QM2 (И.В. Копытин, А.С. Корнев - Задачи по квантовой механике), страница 4

В данной ситуации оно будет аналогично частичному отражению световойволны при ее нормальном падении на границу раздела сред с различными показателями преломления. Предлагаем самостоятельно убедиться в справедливости (1.36) и построить графики зависимостей R(E) иD(E).В предельном случае классической механики (} → 0) коэффициентотражения должен обратиться в нуль. Между тем полученное выражение для R(E) вовсе не содержит постоянной Планка! Классическому пределу соответствует случай, когда дебройлевская длина волнычастицы λ = 2π}/p мала по сравнению с характеристическими размерами рассеивающих неоднородностей потенциала, т.е. по сравнению срасстояниями, на которых заметно меняется поле V (x).

В рассматриваемом же схематическом примере это расстояние равно нулю (в точкеразрыва), так что предельный переход не может быть произведен. Пример 1.8. Частицы массой m каждая рассеиваются на прямоугольном симметричном потенциальном барьере ширины a и высотыV0 (рис. 1.7). Определить коэффициенты отражения и преломлениякак функции энергии E.20Решение. Введем систему координат в соответствие с рис.

1.7. Стационарное уравнение Шредингера необходимо отдельно решать в каждойиз трех областей: I, II, III. В области I общий вид решения дается выражением (1.33). Для области III решение удобно представить в видеΨIII (x) = eik(x−a) ,котороеотличается от (1.30) постоянным множителем e−ika , а k 0 = k =√= 2mE/} вследствие симметрии барьера. Решение в области II существенно зависит от знака E − V0 .При E < V0 подбарьерная областьV(x)является классически недоступной.V0Поэтому решение уравнения Шредингера выбирается в видеIIIIIIΨII (x) = F eκx + G e−κx ,(1.44)xa0где κ определяется соотношениемРис. 1.7.(1.22).

В отличие от предыдущего примера, здесь мы обязаны сохранить и растущее решение вследствие конечности ширины барьера.После сшивания решений в точках x = 0 и x = a в соответствии с(1.2) получаем следующую систему уравнений для коэффициентов A,B, F и G:A + B = F + G;iκ(G − F ); A−B =k(1.45)κa−κaFe+Ge=1; F eκa − G e−κa = ik .κЛегко заметить, что систему (1.45) можно разбить на две удобные длярешения подсистемы. После необходимых вычислений (проделать самостоятельно!) имеем:kki κi κ−+sh κa;B=−sh κa.A = ch κa +2 kκ2 kκВ соответствии с (1.35), 2B (k 2 + κ 2 )2 sh2 κaR= = 2 2;A4k κ + (k 2 + κ 2 )2 sh2 κa4k 2 κ 2−2D = |A| = 2 2.4k κ + (k 2 + κ 2 )2 sh2 κa21(1.46)(1.47)Рис. 1.8.Видно, что D 6= 0, т.е.

будет иметь место туннельный эффект. Егоможно объяснить тем, что глубина проникновения частицы под барьерсравнима с шириной барьера (см. график плотности вероятности нарис. 1.8а).При E > V0 область II также является классически доступной, поэтому решение уравнения Шредингера необходимо выбрать в видеΨII (x) = F eikгде00x+ G e−ik00x,(1.48)r2m(E − V0 ).}Решение (1.44) отличается от (1.48) заменойk 00 =κ → ik 00 .Такую же замену нужно сделать и в (1.46), (1.47):(k 2 + k 002 )2 sin2 k 00 aR = 2 002;4k k + (k 2 + k 002 )2 sin2 k 00 a22(1.49)4k 2 k 002.D = 2 0024k k + (k 2 + k 002 )2 sin2 k 00 a(1.50)В общем случае R 6= 0, т.е.

имеет место надбарьерное отражение.Однако при некоторых значениях энергии барьер становится абсолютно прозрачным: R = 0. Опять же прослеживается оптическая аналогияс прохождением световой волны сквозь слой вещества с иным показателем преломления: при специально подобранной толщине слоя наблюдается «просветление». Предлагаем самостоятельно найти эти значения,а также исследовать следующие частные предельные случаи:1) E → ∞ (фактически E V0 );2) случай барьера малой прозрачности (V0 − E)ma2 /}2 1;3) E → 0 (фактически E ma2 V02 /}2 , E V0 );4) ma2 V0 /}2 1 и ma2 E/}2 1;5) E ≈ V0 .Проверьте непосредственно, что R + D = 1.Задачи для самостоятельного решения6.

Решить задачу примера 1.7 для частиц, движущихся в противоположном направлении, т.е. «скатывающихся» со ступеньки.7. Решить задачу примера 1.8 для частиц, пролетающих над симметричной прямоугольной потенциальной ямой ширины a и глубины V0 .(Ответ: см. (1.49), (1.50), полагаяp2m(E + V0 ).k 00 =}Энергия отсчитывается от краев ямы.)8.

