QM2 (И.В. Копытин, А.С. Корнев - Задачи по квантовой механике)

Федеральное агентство по образованиюИ.В. Копытин, А.С. Корнев, Т.А. ЧураковаЗадачи по квантовой механикеУчебное пособие для вузовЧасть 23-е изданиеВоронеж 2008Утверждено научно-методическим советом физического факультета12 февраля 2008 г., протокол № 2Учебное пособие подготовлено на кафедре теоретической физикифизического факультета Воронежского государственного университета.Рекомендуется для студентов 3, 4 курсов д/о и 4 курса в/о.Для специальностей: 010701 — Физика, 010801 — Радиофизика и электроника, 010803 — Микроэлектроника и полупроводниковые приборы2ОглавлениеВведение4Глава 1. Одномерные задачи1.1. Общие принципы решения одномерных задач1.2.

Прямоугольная потенциальная яма . . . . . .1.3. Прохождение через потенциальный барьер .1.4. Линейный гармонический осциллятор . . . .1.5. Бозе-операторы . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6. Сохранение четности . . . . . . . . . . . . . ...........................................55714233033Глава 2.

Трехмерные задачи. Движение в центральном поле372.1. Общие положения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2. Водородоподобный атом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Глава 3. Основы теории представлений3.1. Представление волновой функции . . . . . . . . . . . . .3.2. Дираковский формализм . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .3.3. Теория представлений для операторов физических величин3.4. Теория представлений и наблюдаемые физические величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5. Унитарные преобразования . . . . . . . . . . . . .

. . . .3.6. Представления зависимости операторов и волновыхфункций от времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ПриложениеА. Вырожденная гипергеометрическая функцияБ. Полиномы Чебышева – Эрмита . . . . . . . .В. Сферические функции . . . . . . . . . . . . .Г. Присоединенные полиномы Лагерра .

. . . .Д. Функции Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . .3...................................51515659666973767676777879ВведениеНастоящее пособие предназначается для практических занятий исамостоятельной работы по курсу «Квантовая теория» для студентоввсех специальностей физического факультета.Пособие содержит три главы, охватывающие следующие вопросыкурса: одномерные задачи (гл. 1), движение в центральном поле (гл. 2)и основы теории представлений (гл. 3).В части 1 данного цикла пособий представлены основы квантовоймеханики. В настоящем пособии методами квантовой теории исследуются конкретные простейшие физические системы и разбираются задачи, допускающие точное аналитическое решение.Все главы и разделы содержат, как правило, краткое изложение теоретического материала, а также большое количество наиболее важныхзадач с подробным решением. Часть задач предложена для самостоятельного решения. Наиболее трудные (дополнительные) задачи отмечены звездочками.Нестандартный справочный математический материал вынесен в«Математическое приложение».

Поэтому использование дополнительной математической литературы при изучении данного пособия непредполагается.Приведем значения (в единицах СИ) некоторых фундаментальныхконстант, использованных в настоящем пособии:постоянная Планка } = 1.055 · 10−34 Дж·с;масса электрона me = 9.11 · 10−31 кг;заряд электрона e = −1.6 · 10−19 Кл.4Глава 1.Одномерные задачи1.1.Общие принципы решения одномерных задачЭнергии стационарных состояний частицы массы m, совершающейодномерное движение в поле V (x), и соответствующие им волновыефункции находятся из решения одномерного стационарного уравненияШредингера:}2 d 2−Ψ(x) + V (x)Ψ(x) = EΨ(x).2m dx2(1.1)Граничные условия к нему вытекают из стандартных условий [требование конечности, однозначности и непрерывности волновой функцииΨ(x)], а также определяются характером движения.

В частности, в случае финитного движения граничные условия необходимо выбирать нулевыми. Напомним, что в стационарных состояниях зависимость волновых функций от времени дается множителем exp[−iEt/}]. В настоящем пособии будут исследоваться основные аспекты аналитическогорешения уравнения (1.1).Вначале рассмотрим движение в кусочно-непрерывном потенциале(рис. 1.1) и исследуем поведение волновой функции в точках его разрыва.Пример 1.1. Потенциальная энергия имеет конечный разрыв в точкеx = a (рис. 1.1а).

