QM2 (И.В. Копытин, А.С. Корнев - Задачи по квантовой механике), страница 7

. ., принято обозначать соответственно спектроскопическими символами s, p, d, f , g и далее в алфавитном порядке. Так, например, состояния с нулевым орбитальным моментом (l = 0) называютs-состояниями, состояния с l = 1 — p-состояниями и т.д.Оператор Гамильтона (2.2) коммутирует с оператором пространˆственной инверсии Iˆ [IΨ(r)= Ψ(−r)], имеющим два собственных значения ±1. В связи с этим стационарные состояния рассматриваемыхсистем могут быть разделены на четные и нечетные. При операции инверсии координата r не меняется, а угловые переменные преобразуютсяпо закону θ → π − θ, ϕ = ϕ + π, поэтомуˆ Elm (r, θ, ϕ) = fEl (r)IYˆ lm (θ, ϕ) = fEl (r)Ylm (π − θ, ϕ + π) =IΨ= (−1)l fEl (r)Ylm (θ, ϕ) = (−1)l ΨElm (r, θ, ϕ).(2.12)Из (2.12) следует, что волновые функции в случае центральных полейявляются собственными функциями оператора инверсии.

Все состояния с четными l относятся к четным состояниям, состояния с нечетными l являются нечетными состояниями.Разберем несколько примеров.Пример 2.1. Записать оператор кинетической энергии в сферическойсистеме координат.Решение. Запишем в декартовых координатах тождество, справедливоедля произвольных векторных операторов Â и B̂:X(2.13)Âj B̂k (Âj B̂k − Âk B̂j ) (j, k = x, y, z).(Â × B̂)2 =jkПодставляя в (2.13) вместо Â и B̂ соответственно операторы r и p иприменяя повторно коммутационное соотношение [rj , p̂k ] = i}δjk (проделать самостоятельно!), получаем:2L̂ = [r × p̂]2 = r 2 p̂2 − (rp̂)2 + i}(rp̂).(2.14)∂∂∂∂+y+z= r , то, учитывая∂x∂y∂z∂rкоммутационное соотношение [r, p̂r ] = i} (доказать самостоятельно!),получим:∂(rp̂) = −i}r= rp̂r + i},∂rгде оператор p̂r определен в (2.3);Поскольку r = (x2 + y 2 + z 2 )1/2,x(rp̂)2 − i}(rp̂) ≡ ((rp̂) − i})(rp̂) = rp̂r (rp̂r + i}) = r2 p̂2r .40(2.15)Как можно видеть из (2.15), правая часть (2.14) равна r 2 (p̂2 − p̂2r ).

Разделив обе части (2.14) на r 2 , получим2p̂2 = p̂2r + L̂ /r2 ,откуда2L̂p̂2p̂2T̂ == r +.2µ2µ 2µr2Данный результат был использован в (2.2) при построении гамильто2ниана в сферической системе координат. Напомним, что вид L̂ в сферической системе координат приведен в (2.4).Пример 2.2. Найти энергии стационарных состояний (энергетический спектр) и соответствующие им волновые функции для пространственного ротатора с моментом инерции I.Решение. Ротатор имеет только две вращательные степени свободы, которые удобно характеризовать углами θ, ϕ сферической системы координат.

Движение ротатора является свободным, и поэтому гамильтониан можно построить по аналогии с гамильтонианом свободного поступательного движения с заменой p на L̂ и массы µ — на I:2L̂Ĥ =.2IС этим гамильтонианом стационарное уравнение Шредингера для ротатора принимает вид1 2L̂ Ψ(θ, ϕ) = EΨ(θ, ϕ)2Jили2(2.16)L̂ Ψ(θ, ϕ) = 2IEΨ(θ, ϕ).Уравнение (2.16) является уравнением для собственных функций исобственных значений12оператора L̂ , которые нам известны:2IEl = }2 l(l + 1),l = 0, 1, . .

. ;Ψlm (θ, ϕ) = Ylm (θ, ϕ),m = 0, ±1, . . . , ±l.1В данном случае им соответствует произведение 2IE, где множитель E подлежит определению.41Таким образом, каждому энергетическому уровню ротатора}2l(l + 1)El =2Iсоответствуют состояния, которые задаются сферическими функциями Ylm (θ, ϕ) (базис ротатора).

