QML1 (И.В. Копытин, А.С. Корнев, Н.Л. Манаков - Курс лекций по квантовой теории), страница 11

Отметим важность модели одномерного линейного гармонического осциллятора для построения формализмавторичного квантования и квантовой теории поля.Гамильтониан одномерного квантового осциллятора с потенциалом(2.4)1}2 d 2+ mω 2 x2Ĥ = −22m dx2инвариантен относительно отражения x → −x, поэтому, помимо полной энергии, интегралом состояния будет также и четность. Для нахождения дискретных значений энергии E > 0 и волновых функцийстационарных состояний осциллятора необходимо решить стационарное уравнение Шредингера}2 d 21Ψ(x)+mω 2 x2 Ψ(x) = EΨ(x)22m dx2с граничными условиямиΨ(±∞) = 0вследствие финитного характера движения.−(2.5)(2.6)1Точнее, параметром является коэффициент упругости k: V (x) = kx2 ; цикли2pческая частота ω = k/m, где m — масса частицы, вводится для удобства.157Прежде всего перейдем в (2.5) к безразмерной координате ξ = x/x0(константа x0 с размерностью длины будет определена ниже; это «естественная» единица длины для осциллятора, позволяющая существенноупростить все математические выкладки):d2 Φ−dξ 22mωx202mx202ξ Φ(ξ) +EΦ(ξ) = 0,}}2| {z }1где Φ(ξ) = Ψ(x).

Константу x0 определим, потребовав обращения вединицу безразмерного множителя перед ξ 2 . Постоянный коэффициентперед Φ(ξ) тоже будет безразмерен. Обозначим его λ. Таким образом,в безразмерных переменныхr}2mx202ExΦ(ξ) = Ψ(x); ξ =; x0 =; λ=E=(2.7)2x0mω}}ωкраевая задача (2.5), (2.6) принимает вид:d2 Φ+ (λ − ξ 2 ) Φ(ξ) = 0,2dξΦ(±∞) = 0.(2.8)(2.9)Неизвестными в ней являются λ и Φ(ξ), связанные с исходными неизвестными E и Ψ(x) соотношениями (2.7). Решение задачи всегда будет удовлетворять стандартному условию непрерывности вследствиенепрерывности коэффициентов уравнения (2.8).Решение будем искать с помощью разложения Φ(ξ) в ряд по степеням ξ. Для этого вначале найдем асимптотический вид Φ(ξ) в окрестностях особых точек уравнения (2.8). Таковыми являются ξ = ±∞, прикоторых коэффициент при Φ(ξ) обращается в бесконечность.При заданном λ безразмерную координату ξ всегда можно выбратьнастолько большой, что√|ξ| max( λ, 1),(2.10)и вместо точного уравнения (2.8) решать приближеннoe:d2 Φ− ξ 2 Φ(ξ) = 0.2dξ(2.11)Приближенное решение (2.11) при условии (2.10) имеет вид:Φ(ξ) ∼ e∓ξ582/2.(2.12)Вследствие граничного условия (2.9) из (2.12) необходимо выбратьтолько затухающее решение, т.

е. искать Φ(ξ) в виде:Φ(ξ) = v(ξ) e−ξ|{z}2/2(2.13)?с неизвестной функцией v(ξ). Подстановка (2.13) в (2.8) приводит кследующему уравнению для v(ξ), уже не содержащему особых точек(коэффициент при v(ξ) конечен):v 00 (ξ) − 2ξv 0 (ξ) + (λ − 1)v(ξ) = 0.(2.14)Граничные условия для v(ξ) формулируются, исходя из (2.9) и (2.13):−ξ 2 /2 v(ξ) e= 0.(2.15)ξ→±∞Представим неизвестную функцию v(ξ) в виде ряда Тейлора по степеням ξ с неизвестными коэффициентами:v(ξ) =∞Xk=0ak ξ k .|{z}(2.16)?После подстановки (2.16) уравнение (2.14) принимает вид:∞Xk=0{(k + 2)(k + 1)ak+2 − [2k − (λ − 1)]ak } ξ k = 0.(2.17)При приведении подобных слагаемых (с одинаковой степенью ξ) в первой сумме левой части (2.17) мы сделали замену индекса суммированияk → k + 2.Уравнение (2.17) эквивалентно уравнению (2.14).

Чтобы (2.17) выполнялось тождественно при любых значениях ξ, коэффициенты привсех степенях ξ должны обратиться в нуль, откуда получаем следующее рекуррентное соотношение для коэффициентов ak :ak+2 =2k − (λ − 1)ak .(k + 2)(k + 1)(2.18)Исследуем ряд (2.13) при условии (2.10). Рассмотрим его далекиеслагаемые (k 1). На основании (2.18) имеем:ak+2 2'.ak k1k59Но такому же соотношению удовлетворяют коэффициенты разложения2функции eξ :∞XX1ξ 2mξ2ξk .e ==m!(k/2)!m=0k=0,2,... | {z }akДействительно,ak+2[k/2]![k/2]!2 k1 2===' .ak[(k + 2)/2]![1 + k/2]!k+2k2Итак, ряд (2.16) для v(ξ) имеет асимптотику eξ и функция Φ(ξ) в (2.13)не удовлетворяет граничному условию (2.15), а именно, она растет2на бесконечности как eξ /2 , что противоречит стандартному условиюконечности. Тем не менее, все же можно обеспечить выполнение условия (2.15), поскольку рекуррентное соотношение (2.18) содержит покапроизвольный параметр λ.

