QML1 (И.В. Копытин, А.С. Корнев, Н.Л. Манаков - Курс лекций по квантовой теории), страница 8

Внаиболее общем виде уравнение, удовлетворяющее указанным условиям, можно записать следующим образом:i}∂Ψ(ξ, t) = ĤΨ(ξ, t),∂t(1.75)где Ĥ — некоторый подлежащий определению линейный оператор, имеющий размерность энергии (учитывая введенный для удобства множитель i} в левой части уравнения (1.75)).Из требования сохранения нормировки волновой функции с течением времени можно установить также, что оператор Ĥ должен бытьсамосопряженным (эрмитовским). Для этого умножим слева уравнение(1.75) на Ψ∗ (ξ, t), а уравнение, комплексно-сопряженное к (1.75):−i}∂ ∗Ψ (ξ, t) = Ĥ ∗ Ψ∗ (ξ, t),∂t40(1.76)— на Ψ(ξ, t). Вычтем теперь второе соотношение из первого, и полученное равенство проинтегрируем по всем возможным значениям ξ, выносяв левой части производную по времени за знак интеграла:no∂∗i} hΨ |Ψi = hΨ| Ĥ |Ψi − hΨ| Ĥ |Ψi .∂tДля обращения левой части в этом соотношении в нуль (т.

е. для сохранения нормировочного интеграла во времени) выражение в фигурныхскобках в правой части также должно обратиться в нуль, что и означает самосопряженность оператора Ĥ в соответствии с (1.42).В общем случае произвольной квантовой системы явный вид линейного самосопряженного оператора Ĥ (который может также параметрически зависеть от времени при воздействии на систему переменныхвнешних полей) должен быть постулирован. Наводящие соображениядля такого постулирования дает пример свободной частицы с определенным импульсом, для которой вид оператора Ĥ можно установитьтеоретически из следующих рассуждений.

Подстановка волны де Бройля (1.4) в уравнение (1.75) приводит его к видуEΨp (r, t) = ĤΨp (r, t).(1.77)Поскольку для свободного электрона E = p2 /(2m), правая часть (1.77)после действия оператора Ĥ на пространственную часть функцииp2Ψp (r, t). Наиболее простойΨp (r, t) также должна превратиться в2mоператор Ĥ, приводящий правую часть к такому виду, есть}2 2p̂2∇ =.Ĥ = −2m2mТаким образом, уравнение (1.75) для волны де Бройля можно представить в виде:∂i}Ψp (r, t) = T̂ Ψp (r, t),(1.78)∂tгде T̂ есть оператор кинетической энергии электрона:p̂2}2 2T̂ ==−∇ .2m2m(1.79)Как известно, в классической механике кинетическая энергия свободной частицы T = p2 /(2m) совпадает с е функцией Гамильтона H:p2H(p, r) == T.2m41(1.80)Поэтому оператор, действующий на Ψp (r, t) в правой части (1.78), может быть получен из функции Гамильтона (1.80) заменой p → p̂ == −i}∇.

Другими словами, в правой части (1.78) мы имеем гамильтониан Ĥ (оператор Гамильтона) свободной частицы:p̂2.Ĥ = T̂ =2m(1.81)Теперь становится понятной идея обобщения уравнения (1.78) на случай электрона во внешнем силовом поле с потенциальной функцией V (r, t). В этом случае классическая функция Гамильтона даетсясуммой кинетической энергии и потенциальной функции: H(p, r) =p2= 2m+ V (r, t).

Заменяя в ней кинетическую энергию на оператор T̂ ,получаем гамильтониан электрона во внешнем поле}2 2p̂2+ V (r, t) = −∇ + V (r, t).Ĥ =2m2m(1.82)Теперь можно предположить, что уравнение (1.75) с гамильтонианом(1.82), или (в развернутой записи) уравнение∂i}Ψ(r, t) =∂t}2 2−∇ + V (r, t) Ψ(r, t)2m(1.83)и является уравнением для волновой функции электрона во внешнемполе V (r, t). Уравнение (1.75) для волновой функции, в котором оператор Ĥ является гамильтонианом квантовой системы, было предложеноЭ. Шредингером в 1926 г.

