QM2 (И.В. Копытин, А.С. Корнев - Задачи по квантовой механике), страница 6

Перепишем теперь (1.91) через новые операторы (1.92):B̂ † B̂ϕ(ξ) = ε00 ϕ(ξ),(1.93)где ε00 = ε0 + γ 2 = ε − 12 + γ 2 . По своей структуре уравнение (1.93) идентично уравнению (1.78) с известным решением (см. (1.86)). Поэтомурешение (1.90) можно записать теперь сразу:εn = n +1− γ2.2В обычных единицах оно совпадает с (1.65).

Использованный формализм удобен в квантовой теории поля.1.6.Сохранение четностиКак известно, в случае инвариантности потенциала относительноинверсии [V (−r) = V (r)] четность состояний будет интегралом движения (см. пример 5.7 части 1). Поэтому при таких условиях представляется целесообразным введение определенной четности уже в общий видрешения стационарного уравнения Шредингера. В одномерных задачахчисло независимых интегралов движения не превышает одного. Следовательно, четность стационарных состояний одномерного финитного движения однозначно определяется их энергией (но не наоборот).Напомним, что основное состояние всегда является четным.Пример 1.13.

Решить задачу примера 1.2, учитывая сохранение четности.33Решение. Если начало координат поместить в середину потенциальнойямы, то потенциал (1.6) станет четной функцией координаты:(0,− a2 < x < + a2 ;V (x) =(1.94)+∞, x 6 − a2 , x > + a2 .Теперь следует решать уравнение (1.7) с граничными условиями(1.95)Ψ(± a/2) = 0.Общий вид четных решений (1.7) выражается косинусом:Ψ(+) (x) = A(+) cos(kx),(1.96)где k определяется (1.10). Применение граничных условий (1.95) к(1.96) дает следующие допустимые значения k:kn(+) =π(2n + 1);a(1.97)n = 0, 1, . . .Общий вид нечетных решений (1.7) выражается синусом:Ψ(+) (x) = A(−) sin(kx),(1.98)откуда2πn;n = 1, 2 .

. .(1.99)aТаким образом, мы приходим к известному результату (1.17), полученному в примере 1.2.kn(−) =Применение закона сохранения четности особенно эффективно прирешении более сложных задач.Пример 1.14. Частица массы m совершает финитное движение в симметричной прямоугольной потенциальной яме глубины V0 и ширины a. Найти энергии стационарных состояний частицы.V(x)E-a2II V0IIII0a2xРешение. Будем использовать идеи и обозначения из примера 1.4.Рис.

1.11.Если начало координат поместить всередину потенциальной ямы, то потенциал станет четной функциейкоординаты:(0,− a2 < x < + a2 ;(1.100)V (x) =V0 , x 6 − a2 , x > + a2 .34Поэтому нужно решать уравнение (1.1) с потенциалом (1.100) и граничными условиямиΨ(±∞) = 0.Две точки разрыва разбивают потенциал на три области (рис. 1.11).Однако вследствие симметрии достаточно ограничиться только областями I и II и одной точкой разрыва x = + a2 .В области II решение уравнения Шредингера (1.1) дается выражением (1.21).

В области I его четные решения имеют вид (1.96), анечетные — (1.98). Сшивание этих решений в правой точке разрываприводит к следующим трансцендентным уравнениям для k:(+)kn(+) a}kn= π(2n + 1) − 2 arcsin √;2mV0kn(−) a}kn= 2π(n + 1) − 2 arcsin √;2mV0(−)n = 0, 1, . . .Их можно теперь и объединить:}kn;kn a = π(n + 1) − 2 arcsin √2mV0n = 0, 1, . . .(1.101)Энергии стационарных состояний вычисляются по корням уравнения(1.101) в соответствии с (1.25). Рекомендуем сравнить уравнение (1.101)с полученным в задаче 4.В нашем примере использование закона сохранения четности имеетпреимущество в том, что при сшивании можно решать систему из двухуравнений, как в примере 1.4, а не четырех (см. пример 1.8).Предлагаем самостоятельно проанализировать энергетическийспектр по аналогии с примером 1.4.Заметим, что в соответствии с принятой в условии осцилляционнойтеоремы нумерацией уровней, четность состояний всегда будет определяться четностью квантового числа n:Ψn (−x) = (−1)n Ψn (x).(1.102)Поэтому при сохранении четности плотность вероятности всегда будет четной функцией координат.

