QM2 (И.В. Копытин, А.С. Корнев - Задачи по квантовой механике), страница 2

. .(1.11)Таким образом, в соответствии с (1.9)–(1.11) мы получаем следующиевыражения для энергий и волновых функций:π 2 }2 n2En =,2ma2n = 0, ±1, . . . ;Ψn (x) = A sin8πnx.a(1.12)(1.13)Вид функции (1.13) подтверждает правильность выбора решения в вещественной форме (1.9).Устраним теперь «посторонние» значения n. Прежде всего заметим,что при n = 0 функция (1.13) обращается в тождественный нуль, т.е.получено не представляющее физического интереса тривиальное решение уравнения Шредингера. Поэтому значение n = 0 необходимоисключить из рассмотрения.Далее, при замене ненулевого n → −n значения энергии (1.12) остаются прежними, а волновые функции (1.13) вследствие нечетности синуса меняют знак, т.е. умножаются на константу −1.

Это означает физическую эквивалентность Ψn (x) и Ψ−n (x). Поэтому отрицательныезначения n также необходимо исключить из рассмотрения, так чтокажущееся вырождение энергетических уровней по знаку n на самомделе отсутствует.Нормировочная константа A для частного случая n = 1 вычисленав примере 1.1 части 1. Предлагаем самостоятельно обобщить результатна случай n > 1.

Приведем окончательный ответ:π 2 }2 n2,En =2ma2Ψn (x) =rn = 1, 2, . . . ;2πnxsin.aa(1.14)(1.15)Кратко проанализируем решение.Одномерная бесконечно глубокая потенциальная яма содержит бесконечное число уровней энергии. Энергии стационарных состоянийсверху не ограничены и однозначно определяются квантовым числомn. Расстояние между соседними уровнями линейно возрастает с увеличением квантового числа.Основному состоянию соответствует n = 1.

Оно имеет ненулевуюэнергию E1 = π 2 }2 /(2ma2 ), т.е. лежит выше «дна» потенциальной ямы.Данный факт согласуется с принципом неопределенности: разброс значений координаты ограничен конечными размерами ямы, так что импульс просто обязан иметь ненулевой разброс значений вследствие конечности правой части неравенства}2h(∆x) ih(∆p) i >422(см. также следующий пример).9(1.16)Для проверки осцилляционной теоремы решения (1.14), (1.15) необходимо перенумеровать так, чтобы основному состоянию соответствовало n = 0. Для этого сделаем замену n → n + 1:π 2 }2(n + 1)2 , n = 0, 1, . . . ;22ma r2πxΨn (x) =sin(n + 1).aaEn =(1.17)Предлагаем теперь самостоятельно проверить осцилляционную теорему, а также свойства ортогональности и полноты функций (1.15).

Пример 1.3. В условиях предыдущей задачи в стационарных состояниях найти средние значения координаты и импульса и их среднеквадратичные отклонения. Проверить соотношение неопределенностей для координаты и импульса в стационарных состояниях.Решение. Задачу решаем по аналогии с примером 3.3 Части 1, только в качестве волновых функций используем (1.15), а интегрированиепроводим на промежутке от 0 до a. Интегрировать здесь удобно побезразмерной переменной ξ = x/a. Все выкладки рекомендуем сделатьсамостоятельно, а здесь приведем лишь конечный результат:a2 11a2h(∆x) i =−;hxi = ;22 6 π 2 n22π}n2hpi = 0;h(∆p) i =,n = 1, 2, . .

.aНа основании полученных результатов проверим соотношениенеопределенностей (1.16) в стационарных состояниях (1.15):}2 π 2 n222h(∆x) ih(∆p) i =−2 .43Легко видеть, что множитель в скобках в правой части будет большеединицы при всех допустимых значениях n.Пример 1.4. Частица массы m находится в прямоугольной потенциальной яме, которая ограничена слева бесконечно высокой потенциальной стенкой, а справа — ступенькой конечной высоты V0(рис. 1.3а). Найти энергии связанных стационарных состояний частицы.Решение. В точке x = a потенциальная энергия претерпевает конечныйразрыв, поэтому уравнение Шредингера (1.1) нужно решать в двухсоседних областях: I (0 6 x 6 a) и II (x > a).10Рис.

1.3.В области I задача полностью эквивалентна той, что разобрана впримере 1.2, поэтому можно сразу выписать ее решение с требуемымусловием в нуле:ΨI (x) = A sin kx,(1.18)где A — произвольная ненулевая константа, а волновое число k связанос энергией соотношением (1.10).Финитное движение возможно только при условииE < V0 ,(1.19)что необходимо учитывать при решении уравнения Шредингера в области II:}2 00−Ψ (x) + V0 ΨII (x) = EΨII (x).(1.20)2m IIНетрудно убедиться, что уравнению (1.20) удовлетворяет следующаяфункция, обращающаяся в нуль при x → +∞:ΨII (x) = B e−κx ,(1.21)гдеκ=pq2m(V0 − E) (1.10)=K02 − k 2 ,} pK0 = 2mV0 /},B — произвольная ненулевая константа.11(1.22)(1.23)_p_2ak0_pa_3p_2ak1_2p_a_5p_K0 2ak0Рис.