и является основным уравнением квантовой механики. Оно называется временны́м уравнением Шредингера ив квантовой теории играет ту же роль, что и уравнения Ньютона вклассической механике: зная состояние системы в начальный моментвремени t = t0 (т. е. начальное состояние Ψ(r, t0 )), оно позволяет получить волновую функцию этого состояния в произвольный моментвремени t.На основании анализа структуры уравнения (1.83) можно сформулировать следующее правило для формального построения уравненияШредингера квантовой системы, для которой классическая функцияГамильтона имеет известный вид H(p, r): в классическом соотношенииH(p, r) = E осуществляется заменаp → p̂ = −i}∇ = −i}∂;∂rE = i}∂,∂tа затем к обеим его частям справа добавляется функция Ψ(r, t).42(1.84)Для важного случая системы N взаимодействующих частиц с парным взаимодействием U (r, r 0 ), движущихся во внешнем силовом полеV (r, t), гамильтониан принимает вид:NNN XXX}22∇i +Vi (r i , t) +Uij (r i , r j ).Ĥ =−2mii=1i,j=1i=1(1.85)i<jЗдесь mi — масса i-й частицы, а ∇i = ∂/∂r i — оператор дифференцирования по радиус-вектору i-й частицы.Самый общий вид временно́го уравнения Шредингера в конфигурационном пространствеi}∂Ψ(ξ, t) = Ĥ(ξ, t)Ψ(ξ, t)∂t(1.86)получается из классического соотношения H(pξ , ξ) = E по аналогии с(1.83) с помощью обобщенной заменыpξ → p̂ξ ;E = i}∂,∂t(1.87)где pξ — обобщенный импульс, соответствующий обобщенной координате ξ.

При этом необходимо обеспечить самосопряженность гамильтониана! В частности, при наличии в функции Гамильтона произведений типа xpx для перехода к гамильтониану необходимо произвестинетривиальную заменуxpx →1{x, p̂x }.2Приведенные выше соображения о явном виде оператора Ĥ в уравнении (1.75) для одной квантовой частицы во внешнем силовом поле, а также его обобщение для системы N взаимодействующих частиц,не являются строгим выводом уравнения Шредингера. В квантовоймеханике уравнение Шредингера постулируется подобно уравнениюНьютона в классической механике и уравнениям Максвелла в классической электродинамике.Временно́е уравнение Шредингера является уравнением в частныхпроизводных второго порядка по координатам и первого порядка повремени. В отличие от волновых уравнений классической физики (электродинамики и акустики), уравнение Шредингера содержит первую43производную по времени с мнимым коэффициентом (этим коэффициентом оно отличается от уравнения диффузии):∂∂(.

. .) = −∇2 (. . .) вместо(. . .) = +∇2 (. . .),i∂t∂tчто обеспечивает существование осциллирующих во времени решенийуравнения Шредингера. В качестве начального условия следует взятьзначение волновой функции в начальный момент времени Ψ(ξ, 0). Граничные условия определяются стандартными условиями (требованиемконечности, однозначности и непрерывности).1.13.Плотность потока вероятностиСогласно гипотезе М. Борна, квадрат модуля волновой функции дает плотности вероятности распределения частицы. Объемная же плотность ρcl (r, t) скалярной физической величины (массы, заряда, энергиии т.д.) подчиняется уравнению непрерывности∂ρcl (r, t) + div j cl (r, t) = 0,∂t(1.88)выражающему закон сохранения этой физической величины. Здесьj cl (r, t) — плотность ее потока.Поскольку для плотности вероятности распределения микрочастицы в 3-мерном пространствеρ(r, t) = |Ψ(r, t)|2(1.89)нормировочный интеграл не меняется с течением времени (вследствиесохранения вещества в нерелятивистской механике), для этой плотности тоже должно выполняться уравнение непрерывности (1.88).