В соответствии с осцилляционнойтеоремой при сохранении четности основное состояние всегда будетчетным.Из (1.102) можно заключить также, что при сохранении четностисреднее значение координаты будет нулевым (точнее — совпадает с центром симметрии).35Данный метод решения применим только для связанных состояний. В состояниях с определенным импульсом четность не сохраняется. Поэтому, например, даже граничные условия к задаче рассеяния напотенциальном барьере оказываются неинвариантными относительноинверсии.Задачи для самостоятельного решения14.

Частица массы m движется в потенциальной яме(+∞,x 6 0;V (x) =12 22 mω x , x > 0.Найти энергии стационарных состояний и соответствующие им волновые функции.15. Частица массы m находится в δ-образной потенциальной ямеV (x) = −Ωδ(x). Найти энергии связанных стационарных состояний.mΩ2(Ответ: единственный уровень E0 = − 2 .)2}16∗ . Решить задачу об осцилляторе с учетом закона сохранения четности.(Указание: четные решения уравнения (1.73) искать в виде ψ+ (ξ) =f+ (ξ 2 ), нечетные — в виде ψ− (ξ) = ξf− (ξ 2 ); уравнение (1.73) свести квырожденному гипергеометрическому (А.1).)36Глава 2.Трехмерные задачи. Движение вцентральном поле2.1.Общие положенияУравнение Шредингера является уравнением второго порядка вчастных производных.

Если физическая система обладает многими степенями свободы, то задача нахождения собственных функций и собственных значений становится гораздо более трудоемкой по сравнениюс одномерным случаем. Однако наличие у гамильтониана определенных свойств симметрии позволяет в ряде случаев существенно облегчить решение уравнения. Может оказаться, что удачная замена переменных приведет к уравнению в частых производных с разделяющимися переменными; задача собственных функций и собственных значенийраспадается при этом на несколько задач с меньшим числом переменных, т.е.

более простых.Такая ситуация имеет место при исследовании движения частицымассы µ в центрально-симметричном поле, когда потенциальнаяэнерp22гия зависит от расстояния до силового центра r = x + y + z 2 , ноне от направления радиус-вектора r (U (r) = U (|r|) = U (r)). В этомслучае стационарное уравнение ШредингераĤΨ(r) = EΨ(r)(2.1)из-за сферической симметрии потенциала удобно решать в сферическойсистеме координат с гамильтонианом2L̂p̂2r++ U (r),Ĥ =2µ 2µr2где1 ∂1∂p̂r = −i},r = −i}+r ∂r∂rr221∂1∂∂L̂ = −}2= −}2 ∇2θ,ϕsin θ+2 ∂ϕ2sin θ ∂θ∂θsin θ37(2.2)(2.3)(2.4)— оператор квадрата орбитального момента (напомним, что L̂ = [r, p̂]).Первые два слагаемых в гамильтониане (2.2) являются оператором кинетической энергии; ∇2θ,ϕ в (2.4) — угловая часть оператора Лапласа в2сферической системе координат.

