В.И. Минкин, Б.Я. Симкин, Р.М. Миняев - Теория строения молекул, страница 3

Условие одновременной ортогонадьности и нормированности функций Ч', (1=1, 2 ..., со) записывается следующим образом: (1.30) где Ба — силмол Кронекеро, определяемый следующим образом: )О, если (чьу, з(1, если 1=). еСвстеыу фувкцвй ~) (1 1, 2, ..., аз) называют полиса, еслв любую функцию о Г ыовво разловвть в рлд по фувкцвам ур Г 2 сдь где с; Ц Кбт. .3 1 асан прн атом выполваетса условве Ц'Ядт ди лла любых фувкцвй л в Я~ вз зтой системы, то ее называют ормаиормираеаииой (о свыаоле дй см.

даме). 1З Аналогично, для любого оператора Ь функции (р, и числа 1., ([=1, 2, ...), удовлетворяющие уравнению ' Ь,'„=Ь„ь (1.31) называют соответственно собственными функциями и собственными числами оператора 1. Если Ь вЂ” самосопряженный (зрмитов) оператор, то для него, так же как и для Н, справедливы все вьппепрнведенные утверждения: система функций р, является полной; о, и н~ соответствующие различным собственным числам А~ и Ь ортогона- Задача 1.7. Найти еобетееввьи фуищвв в еобетееввые заачевва оператора ае ее — — — ва [О, в[ врв в(О) о(а) О. Ъи Вае Если есть два различных оператора Ь| и Ьт, то собственные функции одного оператора отличны от собственных функций другого оператора.

Но имеется весьма важное исключение из зтого правила, которое приводится без доказательства: если два оператора Ь1 и Ьз коммутируют между сббой, т. е. (Ь,ЪД=О, то можно выбрать систему базисных функций так, чтобы они являлись собственными функциями квк Ь„так и Ь,. Таким образом, если какой-либо оператор Ь коммутирует с Н„то система волновых функций 'Р, оператора Н будет также системой собственных функций оператора Ь. Постулат $У. Ж)явственно возможными значениями, которые могут быть нолучены нри измерении динамической неременной Ь, являются собственные значения Ь онераторного уравнения ЬЧ~,=ЬЧ~ь (1.32) Постулат У.

Среднее значение физической величины Л, имеющей квантово-мсханический олсрапюр 2, в состоянии 'Р определяется соониини гнием Хве(2) = Ч'е2Ч'е[г ге (Ч' Щ'Р); (1.33) обозначение (Ч' Щ Ч') введено П. Дираком. Исходя из (1.33) среднее значение полной энергии системы в состоянии Ч' равно Е= Ч'ЧРРе[тав (Ч' [Н[Ч'). (1.34) 14 Дипольный момеит системы <д >=-д =<'РА'Р» (1.35) где // =т~~ е! г ! — оператор дипольного момеита системы; е! и г!— соответственно заряд и радиус-вектор 1-й частицы.

Пусть набор ортонормированиых функций Ч', (!=1, 2, ..., со) образует полную систему собственных функций оператора Н, т. е. Н1Р!ООЕ1ОР!. (1,36) Разложим 'Р в ряд по функциям этой системы: Ч'=~, ~ РО (1.37) 1 1 где с,= Ч",Ч//1т. Подставим (1З7) в (1.34) и„учитывая ортонормированность системы, получим СО СО СО сО О,'\ ЕОО~ ~с,'с/<Ч1~Н~Ч/>ОО~ ~, с1с/ЕД/ОО "~1сДЕ1.

(1.38) 1 П 1 1 1/ 1 Аналогично, для любого оператора Ь, у которого система собствениых функций Ч'; совпадает с системой собственных фуикций оператора Н, т. е. Ч', являются решениями уравнения ЬОР1=Х.1Р! (!=1, 2, ..., со), среднее значение Х равно О! Ф (О Х=<Ч'!ЦР>=х Хс1с/<Ч'1!ЦР/>ООХ!с112Ь1. (1А0) 1 1/ 1 1 1 Выражеиия (1.38) и (1.40) аналогичны определению статистического среднего по результатам измереиий физической величины при условии, что р, раз было получено значеиие Ь, 1Е1/, р, раз — значение Ь/ (Е2) и т. д. Действительно, в этом случае 1 Ь= — Хр1Ь К, (1.41) 15 где М вЂ” полное число измерений (Ф=~„р!// р;//Π— вероятность того, что в результате отдельного измерения будет получено значение Ь!. Легко показать, что для коэффициентов с; в (1.37) выполняется соотношение ~, )с,~с= 1, (1.42) означающее условие нормированности Ч' при разложении по ортонормнрованному базисному наборзт.

Тогда с учетом (1.42) возмонна следующая интерпретация ~с1: эта величина есть веровтность того, что в результате отдельного юмерення наблю)веемой величины А будет получено значение .Ц, отвечающее собственной функции Ч', Если Ч' совпадает с одной из функций Ч'„тогда Е=Ел Ь=Ц. (1.43) Отсюда следуют два валеных вывода: 1) в квантовой механике физическая величина имеет определенное значение в данном состоянии Ч' толыю в том случае, когда волновая функция, описывающая состояние сеестелды, являепи собственной функцией оператора, соответствующего данной физической величине; 2) если )пеа оператора (в налкад случае Н и Ь) имеют одинаковую систему собствеедных функцвй, то они могут одновременно иметь определенные значения, т. е.

