмотрение четыре полинома, называемые полиномами Харитонова:Q1 ( )  an  an1  an22  an33  an44  an55  (4.21а)Q2 ( )  an  an 1  an  22  an  33  an  44  an  55  (4.21б)Q3 ( )  an  an1  an22  an33  an44  an55  (4.21в)Q4 ( )  an  an1  an22  an33  an44  an55  (4.21г)13Теорема Харитонова.

Для того чтобы система с характеристическим полиномомQ( )  a0n  a1n1    an1  an была робастно устойчива в параллелепипедеA  {a : ai  ai  ai , i  0,1,  n} необходимо и достаточно, чтобы все полиномы Харитонова были устойчивыми.Следствия теоремы Харитонова.1. Необходимое условие робастной устойчивости в параллелепипеде (4.20) (следствие из критерия Гурвица):a0  0, a1  0,  , an  0.(4.22)2. В случае n=1 и n=2 необходимое и достаточное условие робастной устойчивостив параллелепипеде (4.20) совпадает с условием (4.22).3. В случае n=3 необходимо и достаточно, чтобы был устойчивым полином Харитонова Q1 ( ) .4. В случае n=4 необходимо и достаточно, чтобы были устойчивыми полиномыХаритонова Q1 ( ) и Q2 ( ) .5.