Энергетический уровень El вырожден скратностью 2l + 1. Основное состояние (l = 0) является невырожденным.Пример 2.3. Частица массой µ совершает свободное движение сопределенным значением квадрата орбитального момента. Найтиненормированные волновые функции стационарных состояний с энергией E.Решение. Свободное движение осуществляется в поле с постоянным(для определенности — нулевым) потенциалом, который является частным случаем постоянного поля.

Поэтому достаточно найти регулярноев нуле решение уравнения (2.9):R00 −l(l + 1)R + k 2 R = 0.2r(2.17)√Здесь k 2 = 2µE/}2 . Использование подстановки R(r) = rZ(r) с введением новой переменной x = kr приводит уравнение (2.17) к уравнениюдля функций Бесселя (Д.10) с полуцелым параметром:"2 #2dZdZ1llx2 2 + xZl = 0.+ x2 − l +dxdx2Его регулярное в нуле решение выражается сферической функциейБесселя (Д.11).Таким образом, ненормированную волновую функцию стационарного состояния свободного движения с определенным значением квадратаорбитального момента можно представить следующим образом:Ψklm (r) = jl (kr)Ylm (θ, ϕ).(2.18)В примере 4.5 части 1 были получены волновые функции стационарных состояниях свободного движения с определенным импульсом.

Ониимели вид плоских волн и сильно отличались от (2.18). Причина такогоразличия в том, что p и L2 неизмеримы совместно. Волновые функции(2.18) иногда называются сферическими волнами.42Плоская волна допускает разложение по сферическим волнам(2.18). Приведем без вывода соответствующую формулу:X∗eikr = 4πil jl (kr) Ylm(θk , ϕk ) Ylm (θ, ϕ),(2.19)lmгде углы θk , ϕk задают направление вектора k в сферической системекоординат. Формула (2.19) четко иллюстрирует совместную неизмеримость p и L2 : состояние с определенным импульсом есть суперпозициясостояний с различными наблюдаемыми значениями квадрата орбитального момента и его проекции (суммирование по соответствующимчислам l и m).2.2.Водородоподобный атомВажнейшей задачей теории центрального поля является задача одвижении заряженной частицы в кулоновском поле притяжения U (r) =2= − Zer (водородоподобный атом).

Стационарное уравнение Шредингера при этом имеет вид: 2} 2 Ze2− ∇ −Ψ(r, θ, ϕ) = EΨ(r, θ, ϕ).(2.20)2µrЕсли рассматривать водородоподобный ион, то под массой µ в уравнении (2.20) следует понимать приведенную массу µ = me mp /(me + mp )электрона и точечного 2 ядра (me /mp ≈ 1836, и поэтому µ ≈ me ), подr — их относительное расстояние, под E — энергию относительного движения. Центр масс при этом движется свободно, а потому его движениене представляет сейчас интереса.На рис. 2.1 показан примерный вид эффективного потенциала (2.10)радиального уравнения Шредингера (2.9) в кулоновском поле притяжения.

При E < 0 движение финитно, т.к. электрон находится в «потенциальной яме», образованной возрастающим кулоновским потенциаломи квадратично убывающим центробежным отталкиванием.Если решения уравнения (2.20) искать в виде (2.7), переменные разделяются, и мы получаем следующие собственные функции, нормированные условием (2.11):fnl (r) = Nnl2Zrna0lZrexp −na01 F1 (−n+l+1; 2l+2; 2Zr/na0 );(2.21)и собственные значения энергии:1 Z 2 e2En = −,2 n2 a 02(2.22)Эффект, обусловленный неточечностью ядра, будет рассмотрен в части 3.43}2где a0 = 2 — боровский радиус (для электрона, движущегося в полеµeбесконечно тяжелого ядра, a0 = 0.529 Å);s 3/21(n + l)!2ZNnl =na0(2l + 1)! 2n(n − l − 1)!— нормировочный множитель; 1 F1 — вырожденная гипергеометрическая функция (см.

приложение А) — предлагаем самостоятельно выразить (2.21) через полиномы Лагерра (см. приложение Г); n = 1, 2, . . . —главное квантовое число. Как видно из (2.22), значения энергии определяются только этим квантовым числом и не зависят от орбитального момента. Такое вырождение по орбитальному квантовому числуl («случайное» вырождение) обусловлено спецификой кулоновского поля и в центральных потенциалах другого вида не встречается.При фиксированном n число l принимает значения l == 0, 1, .

