QML1 (И.В. Копытин, А.С. Корнев, Н.Л. Манаков - Курс лекций по квантовой теории), страница 12

Его изучение начнем с момента количества движения.Момент количества движения материальной точки в классическоймеханике выражается через координату и импульс соотношениемL = [r × p].В квантовой механике соответствующая величина называется такжеорбитальным моментом, и ей соответствует эрмитов оператор(2.28)L̂ = [r × p̂].В квантовой механике невозможно указать определенные значения Lввиду совместной неизмеримости его декартовых компонент:[L̂x , L̂y ] = i}L̂z ;[L̂y , L̂z ] = i}L̂x ;63[L̂z , L̂x ] = i}L̂y .Совместно измеримыми здесь оказываются лишь L2 и проекция Lна выделенное направление, например, Lz .

Собственные значения L̂zквантуются и равны целому числу постоянных Планка: Lz = m},m = 0, ±1, . . .. Соответствующие собственные функции также известны в полярных координатах (см. (1.50)). Ниже мы рассмотрим задачунахождения определенных значений L2 .Рассмотрение удобно провести в сферических координатах (r, θ, ϕ),связанных с декартовыми известными соотношениями:x = r sin θ cos ϕ;y = r sin θ sin ϕ;z = r cos θ,гдеr > 0;0 6 ϕ 6 2π;0 6 θ 6 π.В сферических координатах оператор орбитального момента содержиттолько угловые переменные:L̂z = −i}2∂;∂ϕL̂ = −}2 ∇2θϕ = −}2(2.29)∂21 ∂∂1sin θ+,sin θ ∂θ∂θsin2 θ ∂ϕ2(2.30)где ∇2θϕ — угловая часть оператора Лапласа.Запишем уравнение для собственных функций и собственных зна2чений оператора L̂ в сферических координатах:21∂∂1∂−}2sin θ+Ψ(θ, ϕ) = (L2 )Ψ(θ, ϕ).

(2.31)22sin θ ∂θ∂θsin θ ∂ϕСобственное значение здесь следует понимать как единый символ, а не«L в квадрате». Поэтому оно взято в скобки.Граничные условия к уравнению (2.31) сводятся к периодичности(для обеспечения однозначности):Ψ(θ, ϕ) = Ψ(θ, ϕ + 2π);Ψ(θ, ϕ) = Ψ(θ + π, ϕ).(2.32)Условие однозначности требует регулярности Ψ(θ, ϕ) в особых точкахθ = 0, π.Решения уравнения (2.31) целесообразно искать с учетом определенных значений Lz вследствие его совместной измеримости с L2 , т. е.в факторизованном видеΨ(θ, ϕ) = Ψml (θ, ϕ) = Θml (θ) eiml ϕ ,(2.33)где ml — так называемое магнитное квантовое число, соответствующеезначению Lz = ml }.64Подстановка (2.33) в (2.31) приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению для Θ(θ):dΘmlm2l1 dsin θ−Θml (θ) + λΘml (θ) = 0,(2.34)sin θ dθdθsin2 θгдеλ = (L2 )/}2 .(2.35)Заменой переменных t = cos√θ (при этом из требования периодичностипо θ получаем, что sin θ = + 1 − t2 ) это уравнение преобразуем к виду:2dmdl(1 − t2 )−+ λ Qml (t) = 0,(2.36)dtdt 1 − t2где Qml (t) = Θml (θ), |t| 6 1.

Непрерывность его решений следует изнепрерывности коэффициентов при Θml (t).Уравнение (2.36) имеет регулярные в особых точках t = ±1 решенияпри дискретных значениях λ:λ = λl = l(l + 1),где l = |ml |, |ml | + 1, . . .|m |Это присоединенные функции Лежандра Pl l (t) (см. приложение Д).Собственные значения L2 выражаются через λ в соответствии с(2.35):(L2 )l = }2 l(l + 1),l = 0, 1, . .

.(2.37)Квантовое число l называется орбитальным.Нормированные на единичной сфере собственные функции L2 называются сферическими функциями:s2l + 1 (l − |ml |)! |ml |Ylml (θ, ϕ) =Pl (cos θ) eiml ϕ .(2.38)4π (l + |ml |)!При заданном орбитальном квантовом числе l магнитное квантовоечисло ml может принимать значения 0, ±1, . . . , ±l. Собственные зна2чения L̂ не зависят от магнитного квантового числа, поэтому онибудут вырожденными с кратностьюgl = 2l + 1.(2.39)Магнитное квантовое число m соответствует определенным значени2ям Lz .