Требуется лишь выразить плотность потока вероятности j(r, t) черезволновую функцию подобно (1.89).Для установления вида j(r, t) запишем уравнение, комплексносопряженное уравнению Шредингера (1.83):}2 2∂ ∗−i}Ψ (r, t) = −∇ + V (r, t) Ψ∗ (r, t).(1.90)∂t2mУмножим теперь уравнение (1.83) на Ψ∗ (r, t), а (1.90) — на Ψ(r, t) ивычтем из первого соотношения второе:∂}2 ∗2i} |Ψ(r, t)| = −Ψ (r, t)∇2 Ψ(r, t) − Ψ(r, t)∇2 Ψ∗ (r, t) . (1.91)∂t2m44Левая часть (1.91) сводится к производной произведения функций, т.

е.в соответствии с (1.89) к производной ρ(r, t) по времени. Правую часть(1.91) можно преобразовать по формулам векторного анализа:div(f grad g) = ∇(f ∇g) = (∇f )(∇g) + f ∇2 g,откудаf ∇2 g = div(f ∇g) − (∇f )(∇g).Следовательно,Ψ∗ (r, t)∇2 Ψ(r, t) − Ψ(r, t)∇2 Ψ∗ (r, t) == div{Ψ∗ (r, t)∇Ψ(r, t) − Ψ(r, t)∇Ψ∗ (r, t)} .(1.92)Учитывая (1.89) и (1.92) и сопоставляя (1.88) и (1.91), получаем следующее выражение для плотности потока вероятности в состоянии сволновой функцией Ψ(r, t):j(r, t) =}[Ψ∗ (r, t)∇Ψ(r, t) − Ψ(r, t)∇Ψ∗ (r, t)].2mi(1.93)Напомним, что m — масса частицы. Обратим внимание, что j(r, t) = 0в случае вещественной волновой функции.Стандартное условие непрерывности волновой функции необходимо для обеспечения конечности плотности потока вероятности.Рассмотрим электрон в состоянии с волновой функцией Ψ(r, t).

Всоответствии с (1.89) пространственное распределение заряда в состоянии Ψ(r, t) естьρe (r, t) = −eρ(r, t) = −e|Ψ(r, t)|2 .(1.94)Здесь −e (e > 0) — заряд электрона. В классической механике распределение точечного заряда задается δ-функцией. В квантовой механикеплотность заряда оказывается «размазанной» («облако» электрического заряда) вследствие отсутствия определенной траектории движенияэлектрона. Аналогичным образом из (1.93) получаем выражение дляплотности электрического тока, создаваемого электроном в состоянииΨ(r, t):j e (r, t) = −e}[Ψ∗ (r, t)∇Ψ(r, t) − Ψ(r, t)∇Ψ∗ (r, t)].2mi(1.95)В применении к волне де Бройля (1.4) плотность потока вероятностипо формуле (1.93) имеет вид:j(r, t) = j = |C|245p.mПоэтому волну де Бройля можно нормировать и на заданный вид плотности потока вероятности.

В частности, при C = 1 плотность потокав плоской волне совпадает с классической скоростью движения частицы:p= v.j=m1.14.Стационарные состоянияВ микромире особая роль отводится системам со стационарным гамильтонианом, т. е. не зависящим от времени явно (Ĥ(ξ, t) = Ĥ(ξ)),что соответствует, в частности, микрочастицам, движущимся в постоянных внешних полях.

Для таких систем согласно известному методуразделения переменных можно получить решения временного уравнения Шредингера∂i}Ψ(ξ, t) = Ĥ(ξ)Ψ(ξ, t)(1.96)∂tс факторизованной зависимостью от времени и координат:Ψ(ξ, t) = Ψ(ξ)T (t),(1.97)где функции Ψ(ξ) и T (t) подлежат определению.Подстановка (1.97) в (1.96) приводит к двум уравнениям:Ĥ(ξ)Ψ(ξ)i} dT (t)== E,T (t) dtΨ(ξ)где E — константа разделения. Для функции T (t) получаем:iT (t) = T0 exp − Et ,}(1.98)(1.99)где T0 — произвольный постоянный множитель. Константа разделенияявляется собственным значением гамильтониана:Ĥ(ξ)ΨE (ξ) = EΨE (ξ).(1.100)Уравнение (1.100) называется стационарным уравнением Шредингера.Оно определяет состояния с определенными значениями величины, соответствующей гамильтониану. Ее размерность совпадает с размерностью энергии, поэтому E в уравнении (1.100) есть определенное значение энергии.