QML1 (И.В. Копытин, А.С. Корнев, Н.Л. Манаков - Курс лекций по квантовой теории), страница 3

1.1) и впервые обнаружили дифракционную картину в угловом распределении электронов.2Хотя ниже мы увидим, что выражение (1.4) для волновой функции свободнойчастицы с импульсом p следует из точных уравнений квантовой механики.11Рис. 1.1.В общем случае (т. е. не только для свободного движения) волновая функция находится из решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения (уравнения Шредингера —см. ниже), поэтому она определяется с точностью до произвольногопостоянного множителя — нормировочной константы. Если волновыефункции отличаются только постоянным множителем, то соответствующие им состояния физически эквивалентны.Волновая функция сама по себе является ненаблюдаемой величиной.

(С ненаблюдаемыми величинами читатель сталкивался и ранее:например, в электродинамике ненаблюдаемыми величинами являютсяпотенциалы электромагнитного поля.) М. Борн в 1926 г. предложилследующую вероятностную интерпретацию волновой функции Ψ(ξ, t):квадрат ее модуля пропорционален плотности вероятности обнаружения частицы в момент времени t в точке с координатой ξ:|Ψ(ξ, t)|2 ≡ Ψ∗ (ξ, t)Ψ(ξ, t) ∼ w(ξ, t)(1.6)(символ (*) означает операцию комплексного сопряжения), т. е. волновую функцию следует толковать статистически.Для понимания данного утверждения проделаем мысленный эксперимент. Будем пропускать монохроматический пучок электроновсквозь две узкие щели, позади которых располагается фотопластинка(дифракция на двух щелях).

При этом на фотопластинке будет наблюдаться дифракционная картина (рис. 1.2а), т. е. движение электроновподобно волновому. Затем поставим этот же эксперимент с более низкой интенсивностью пучка (пропуская практически по одному электрону с той же самой энергией). На фотопластинке в случайном порядкевозникнут отдельные пятна в местах электронных ударов (рис. 1.2б).Однако с увеличением времени экспозиции эти пятна складываются всплошные полосы, т. е.

возникает та же самая дифракционная картина, что и на рис. 1.2а, подтверждая вероятностный характер движе12Рис. 1.2.ния в микромире. Реальный эксперимент такого рода был поставленв 1949 г. в Физическом институте Академии наук СССР (Фабрикант,Биберман, Сушкин) и подтвердил гипотезу М.

Борна.В состояниях финитного движения частица локализована в конечной области пространства, так что надлежащим выбором нормировочной константы соотношение (1.6) можно превратить в строгое равенство:|Ψ(ξ, t)|2 = w(ξ, t).(1.7)Согласно теории вероятностей, условие нормировки для волновойфункции финитного движения можно сформулировать следующим образом:Z|Ψ(ξ, t)|2 dξ = 1,(1.8)где интегрирование ведется по всему конфигурационному пространству (достоверное событие).Интеграл в (1.8) конечен, только если функция |Ψ(ξ, t)|2 на большихрасстояниях спадает достаточно быстро. В состояниях инфинитногодвижения, в частности, описываемых волной де Бройля, этот интегралрасходится, поэтому ниже условие нормировки для этого случая будетсформулировано иным образом.

Там, где это не оговорено отдельно,мы будем считать волновые функции нормированными на единицу. Изусловия (1.8) видно, что даже нормированная волновая функция определяется не однозначно, а с точностью до произвольного постоянного фазового множителя eiδ . В настоящем пособии данный множитель13всюду выбирается так, чтобы по возможности упростить вид волновойфункции.У волновой функции нет универсальной размерности.

Ее размерность определяется только элементом интегрирования:[Ψ(ξ, t)] = [dξ]−1/2 .(1.9)Только при выполнении (1.9) интегральное выражение в (1.8) будетбезразмерным.В качестве волновой функции может выступать не любая математическая функция, а только удовлетворяющая стандартным условиям: конечная, однозначная и непрерывная. Первые два условия непосредственно следуют из ее вероятностной интерпретации, а требованиенепрерывности мы поясним ниже.Укажем на существенное отличие квантового движения от распространения истинной волны (например, электромагнитной).

Если имеются N источников электромагнитных волн, то результирующая волнабудет по-прежнему зависеть только от одной пространственной переменной. В случае системы N микрочастиц ее полная волновая функциябудет зависеть от N пространственных переменных : Ψ(r 1 , . .

. , r N ; t).Все предыдущие выводы, а также формулы (1.4)–(1.9) легко обобщаются на этот случай. Теперь, однако, в качестве элемента интегрированияследует взять dξ = dr 1 . . . dr N — элемент так называемого конфигурационного пространства.1.3.Принцип суперпозиции состоянийКак уже говорилось выше, всякое состояние квантовой системы описывается соответствующей волновой функцией Ψa , где индекс a указывает набор параметров, характеризующих данное состояние и отличающих его от других возможных квантовых состояний той же самойсистемы.

Это положение является первым постулатом в формальнойсхеме построения квантовой механики и дает математический способописания квантовых состояний. Утверждается, что волновые функциивсех возможных состояний квантовой системы образуют гильбертовопространство L2 (множество интегрируемых с их квадратами функций). Скалярное произведение двух функций Φ и Ψ в этом пространствеопределяется следующим образом:hΦ |Ψi =ZΦ∗ (ξ)Ψ(ξ) dξ.14(1.10)Обозначение скалярного произведения символом hΦ |Ψi называется дираковской скобкой.