1.4.Решения (1.18) и (1.21) необходимо «сшить» в точке конечного разрыва потенциала x = a в соответствии с (1.3), полагая Ψ(a−0) = ΨI (a),Ψ(a + 0) = ΨII (a) и т.д. В итоге получаем следующее трансцендентноеуравнение для k, а значит, и для E:tg ka = − pkK02 − k 2.(1.24)При произвольном значении параметра K0 оно не имеет ненулевогоаналитического решения. Для энергетического спектра теперь имеемформулу:}2 kn2,n = 0, 1, . . .

,(1.25)En =2mгде kn — положительные (почему?) корни уравнения (1.24). Энергетические уровни нумеруются здесь в соответствии с осцилляционнойтеоремой.Для анализа результата воспользуемся графическим методом решения уравнения (1.24) (см. рис. 1.4). График его левой части являетсятангенсоидой. Абсциссы точек ее пересечения с графиком правой частиявляются корнями (1.24). График правой части имеет вертикальнуюасимптотику при k = K0 , поэтому число связанных состояний в ямеконечной глубины ограничено. На рис. 1.4 представлен случай с двумясвязанными состояниями — основным и первым возбужденным. Можно показать, что для появления в яме последовательности уровней E0 ,.

. . , En параметр K0 должен удовлетворять условиюK0 > (2n + 1)π.2a(1.26)При 2K0 a < π связанные состояния частицы в яме вообще отсутствуют. При условии же K0 a 1 (т.е. при V0 → ∞) правая часть12уравнения (1.24) стремится к нулю, а энергетический спектр становится таким же, как и в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы,т.е.

переходит в (1.17). Таким образом, в соответствии с (1.23), (1.25)энергетический спектр частицы полностью определяется ее массой, атакже произведением параметров a2 mV0 .Уравнение (1.24), возможно, не слишком удобно для численного решения, так как требует поиска нескольких его корней.

Его, однако,методами элементарной тригонометрии можно преобразовать к эквивалентному более удобному виду, учитывающему многозначность обратных тригонометрических функций:}k.ka = π(n + 1) − arcsin √2mV0(1.27)Зависящее от параметра n = 0, 1, . . . уравнение (1.27) имеет не болееодного положительного корня для каждого n и легко решается численно.Обратим внимание читателя на еще одну особенность движения вмикромире. В данной задаче область x > a является классически недоступной, так как в ней E < V (x). Тем не менее в соответствии с (1.21)в этой области волновая функция не обращается в нуль тождественно! Это означает проникновение частицы в классически недоступнуюобласть.

График распределения частицы в случае первого возбужденного состояния дается на рис. 1.3б. Плотность вероятности обнаружения частицы экспоненциально затухает при углублении в классическинедоступную область (∼ e−2κx ). Эффективная глубина ее проникновения d ∼ (2κ)−1 определяется высотой «ступеньки» V0 и энергиейчастицы E. Прямое экспериментальное подтверждение данного фактаневозможно по причине макроскопичности измерительных приборов.Наличие частицы можно зафиксировать, приведя ее в состояние с определенным импульсом.

Функция (1.21) не соответствует такому состоянию. Косвенным же подтверждением проникновения микрочастицы вклассически недоступную область является туннельный эффект (см.ниже). В случае бесконечно высокой «ступеньки» (V0 → ∞) частица«выталкивается» из классически недоступной области (D → 0) и мыприходим к задаче примера 1.2.Задачи для самостоятельного решения2. Частица массы m движется в одномерной прямоугольной бесконечно глубокой потенциальной яме ширины a. Найти наиболее вероятные13положения частицы, приведенной в первое возбужденное состояние.a(Ответ: два положения на расстоянии от стенок.)43. Частица массы m движется в одномерной прямоугольной бесконечноглубокой потенциальной яме ширины a.

Найти среднее значение кинетической энергии частицы в произвольном стационарном состоянии.π 2 }2 n2(Ответ: En =, где n = 1, 2, . . .)2ma24∗ . Частица массы m движется в одномерной прямоугольной асимметричной потенциальной яме конечной глубины:V1 , x < 0;V (x) = 0,0 6 x 6 a;V , x > 0.2Найти энергии стационарных состояний частицы.

При каком условии вяме не будет связанных состояний? Каково максимальное число уровней при заданных V1 , V2 и a?(Ответ: энергии вычисляются по формуле (1.25); kn — положительный корень уравнения}kn}kn− arcsin √,kn a = π(n + 1) − arcsin √2mV12mV2n = 0, 1, . . .