Частицы массой m каждая рассеиваются на δ-образном потенциальном барьере V (x) = Ωδ(x). Найти коэффициенты отражения и прохождения как функции энергии частиц.(Ответ: R(E) = (mΩ)2 /[(}2 k)2 + (mΩ)2 ].)9∗ . Частицы массы m каждая рассеиваются на системе из двух одинаковых δ-образных потенциальных барьеров V (x) = Ω[δ(x) + δ(x − a)].При каких значениях энергии частиц данная система будет прозрачнойдля них?1.4.Линейный гармонический осцилляторЛинейным гармоническим осциллятором называется частица, совершающая движение в потенциальной яме V (x) = mω 2 x2 /2 (рис. 1.9а),23где m — масса частицы, ω — частота осциллятора. В классическом случае частица совершала бы движение по закону x(t) = x0 cos(ωt + ϕ0 ).Амплитуда x0 однозначно определяется энергией осциллятора, которая в свою очередь может принимать непрерывный ряд значений наинтервале от 0 до ∞.В микромире стационарная постановка задачи требует решения уравненияШредингера}2 d2 ΨE (x) 1+ mω 2 x2 ΨE (x) = EΨE (x)22mdx2(1.51)с граничными условиями ΨE (±∞) = 0вследствие финитного движения.В соответствии с общей теорией энергетический спектр осциллятора будетдискретным:1, n = 0, 1, .

. . (1.52)En = }ω n +2−Уровни расположены эквидистантно наРис. 1.9.расстоянии }ω друг от друга. В соответствии с общим свойством одномерногофинитного движения они не вырождены, т.е. каждому соответствуеттолько одно состояние: 1xΨn (x) = √ Ψ(osc),(1.53)nx0x0гдеr}(1.54)mω— «естественная» единица длины для осциллятора, позволяющая существенно упростить все математические выкладки переходом к безразмерным величинам;x0 =Ψ(osc)(ξ) = pn1−ξ√ Hn (ξ) en2 n! π2/2;(1.55)Hn (ξ) — полином Чебышева – Эрмита (см. приложение Б). Функции(1.53) нормированы на единицу и ортогональны на всей вещественнойоси:Z +∞Ψn0 (x)Ψn (x) dx = δn0 n .(1.56)−∞24Основное состояние осциллятора имеет ненулевую энергию E0 == }ω/2 (отсчитывается от «дна» потенциальной ямы).

Это так называемая энергия нулевых колебаний. Наличие нулевых колебаний непротиворечит принципу неопределенностей, не позволяющему частице опуститься на «дно». Основному состоянию соответствует волноваяфункция1x2Ψ0 (x) = p √ exp − 2 .(1.57)2x0x0 πПоскольку при удалении от положения равновесия потенциальнаяэнергия монотонно возрастает непрерывным образом, волновые функции будут ненулевыми и в классически недоступной области. Графикплотности вероятности в основном состоянии дается в качестве примера на рис.

1.9б. Он представляет собой гауссову кривую.Пример 1.9. Линейный одномерный гармонический осциллятор приведен в основное состояние. Найти вероятность его обнаружения вклассически доступной области.Решение. Будем предполагать массу осциллятора m и частоту ω известными. Найдем границы классически доступной области ±a (см.рис. 1.9) из условия1}ωmω 2 a2 = E0 =;22r} (1.54)= x0 .a=mω(1.58)Таким образом, можно сказать, что единицей длины для осциллятореслужит размер классически доступной области в основном состоянии.Для величины вероятности получаем:P =Z+aw0 (x) dx =−aZ+a−a(1.57)Ψ20 (x) dx =x2=exp − 2 dx =x0x0 π −aZ 12x(1.58) 2e−t dt = erf(1) ≈ 0,8427.= √==tx0π 01√Z+aПри вычислении интеграла использовано свойство четности подынтегральной функции. Ответ выражается через табулированную функциюошибок (см.

формулу (А.6) части 1). Легко заметить, что результат независит ни от массы осциллятора, ни от его частоты.25Пример 1.10. Проверить соотношение неопределенностей для координаты и импульса в случае с одномерным линейным гармоническимосциллятором.Решение. Полиномы Чебышева – Эрмита имеют четность (−1)n , поэтому в соответствии с (1.55) hxi = 0. В связанных стационарных состояниях любой системы hpi = 0 (см. задачу 42 части 1). Поэтомуh(∆x)2 i = hx2 i;h(∆p)2 i = hp2 iВид осцилляторного потенциала позволяет кардинально упростить вычисление этих средних величин с использованием теоремы о вириале(пример 5.2 части 1). Для осциллятора она даетhp2 i= mω 2 hx2 i.mС другой стороны, по определению стационарных состояний1hp2 i 1.+ mω 2 hx2 i = }ω n +2m22(1.59)(1.60)После совместного решения (1.59) и (1.60) получаем:11}2222hx i = x0 n +; hp i = 2 n +,n = 0, 1, .

. . ,2x02где x0 определено в (1.54). Заметим, что специфический вид потенциальной энергии позволил получить эти результаты без использованиятрудоемкого интегрирования.Выполнение соотношения неопределенностей здесь очевидно. Болеетого, в основном состоянии (n = 0) это соотношение превращается встрогое равенство. Состояния, минимизирующие соотношение неопределенностей, называются когерентными.