QM2 (И.В. Копытин, А.С. Корнев - Задачи по квантовой механике), страница 9

После алгебраическихa0}a0}0преобразований из выражения (3.13) получаем: 3/2 (−2 −2 )2i}ZiiZZc1s (p) =+ p−− p=πp 2}a0a0}a0} 3/2−2 a p 2 −2ZZi8 a0 3/24}0+ p=.Im1+=−πp 2}a0a0}π 2}Z}ZРаспределение по импульсам (плотность вероятности) дается выражением a p 2 −4 a 3 800.1+w1s (p) = |c1s (p)|2 = 2π }Z}Z54Предлагаемсамостоятельно убедиться в выполнении условия нормиRровки w1s (p)d3 p = 1 и найти наивероятнейшее значение импульса.Пример 3.3.

Квантовая система находится в состоянии, описыва1(3 +емом в полярных координатах волновой функцией Φ(ϕ) = √19π+ cos ϕ). Записать ее в энергетическом представлении по базису плоского ротатора с моментом инерции I и пояснить смысл величин|c(Em )|2 .Решение. Разложим функцию Φ(ϕ) по базисным функциям плоскогоeimϕротатора Ψm (ϕ) = √(m = 0, ±1, . . .; спектр дискретный: Em =2π}2 m 2=).

Применяя формулу Эйлера, получаем:2Irr21 2Φ(ϕ) = 3Ψ0 (ϕ) +{Ψ1 (ϕ) + Ψ−1 (ϕ)},192 19rr1 22т. е. c(E0 ) = 3, c(E±1 ) =. В остальных случаях (|m| > 1)192 19c(Em ) = 0. Другими словами, волновая функция в E-представленииизображается бесконечным столбцом.

|c(Em )|2 дает вероятность wm обнаружения состояния Ψm (ϕ) в состоянии Ψ(ϕ). В частности, в нашейзадаче при каждом измерении энергии будет получаться одно из двухзначений энергии: E0 = 0 (основное состояние) или E±1 (первое возбужденное состояние). Вероятности их обнаруженияw0 = |c(E0 )|2 =18;19w±1 = 2|c(E±1 )|2 =1(двукратное вырождение).19Как и следовало ожидать, выполняется условие нормировкиPwm = 1.mЗадачи для самостоятельного решения26. Частица массы m находится в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме шириной a.

Найти волновые функции стационарных состояний в импульсном представлении. (Ответ: cn =√(−1)n e−ipa/} − 1πa}; n = 1, 2, . . .).(pa)2 − (π}n)25527. Линейный гармонический осциллятор (масса — m, частота — ω) находится в основном состоянии. Найти импульсное представление вол21p; p20 = m}ω.;новой функции. (Ответ: c0 (p) = p √ e−ξ /2 ; ξ =p0p0 πУказание: см.

пример 3.1).28. Частица массы m находится в бесконечно глубокойпотенциальнойr30яме шириной a и приведена в состояние Ψ(x) =x(x − a). Найтиa5его энергетическое представление, среднееэнергии, а также√ значение n+1}2240 1 + (−1)флуктуацию энергии. (Ответ: Cn = − 3;hEi=5;πn3ma2∞p√ }2P2h(∆E) i = 5;n=0,1,....Указание:(2k + 1)−4 = π 4 /96;ma2k=0∞P(2k + 1)−2 = π 2 /8).k=029. Записать волновую функцию частицы в центральном поле в L2 представлении. (Ответ: радиальная функция fEl (r)).30. Записатьs сферическую функцию Ylm (θ, ϕ) в Lz -представлении.2l + 1 (l − |m|)! mP (cos θ), где Plm (x) — присоединенный по(Ответ:2 (l + |m|)! lлином Лежандра).3.2.Дираковский формализмНаряду с ранее использованным обозначением волновой функцииΨa (r) в координатном представлении нередко используется введенноеДираком скобочное обозначение:Ψa (r) = hr |ai .(3.14)Поясним смысл обозначения (3.14).

Согласно Дираку, любое состояние «a» квантовой системы можно описать (независимо от выбора представления) некоторой математической конструкцией, которая называется «кет»-вектором и обозначается символом |ai. Вследствие принципа суперпозиции «кет»-векторы можно складывать и умножать накомплексные скалярные величины и получать новые «кет»-векторы.Совокупность всех возможных «кет»-векторов образует абстрактноекомплексное векторное пространство бесконечного числа измерений,которое называется гильбертовым пространством.Каждому «кет»-вектору можно сопоставить дуальный вектор состояния «бра», который обозначается символом ha| и связан с «кет»56†вектором операцией эрмитова сопряжения: ha| = |ai .

Поэтому любоесостояние квантовой системы можно описать как «кет»-вектором, таки «бра»-вектором. «Кет»- и «бра»-векторы имеют различную природу, поэтому их нельзя складывать. Следовательно, они не могут бытьразбиты на чисто вещественную и чисто мнимую части. Это комплексные величины особого рода. Действие оператора на «кет»-вектор осуществляется слева направо и по отношению к эрмитову сопряжениюрассматривается как произведение, т.е.