Дираковский формализм часто позволяет упростить и унифицировать запись математических выкладок в квантовойтеории. В частности, условие нормировки (1.8) в дираковских обозначениях имеет видhΨ |Ψi =ZΨ∗ (ξ)Ψ(ξ) dξ = 1.(1.11)Эта техника получит дальнейшее развитие в главе «Теория представлений». Пока же приведем очевидное из (1.10) тождествоhΦ |Ψi = hΨ |Φi∗ .(1.12)Следующим постулатом квантовой теории, имеющим принципиальное значение для понимания физики квантовых явлений, являетсяПринцип суперпозиции состояний. Он утверждает: если квантовая система может находиться в состояниях с волновыми функциями Ψ1и Ψ2 , то она может находиться и в состоянии с волновой функциейΨ = c 1 Ψ1 + c 2 Ψ2 ,(1.13)где c1 и c2 — произвольные комплексные константы. Состояние Ψ называется суперпозицией состояний Ψ1 и Ψ2 .

Фактически принцип суперпозиции содержит утверждение о своеобразной «квантовой интерференции» состояний, поскольку распределение вероятностей (квадратмодуля Ψ) наряду с |Ψ1 |2 и |Ψ2 |2 содержит и «интерференционное» слагаемое Re(c1 c∗2 Ψ1 Ψ∗2 ).Из принципа суперпозиции следует, в частности, что уравнение дляволновой функции должно быть линейным, а также парадоксальный сточки зрения классической механикифакт, что физические величины, имеющие определенные значения в состояниях Ψ1 и Ψ2 , могут не иметь определенного значения в состоянии Ψ (которое также является физически реалиРис.

1.3.зуемым состоянием системы!). В качестве примера снова рассмотрим волну де Бройля (1.4), которая соответствует состоянию с определенными значениями импульса p и энергииE. Рассмотрим теперь суперпозицию двух волн де Бройля с одной и15той же энергией (для простоты) и различными по направлению импульсами p1 и p2 (модули которых одинаковы):Ψ(r) = C1 eip1 r/} + C2 eip2 r/}(1.14)(временной множитель опущен). При p1 6= p2 функцию (1.14) невозможно привести к виду (1.4), т.

е. состоянию, являющемуся суперпозицией волн де Бройля, нельзя приписать определенное значение импульса.1.4.Нормировка волн де БройляКак уже говорилось, волну де Бройля (1.4) невозможно нормировать условием (1.8), поскольку |Ψp (r, t)|2 = |C|2 = const и интеграл(1.8) по всему пространству расходится. Эта расходимость физически обусловлена тем, что в состояниях (1.4) все положения частицыравновероятны.Для нахождения C воспользуемся следующим приемом. Искусственно ограничим область движения частицы большим объемом вформе куба, длина ребра которого L, так что интегрирование будетвестись по ограниченному объему V = L3 .

Введем декартовы координаты, оси которых совпадают с ребрами куба (рис. 1.3). При большихL (по сравнению с длиной де Бройлевской волны λ) влиянием стеноккуба на движение частицы можно пренебречь. Поэтому для простотыподчиним (1.4) периодическим граничным условиям:Ψp (x, y, z) = Ψp (x + L, y, z) = Ψp (x, y + L, z) = Ψp (x, y, z + L) (1.15)(время t в аргументе для простоты опускаем, поскольку временной множитель в (1.15) сокращается).Введем вместо импульса волновой вектор(1.16)k = p/}и перепишем Ψp (x, y, z) в (1.15) в видеΨk (r) = C eikr = C ei(kx x+ky y+kz z) .(1.17)Вследствие условия (1.15), вектор k в (1.17) может принимать лишьдискретные значения:k = {kx , ky , kz } =2π{nx , ny , nz },L16nx , ny , nz = 0, ±1, .

. .(1.18)Таким образом, при движении в ограниченном объеме импульс волныде Бройля квантуется. Легко заметить, однако, что при неограниченном увеличении объема квантования (т. е. при L → ∞) эта дискретность исчезает.В ограниченном объеме нормировочная константа C вычисляетсяиз условия (1.8), так что нормированная на единицу в объеме V волнаде Бройля выглядит следующим образом:1Ψk (r) = √ eikr .V(1.19)Ее размерность удовлетворяет условию (1.9).Система функций (1.19) обладает свойствами ортогональностиZZ01Ψ∗k0 (r)Ψk (r) d3 r =ei(k−k )r d3 r = δk0 k ≡ δn0x nx δn0y ny δn0z nzV (V )(V )(1.20)и полнотыX1 X ik(r−r0 )e= δ(r − r 0 ).(1.21)Ψ∗k (r 0 )Ψk (r) =VkkВекторы k,k0 выбираются в соответствии с (1.18):X(.

. .) ≡k+∞X+∞X+∞X(. . .);nx =−∞ ny =−∞ nz =−∞интегрирование ведется внутри куба с ребром L. Введено стандартноеобозначение для δ-функции Дирака (см. приложение А).Пусть теперь частица в момент времени t = 0 находится в состояниис волновой функцией Ψ(r), удовлетворяющей периодическим граничным условиям (1.15) и, подобно волне дe-Бройля (1.19), нормированнойна единицу внутри большого куба с ребром L. Тогда Ψ(r) можно разложить в ряд Фурье по волнам де Бройля (1.19):X1 XΨ(r) =ck Ψk (r) = √ck eikr .(1.22)VkkКоэффициенты разложения ck находятся домножением (1.22) на Ψ∗k0 (r)и интегрированием по объему куба в соответствии с условием ортогональности (1.20):ZZ1∗3ck =Ψk (r)Ψ(r) d r = √e−ikr Ψ(r) d3 r.(1.23)V (V )(V )Таким образом, волновую функцию произвольного состояния микрочастицы можно представить в виде суперпозиции волн де Бройля.171.5.Средние значения координаты и импульсаВновь рассмотрим частицу в произвольном состоянии Ψ(r) (внутрибольшого куба).