Поэтому собственные значения L̂ вырождены по величине Lz .652Данный феномен есть следствие инвариантности оператора L̂ относительно поворотов системы координат вокруг начала координат.Состояния с определенными значениями L2 обладают и определенной четностью:Ylm (π − θ, π + ϕ) = (−1)l Ylm (θ, ϕ),т. е. Pl = (−1)l .(2.40)Таким образом, величина четности полностью определяется величинойL2 через орбитальное квантовое число.Сферические функции образуют на единичной сфере полную ортонормированную систему — базис:Z0∞ XlXl=0 m=−l2πdϕZ0πYl∗0 m0 (θ, ϕ) Ylm (θ, ϕ) sin θ dθ = δl0 l δm0 m ;∗Ylm(θ0 , ϕ0 ) Ylm (θ, ϕ) = δ(cos θ0 − cos θ) δ(ϕ0 − ϕ).(2.41)(2.42)Приведем явный вид некоторых сферических функций, часто используемых в приложениях:1Y00 (θ, ϕ) = √ ;4πr3cos θ;Y10 (θ, ϕ) =4πY1±1 (θ, ϕ) = ∓r3sin θ e±iϕ .8π(2.43)Отметим следующий интересный факт: при |m| = l равенство(L )l = max L2z = }2 l2 , очевидное из классических соображений, невыполняется! Это прямое следствие совместной неизмеримости декартовых компонент L.

Невозможно подобрать такое состояние, в котором вектор L был бы ориентирован строго вдоль оси Oz (рис. 2.5).В противном случае это привело бы к нулевым (т. е. вполне определенным) значениям проекций Lx и Ly наряду с Lz , что невозможнов силу их совместной неизмеримости. Таким образом, в любом состоянии вектор L с ненулевой вероятностью отклоняется от оси Oz, такчто hL2x i = hL2y i = }2 l/2. Это и есть наглядное проявление совместнойнеизмеримости проекций L. С ростом орбитального квантового числатакая неопределенность сказывается все слабее: (L2 − L2z )/L2 ∼ l−1 .В классическом пределе (} → 0) этот эффект становится исчезающемалым.Квантовая теория углового момента чрезвычайно удобна для изучения движения в центральном поле.2662.5.Общие свойства движения в центральном полеЦентральным называется поле, в котором потенциальная энергиячастицы зависит только от расстояния до силового центра и не зависит от направления радиуса вектора r: V (r) = V (|r|).Задача о движении микрочастицыв постоянном центральном поле является трехмерной и требует решениястационарного уравнения Шредингера в частных производных.

Однакосферическая симметрия гамильтониана позволяет кардинально упроститьзадачу.Исследуем движение точечной частицы с массой m в центральном поле. Гамильтониан удобно представитьв сферических координатах. Вспоминая вид оператора Лапласа в сферической системе координат, имеем:Рис. 2.5.2}2 1 ∂∂L̂r2++ V (r).(2.44)Ĥ = −2m r2 ∂r∂r2mr2Данная форма гамильтониана представляется наиболее удобной дляисследования общих свойств движения в центральном поле.Прежде всего, найдем интегралы состояния.

Полная энергия E является интегралом состояния для всякого стационарного состояния. В2сферической системе координат операторы L̂ и L̂z действуют только на угловые переменные (см. (2.29), (2.30)). Поэтому специфическими для центрального поля интегралами состояния будут также L2 иLz вследствие коммутации соответствующих операторов с гамильтонианом (2.44). Таким образом, в центральном поле имеется три интеграла состояния.Число указанных интегралов состояния равно числустепеней свободы частицы. Все они независимы и измеримы совместно.

Поэтому данные интегралы состояния образуют полный набор. Ихдостаточно для максимально полного описания движения частицы вцентральном поле.Стационарное уравнение Шредингера с гамильтонианом (2.44)Ĥψ(r, θ, ϕ) = Eψ(r, θ, ϕ)(2.45)является трехмерным дифференциальным уравнением в частных производных. Стандартным математическим методом разделения переменных все три переменные можно разделить. Здесь, однако, более67удобным будет отделение угловых переменных из физических соображений.2Поскольку операторы (2.44), L̂ и L̂z коммутируют друг с другом,у них есть общие собственные функции. Поэтому будем искать такиерешения уравнения Шредингера (2.45), которые автоматически удовлетворяют и уравнениям (2.31), (1.50).