если|bi = Ĝ |ai ,то (|bi)† = hb| = (Ĝ |ai)† = (|ai)† Ĝ† = ha| Ĝ† .Таким образом, действие оператора на «кет»-вектор слева направоэквивалентно действию эрмитово сопряженного оператора на дуальный «бра»-вектор справа налево.Скалярное произведение «кет»-векторов |ai и |bi строится перемножением hb| и |ai: hb |ai 1 . Скалярное произведение является обычным∗комплексным числом и удовлетворяет соотношению hb |ai = ha |bi .Векторы, соответствующие состояниям финитного движения, можно нормировать условием ha |ai = 1.Базисные векторы линейного эрмитова оператора Ĝ (Ĝ |Gn i =Gn |Gn i) будут удовлетворять условию ортонормировкиhGn |Gm i = δGn Gm = δnm .(3.15)Свойство (3.15) записано для дискретного спектра.

В случае непрерывного спектра δ-символ заменяется δ-функцией.Конструкция F̂ = |biha|, в отличие от hb |ai, является оператором,т.к. при его действии на вектор получается новый вектор:F̂ |ci = |biha |ci ;hc| F̂ = hc |biha| .Для полной ортонормированной системы векторов выполняется соотношение, именуемое условием полноты:X|Gn ihGn | = 1̂,(3.16)nгде 1̂ — единичный оператор. Для базиса, соответствующего непрерывному спектру, суммирование в (3.16) заменяется интегрированием.Соотношение (3.16) чрезвычайно удобно для разложения произвольного вектора |ai по базису:X(3.16) X|ai = 1̂ |ai =|Gn ihGn |ai =c(Gn ) |Gn i .(3.17)nn1Термины «бра» и «кет» соответствуют частям английского слова bracket —скобка, т.к.

скалярное произведение обозначается такой скобкой.57Оператор P̂n = |Gn ihGn | в (3.17) называется проекционным, т.к. онпозволяет получить коэффициенты разложения вектора |ai по базису:c(Gn ) = hGn |ai.Пусть базис оператора Ĝ задается множеством векторов |Gn i. Тогдаупорядоченный набор коэффициентов разложения некоторого вектора|ai по базису оператора Ĝ (см. (3.17)) принято называтьG-представлением состояния |ai. Для него уже имеется дираковскоеобозначение hGn |ai. Символ в «кет»’-векторе называется индексом состояния, в «бра»-векторе — индексом представления. Другими словами, G-представление состояния |ai представляет собой множество всехего проекций на состояния с определенными значениями величины G.Оно дает «явный» вид вектора |ai, удобный для различных вычислений.

Данное утверждение поясняет смысл обозначения (3.14): значениеволновой функции Ψa в точке с координатой r равно проекции состояния «a» на состояние с координатой r.Пользуясь дираковской техникой, получаем правило перехода от F представления волновой функции состояния |ai к G-представлению.Для простоты спектр операторов F̂ и Ĝ предполагаем дискретным. Наосновании (3.16) имеем:XX∗hGm |ai = hGm | 1̂ |ai = hGm ||Fn ihFn |ai =hFn |Gm i hFn |ai .nn(3.18)Набор коэффициентов перехода hFn |Gm i образует F -представление состояния |Gm i (см. также (3.2), (3.4)).

Обобщение (3.18) на случай непрерывного спектра очевидно.Пример 3.4. Получить в дираковском формализме правило переходаот координатного представления состояния |ai к импульсному.Решение. В формуле (3.18) заменим Gm → p, Fn → r:Z∗hp |ai = d3 r hr |pi hr |ai .(3.19)Скобка hr |pi соответствует координатному представлению состояния симпульсом p. Как известно, hr |pi = (2π)−3/2 eipr/} .Пример 3.5. Исследовать общую структуру собственной функцииоператора Ĝ в своем собственном представлении, предполагая егоспектр дискретным.Решение. Для определенности найдем G-представление состояния|Gm i.

В соответствии с правилом получения заданного представлениястроим дираковскую скобку:(3.15)hGn |Gm i = δGn Gm = δnm .58(3.20)В непрерывном спектре δ-символ Кронекера заменяется δ-функциейДирака. Таким образом, собственная функция линейного эрмитова оператора в своем собственном представлении имеет δ-образнуюструктуру. Рекомендуем также сравнить (3.20) с (3.5).В качестве примера построим собственную функцию оператора координаты в координатном представлении. Пусть вектор |r 0 i задает состояние с координатой r 0 . Как известно, r̂ = r, его спектр непрерывный, поэтому в соответствии с (3.20) hr |r 0 i = δ(r − r 0 ).Ниже всюду взаимосвязь различных представлений будет даватьсяв дираковском формализме.3.3.Теория представлений для операторов физических величинДля конкретных вычислений необходимо использовать одинаковоепредставление как для векторов состояний, так и для операторов.