. . , n−1 (напомним, что прификсированном l магнитное квантовое число m = 0, ±1, . . . , ±1, т. е.(2l + 1) значение). Таким образом,кратность вырождения уровня Enравнаgn =n−1X(2l + 1) = n2 .(2.23)l=0Рис. 2.1.Спектр (2.22) иногда называется Ридберговским. Число его уровней бесконечно. Ограничивающее его сверху нулевое значение энергииявляется точкой сгущения уровней.Радиальные волновые функции (2.21), как и должно быть в центральном поле, не зависят от магнитного квантового числа m. Онихарактеризуются главным n и орбитальным l квантовыми числами посхеме nl, причем для l надо использовать буквенный спектроскопический символ.

Так, 1s-состояние означает состояние с n = 1 и l = 0 и т.д.Поскольку En минимально при n = 1, основным является 1s-состояние.Разберем несколько примеров.Пример 2.4. Используя (2.21), получить явный вид волновой функции основного состояния водородоподобного атома и показать, чтоона нормирована на единицу. Выписать полную волновую функцию 1sсостояния.44 3/2Zr. ТогдаРешение. Из (2.21) следует, что f10 (r) = 2exp −a0Z ∞Z3 Z ∞1 ∞ 2 −t2Zr4Z222dr =r exp −f10 (r)r dr = 3t e dt = 1,aa20000}| 0 {zZa02!что находится в согласии с (2.11) (проводилась замена переменных t =2Z= 2Za0 r; dt = a0 dr).Поскольку в s-состоянии l = 0, то m также равно нулю.

Полнаяволновая функция находится в соответствии с (2.7):Ψ1s (r) = Ψ1s (r, θ, ϕ) =sZrZ3exp −,πa30a01где учтено, что Y00 (θ, ϕ) = √ .4π(2.24)Пример 2.5. Найти наивероятнейшее удаление электрона в 1sсостоянии от ядра с зарядом Ze.Решение.1 способ.Согласно (2.7), полная волновая функция 1s-состоянияΨ1s (r) = f10 (r)Y00 (θ, ϕ),где радиальная функция f10 (r) определена в (2.21). ПосколькуY00 (θ, ϕ) = √14π , 1s-состояние изотропно, т.е. сферически симметрично,и ответ не изменится, если по телесному углу провести интегрирование.Используя условия нормировки (В.6), (2.11), получаем:ZZ ∞ZZ ∞2222 3f10(r)r2 dr = 1.

(2.25)r dr |Ψ1s (r)| dΩ =|Ψ1s (r)| d r =0 | {z }0w10 (r)Наличие множителя r 2 в (2.25) обусловлено тем, что в сферическойсистеме координат элемент объема d3 r = r2 dr sin θ dθ dϕ. Посколькуквадрат модуля волновой функции имеет вероятностный смысл, обведенное фигурной скобкой в (2.25) следует рассматривать как плотностьвероятности нахождения электрона в сферическом слое радиуса r толщиной dr:22w10 (r) = f10(r)r2 = R10(r)(2.26)45(напомним, что R(r) = rf (r)). Из (2.21) следует, что радиальное распределение электронной плотности в 1s-состоянии имеет вид2Zr2.w10 (r) ∼ r exp −a0Таким образом, задача заключается в поиске максимума функцииw10 (r).

График функции w10 (r) представлен на рис. 2.2. Максимальноезначение w10 , как несложно показать,a0достигается при r0 =. Это и естьZнаивероятнейшее удаление электронаот силового центра. В атоме водородаоно равняется боровскому радиусу.Рис. 2.2.2 способ.Если вместо функции f10 (r) использовать R10 (r) = r−1 f10 (r), тофункция R10 (r) будет удовлетворять одномерному уравнению Шредингера (2.9). Исходя из вероятностного смысла волновой функции,приходим к (2.26) и получаем тот же самый ответ.Заметим, что вероятность обнаружения электрона на произвольномудалении от центра в 1s-состоянии всегда является ненулевой. Однакопри больших r она уменьшается экспоненциально, так что реальныйразмер атома будет конечным.Пример 2.6.