Так как Ylml (θ, ϕ) — собственные2функции и для L̂ , и для L̂z , решение (2.45) следует искать в виде:ψ(r, θ, ϕ) =1R(r) Ylml (θ, ϕ),r(2.46)где R(r) — неизвестная радиальная волновая функция. Множитель r −1введен для дальнейшего удобства (исключения первой производной вуравнении для R(r)). При выборе функции ψ в виде (2.46) автоматически фиксируются определенные значения L2 и Lz .После подстановки (2.46) в (2.45) и преобразований с учетом (2.31)приходим к радиальному уравнению Шредингера для функции R(r): 2}2 d 2} l(l + 1)−REl (r) ++ V (r) REl (r) = EREl (r).2m dr22m r2(2.47)По своей структуре оно является уравнением Шредингера для болеепростого одномерного движения этой частицы в поле с эффективнойпотенциальной энергиейVeff (r) =}2 l(l + 1)+ V (r),2m r2(2.48)отличающейся от V (r) дополнительным центробежным отталкиванием(рис.

2.6).Эффективный потенциал (2.48) независит от магнитного квантовогочисла m, поэтому радиальная волновая функция в уравнении (2.47)определяется только полной энергией и квадратом орбитального момента, но не его проекцией (в уравнении(2.47) к функции добавлены соответствующие квантовые числа). Полнаяэнергия, в свою очередь, тоже не буРис. 2.6.дет зависеть от магнитного квантового числа, так что в центральном поле все стационарные состояния68оказываются всегда вырожденными по величине Lz с кратностью2l + 1.Важная роль величины L2 делает целесообразной классификациюстационарных состояний в центральном поле по величине орбитального квантового числа l (такие состояния называют иногда орбиталями).При этом используются спектроскопические обозначения. Так, например, состояния с l = 0 называются s-состояниями, состояния с l = 1 —p-состояниями и т.д.

(см. табл. 2.1). Данные символы являются первыми буквами соответствующих английских терминов, используемыхв описании оптических спектров.Таблица 2.1Спектроскопические символыl01234...символspdfg...расшифровкаsharpprincipaldiffusefundamental––Все дальнейшее рассмотрение базируется теперь на уже известныхсвойствах одномерного движения.Сформулируем, например, граничные условия к уравнению (2.47).Его особой точкой является r = 0. Поэтому для ограниченности полнойволновой функции ψ(r, θ, ϕ) в начале координат необходимо потребовать выполнение первого граничного условия (см.

формулу (2.46), гдев знаменателе стоит r)REl (0) = 0.(2.49)Данный факт согласуется с наличием центробежного отталкивания.Второе граничное условие формулируется для случая r → ∞ иопределяется характером одномерного движения. В случае финитногодвижения частица не может уйти на бесконечность, так чтоREl (r)|r→∞ = 0.(2.50)В случае инфинитного движения условие (2.50) заменяется условиемконечности, т.е ограниченности решения при всех r.Структура энергетического спектра определяется как видом потенциала V (r), так и характером движения (финитное или инфинитное).Условие ортонормировки для радиальных функций REl (r) наиболеепросто формулируется опять же с использованием аналогии эффективного потенциала (2.48) с потенциалом одномерного движения.

Исходя69из свойств радиального уравнения Шредингера (2.47), получаем дляфинитного движения (дискретного спектра энергий)Z ∞REn0 l (r)REn l (r) dr = δEn0 En(2.51)0(в этом случае функции можно выбрать вещественными); для инфинитного движения (непрерывный спектр энергий) 2Z ∞∗0RE(2.52)0 l (r)REl (r) dr = δ(E − E).0Заметим также, что гамильтониан (2.44) не изменяется при инверсии системы координат (r → r, θ → π − θ, ϕ → π + ϕ), так что интегралом состояния в центральном поле будет и четность. Однако,для заданного значения квадрата момента импульса четность не является независимой величиной, а однозначно определяется орбитальнымквантовым числом l (см.