Его можно подобрать так, чтобы ряд (2.16)содержал конечное число слагаемых, т. е. стал полиномом. Действительно, выбрав λ положительным нечетнымλ = λn = 2n + 1,n = 0, 1, . . . ,(2.19)в соответствии c (2.18) получим:an+2 =2n − [(2n + 1) − 1]an = 0 = an+4 = an+6 = . . .(n + 1)(n + 2)при an 6= 0.При этом условии ряд (2.16), превратившись в полином конечной степени n, обеспечит выполнение условия (2.15).Выясним смысл найденных значений λ. Этот безразмерный параметр связан с энергией соотношением (2.7), поэтому с помощью (2.19)находим значения энергий стационарных состояний осциллятора:1En = }ω n +2,n = 0, 1, . . .(2.20)Таким образом, энергия осциллятора квантуется вследствие финитного характера движения.

Число энергетических уровней бесконечно.Уровни расположены эквидистантно на расстоянии }ω друг от друга(рис. 2.2а).Ненормированные волновые функции стационарных состояний(точнее — их множители v(ξ)) можно получить по рекуррентной формуле (2.18). Положив a0 = 1, a1 = 0, мы получаем коэффициенты всехчетных полиномов; положив a0 = 0, a1 = 1, мы получаем все нечетные60Рис. 2.2.полиномы.

Таким образом, четность стационарных состояний определяется энергией (или, что то же самое, значением квантового числаосциллятора n):Ψn (−x) = (−1)n Ψn (x),т. е. Pn = (−1)n .(2.21)Полагая a1 = 0 (в первом случае) и a0 = 0 (во втором случае), мыобеспечиваем требование сохранения четности.Для нахождения явного вида волновых функций учтем, что приусловии (2.19) уравнение (2.14) является уравнением для полиномовЧебышева – Эрмита (см.

приложение В). Приведем здесь окончательный вид нормированных волновых функций стационарных состоянийосциллятора:Ψn (x) = p1−x√ Hn (x/x0 ) en2 n!x0 π2/(2x20 ).(2.22)Вычисление нормировочного множителя можно найти, например, в [1]из списка дополнительной литературы.Нетрудно убедиться, что для энергийстационарных состояний осциллятора (2.20)и соответствующих им волновых функций(2.22) выполняются все свойства одномерного финитного движения. Графики некоторых волновых функций Ψn (x) представленына рис. 2.2б (цифры у кривых показываютРис. 2.3.значения n).Основное состояние осциллятора имеет ненулевую энергию E0 == }ω/2 (которая отсчитывается от «дна» потенциальной ямы).

Это такназываемая энергия нулевых колебаний. Наличие нулевых колебаний не61противоречит принципу неопределенностей, не позволяющему частицеопуститься на «дно». Существование таких колебаний экспериментально подтверждается, например, при исследовании рассеяния электроновна ионах кристаллической решетки при температурах вблизи абсолютного нуля. Основному состоянию соответствует волновая функция1x2Ψ0 (x) = p √ exp − 2 .2x0x0 πПоскольку при удалении от положения равновесия потенциальнаяэнергия монотонно возрастает непрерывным образом, волновые функции будут ненулевыми и в классически недоступной области, хотя они ибыстро (экспоненциальным образом) затухают с увеличением |x|. График плотности вероятности в основном состоянии дается в качествепримера на рис. 2.3. Он представляет собой гауссову кривую.2.3.Одномерное движение в однородном полеРассмотрим одномерное движение частицы с массой m под действием постоянной силы F .

Потенциальная энергия частицы в этом случаеимеет видV (x) = −F x.(2.23)Определим энергии и волновые функции стационарных состояний частицы в поле (2.23).Стационарное уравнение Шредингера для такого движения имеет вид:}2 d2 Ψ(x)−− F xΨ(x) = EΨ(x).(2.24)2m dx2Классическое движение частицы в потенциале(2.23) ограничено только слева точкой поворотаa = −E/F (рис. 2.4).

Поэтому движение инфинитРис. 2.4.но в одну сторону (x → +∞), а энергетическийспектр непрерывный и невырожденный. Граничные условия, налагаемые на Ψ(x):Ψ(−∞) = 0; Ψ(+∞) ограничено.1/3 2mFEЗаменой переменных ξ =x+при заданном E урав}2Fнение (2.24) приводится к уравнению Эйри62Φ00 (ξ) + ξΦ(ξ) = 0(2.25)с граничными условиямиΦ(−∞) = 0;Φ(+∞) ограничено,(2.26)где Φ(ξ) = Ψ(x).Решение уравнения (2.25) с граничными условиями (2.26) выражается через функцию Эйри (см. приложение Г):(2.27)Φ(ξ) = CAi(−ξ).Мы не будем здесь выписывать явный вид нормировочной константы C.В дальнейшем нам понадобится асимптотический вид (2.27) вдалиот точек поворота (|ξ| 1), который может быть получен из известныхасимптотических выражений для функций Бесселя:C2 3/2при ξ → −∞Φ(ξ) ';exp − |ξ|32|ξ|1/42 3/2 πC+.при ξ → +∞Φ(ξ) ' 1/4 sin ξ34ξ2.4.Момент количества движения (момент импульса)Трехмерное движение в микромире, как и в классической механике,не всегда можно свести к трем независимым одномерным движениям.В микромире трехмерное движение имеет некоторые качественные отличия от классической механики.