Исследовать волновую функцию в этой точке.Решение. Непрерывность волновой функции в точке x = a будет обеспечена в силу фундаментальности стандартных условий.Рис. 1.1.5Для исследования производной проинтегрируем уравнение Шредингера (1.1) в пределах от a − 0 до a + 0:−}2[Ψ0 (a + 0) − Ψ0 (a − 0)] = 0.2mТаким образом, при наличии конечного разрыва потенциальнойэнергии волновая функция в точке разрыва будет оставаться непрерывной вместе со своей первой производной:Ψ0 (a − 0) = Ψ0 (a + 0).Ψ(a − 0) = Ψ(a + 0);(1.2)Под Ψ(a ± 0) здесь следует понимать значение функции справа (слева)от точки x = a в непосредственной близости от нее. Соотношения (1.2)называются также правилом «сшивания» волновой функции в точкеразрыва потенциала.Соотношения (1.2) можно сформулировать иначе:Ψ0 (x) Ψ0 (x) =,Ψ(x) a−0Ψ(x) a+0илиdd=,ln Ψ(x)ln Ψ(x)dxdxa−0a+0(1.3)т. е.

в точке конечного разрыва потенциала логарифмическая производная волновой функции будет непрерывна. Условия (1.2) и (1.3) эквивалентны.Если в точке x = a имеется бесконечно высокая потенциальнаястенка (рис. 1.1б), то в соответствии с уравнением Шредингера (1.1)справа от стенки волновая функция тождественно обращается внуль, т.е. в эту область частица не проникает. В соответствии с условием непрерывности при x = a волновая функция должна обратитьсяв нуль:Ψ(a − 0) = Ψ(a) = 0;Ψ(x > a) ≡ 0.(1.4)В этом случае на производную функции в точке x = a каких-либоограничений не накладывается.В заключение перечислим без доказательства специфические свойства одномерного финитного движения, которые устанавливаются втеории функционального анализа:1) все энергетические уровни будут невырожденными;2) волновые функции стационарных состояний можно выбрать вещественными 1 ;1Другими словами, их фазы не зависят от координат.63) если основное состояние нумеровать индексом «0», первое возбужденное — «1» и т.д., то в области локализации частицы, исключая ее границы, волновая функция n-го возбужденного состояния ровно n раз обращается в нуль, причем все нули будут невырожденными 2 .Задачи для самостоятельного решения1.

Потенциальная энергия имеет δ-образную особенность в точке x = a:V (x) = U (x) + Ωδ(x − a),где U (x) — кусочно-непрерывная функция с возможным разрывом конечной величины в точке x = a, Ω = const. Обобщить соотношения(1.2) для потенциалов данного типа.(Ответ:2m(1.5)Ψ(a + 0) = Ψ(a − 0);Ψ0 (a + 0) − Ψ0 (a − 0) = 2 ΩΨ(a),}где m — масса частицы.)1.2.Прямоугольная потенциальная ямаПрямоугольная потенциальная яма является частным случаем рассмотренной выше кусочно-непрерывной потенциальной энергии. Поэтому при решении задач мы будем пользоваться результатами предыдущего пункта.Пример 1.2. Частица массы m находится в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме ширины a(рис.

1.2). Найти энергии стационарныхсостояний частицы и соответствующие им волновые функции.V(x)Решение. Примем дно ямы за нулевойxaуровень отсчета энергии, а левый угол —0за начало координат.Допустимые энергии будут неотрицаРис. 1.2.тельными, а движение — всегда финитным. Поэтому необходимо решать уравнение Шредингера (1.1) с потенциалом(0,0 < x < a;V (x) =(1.6)+∞, x 6 0, x > a2Данное свойство называется осцилляционной теоремой.7и нулевыми граничными условиями на бесконечности.

Потенциал (1.6)является кусочно-непрерывным с бесконечно высокими стенками. Поэтому в соответствии с (1.4) вне ямы волновая функция обратится втождественный нуль и примет нулевые значения на границах ямы,что полностью согласуется с граничными условиями. Теперь уравнение (1.6) упрощается и записывается на промежутке от 0 до a в виде}2 00Ψ (x) = EΨ(x)−2mи нулевыми условиями на границах промежутка:Ψ(0) = Ψ(a) = 0.(1.7)(1.8)В соответствии со свойствами одномерного финитного движения общеерешение линейного однородного дифференциального уравнения удобнопредставить в вещественной форме:Ψ(x) = A sin kx + B cos kx,гдеk=√2mE/},(1.9)(1.10)A и B — подлежащие определению константы.

Постоянная k такжеподлежит определению, поскольку выражается через неизвестные значения энергии. Число неизвестных на единицу превышает число граничных условий (1.8). В этом нет никакого противоречия, посколькурешение уравнения (1.7) определяется с точностью до ненулевого постоянного множителя (нормировочной константы).Для выполнения первого граничного условия (1.8) в точке x = 0необходимо положить B = 0, и тогда A следует считать нормировочнойконстантой. Значения k, а следовательно, и энергии E, определяютсявторым граничным условием (1.8) в точке x = a, т.е. из уравненияsin ka = 0.Данное уравнение удовлетворяется при следующих дискретных значениях k:kn = πn/a,n = 0, ±1, .