Поскольку L̂ действует лишь на угловые переменные, он коммутирует с гамильтонианом (2.2), а значит, L2является интегралом движения. Интегралом движения в центральномполе, как легко видеть, является и проекция орбитального момента навыделенное направление (ось Oz). Соответствующий оператор в сферической системе координат имеет вид:L̂z = −i}∂.∂ϕ(2.5)Заметим, что L2 и Lz измеримы совместно, поскольку их операторыкоммутируют. Таким образом, система, описываемая гамильтонианом(2.2) (т.е. частица в центральном поле), может находиться в состояниях с определенной энергией, определенным значением квадрата орбитального момента и определенным значением проекции момента навыделенное направление.

Волновые функции этих состояний являютсяодновременно собственными функциями всех трех вышеперечисленныхоператоров.2Собственные функции и собственные значения операторов L̂ и L̂zмогут быть найдены из решения уравнений2L̂ Ψ(θ, ϕ) = L2 Ψ(θ, ϕ);L̂z Ψ(θ, ϕ) = Lz Ψ(θ, ϕ)(2.6)на единичной сфере. Собственными значениями операторов (2.4) и (2.5)являютсяL2 = }2 l(l + 1),l = 0, 1, 2, . . . ;Lz = }m,m = 0, ±1, . .

.Им соответствуют сферические функции Ylm (θ, ϕ) (см. приложение В).Индекс l называют орбитальным, а m — магнитным квантовыми числами.Так как волновая функция стационарных состояний частицы с определенными значениями L2 , Lz в произвольном поле сферической симметрии должна одновременно быть собственной функцией операторов2L̂ и L̂z , то уравнения (2.6) будут автоматически удовлетворяться, еслирешение уравнения Шредингера с гамильтонианом (2.2) искать в виде:Ψ(r) = ΨElm (r, θ, ϕ) = fEl (r)Ylm (θ, ϕ),38(2.7)где fEl (r) — радиальная волновая функция, которая определяется видом потенциальной энергии U (r) и зависит от значений полной энергииE и орбитального момента l. Поскольку в поле сферической симметриинет выделенных направлений в пространстве, то радиальная функцияf (r) не будет зависеть от значения магнитного квантового числа m.Представление Ψ(r) в виде (2.7) позволяет разделить переменные r и(θ, ϕ) в уравнении Шредингера (2.1).

Подставляя (2.7) в (2.1) и учитывая (2.2) и (2.4), для функций fEl (r) получаем:2}2 1 dd}l(l+1)fEl (r) = EfEl (r). (2.8)−r2fEl (r) + U (r) +22µ r drdr2µr2Граничным условием для решения уравнения (2.8) является требованиеконечного значения fEl (r) в области r от 0 до ∞.1Обычно fEl (r) представляют в виде fEl (r) = REl (r), что приводитrк эквивалентной форме уравнения (2.8):}2 d 2}2 l(l + 1)−REl (r) = EREl (r)REl (r) + U (r) +2µ dr22µr2(2.9)с обязательным граничным условием REl (0) = 0. Это уравнение называется радиальным уравнением Шредингера.

По своей структуре (2.9)совпадает с одномерным уравнением Шредингера с потенциаломUeff (r) = U (r) +}2 l(l + 1).2µr2(2.10)Таким образом, квантовая механика, подобно классической, позволяетв центральном поле свести трехмерную задачу к одномерной добавле}2 l(l + 1)нием центробежного слагаемого. При этом в уравнении Шре2µr2дингера возникает целый неотрицательный параметр l.На бесконечном удалении от силового центра граничное условиеопределяется конкретной постановкой задачи. Так, для связанных состояний fEl (r)|r→∞ → 0, REl (r)|r→∞ → 0.

При этом функции fEl (r) иREl (r) следует нормировать на единицу условиямиZ ∞Z ∞22REl(r) dr = 1.(2.11)fEl(r)r2 dr = 1;00Поскольку при фиксированном l магнитное квантовое число m может принимать значения m = 0, ±1, . . . , ±l (всего 2l + 1 значение),каждое из стационарных состояний с определенным значением l будет392l +1-кратно вырождено. Состояния, относящиеся к разным значениямl = 0, 1, 2, .