быть одновременно измеримыми с любой наперед заданной гочиосп ю. Звдеее 1.К Вневслать средвае завееввл следталдал велвеав: в) г '; 6) е е; в) гл; т) С есла вслвслел $уевввл састеееее аеееет лвд ( ъФ Ч-1а -~ -л Р2)" Покажем, что если две физические величины Ь н М одновременно могут иметь определенные значения, то их операторы Ь и М коммутнруют. Мат~датнчески утверягденве, что физические величины Ь и М одновременно имеют определенные значения, как следует нз ранее нзлокепного, выраиается тем, что операторы Ь н М нмыот одинаковую систему собственных функций: ТЖ,=ЬЧе МЧе~=М,'Ре (1А4) Умнолгая слева первое из этих уравнений на оператор М, а второе на Ь и вычитая нз первого полученного уравнения второе, прн этом учитывая, что Х„и М, являются числами, которые моипо переставлять, получим (М вЂ” )т,=( „Щ-МД)Т,=О.

(1.4Я Аналогично для любой функции имеем (М1 -ЬМ)Ч'= 2,'с,(МЬ вЂ” ЬМ)'Р>-— О, (1.46) где 'т разлозгена в ряд Ч'= ~ с,Ч'е 1 1 16 Ран~ство (1.46), по определению (1.10), выражает свойство коммутации операторов 1. и М: (М, Ц=(М1.-ЬМ) =О. (1.47) Задача 1Л. Моино лв одноаремеюю измарать с любой степенью точности скорость в потевцвальвую звергвго частицы, даииупнйса а сферичесав.сиымет-оь рвчном потевцвальном поле г7г) оое+ (Ьга+е ), где а, Ь и с — ковстватьс и — скорость частвцм7 Постулат Ч1.

Если система может находиться в состояниях, описываемых волновыми функг)иями 'Р1 и грь то она может находиться и в состоянии Ч'= С~Чг~+ Сг'Рь (1.48) где С, и Ст — проювольные константы, которые прн условии ортонормированности Ч'1 и Ч'т находят ю соотношения (см. примечание на с. 13) С, = Ч/еЧФ; от. (1.49) Этот постулат известен под названием принципа суперпозиг)ии. Из постулата Ч следует, что функция Ч' описывает такое состояние, при котором система находится либо в состоянии Ч'1 с вероятностью, Равной Со либо в состоанни Ч'т с веРоатностью Сь Постулат ЧП. Волновая функция сиснгемы частиг) с полуг)елым спгагом (в частности, электронов) должна быть антисимметрична относигпельно перестановки координат любых двух чаепищ: Ч'(91 дь -. 9ь -' дл ..., д„)= -гР(дь дь ..., Чл ..., дь ..., 4„).

(1.50) Антнсимметрия волновой функции электронов была постулирована В. Паули (1925). 1* СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ В классичегжой механике микрочасгип движение систем с и степенями свободы полностью характеризуется заданием п значений импульсов и п значений координат для определенного момента времени. При этом принимается, что все 2п значений динамических переменных могут быть определены с любой нужной степенью точности.

Экспериментальные исследования свойств микрочастнц (атомы, электроны, ядра и др.) показали, что точность этого определения ограничена. Действительно, пусть с помощью микроскопа 17 определено положение мыкрочастыцы. Ясно, что неопределенность этого измерения связана с длиной волны используемого света Ахмад. Последняя может быть как угодно малой, ы, следовательно, координата х в принципе определяется с любой точностью. Однако использоваыие очень коротковолнового света приведет к заметному изменению импульса наблюдаемой частицы ы, как следствие, к неопределенности его величины Ь Ьр=- Х В результате неопределенности координаты ы импульсы связаны соотношением ЬхЛрге Ь.

(1.51) Путем аналогичных рассуждений о рассеянии часпщ можно связать неопределенности измереыия энергии и времени регистрации ЛЕЛг=Ь. (1.52) Таким образом, точность одновременного определения двух канонически сопряженных величин регулируетсяч принципом неопределенности, что было впервые установлено В. Гейзенбергом (1927), который писал: «Никогда нельзя одыовременно точно знать оба параметра, решающим образом определяющие движение такой мельчайшей частицы: ее место ы ее скорость. Никогда нельзя одновременно знать, где оыа находится, как быстро ы в каком ыаправленны движется.

Если ставят эксперимент, который точно показывает, где она находится в данный момеыт, то движение ыарушается в такой степени, что частицу после этого нельзя даже сыова найти. И наоборот, при точыом измерении скорости картина места полностью смазывается». Другымы словами, динамические переменные, характеризующие систему, могут быть разделены на две (взаымыо дополнительные) группы: 1) простраыствеыные координаты ы время (д ы г); 2) импульсы и энергия (р и й), причем невозможыо определять одновременно переменные ыз разных групп с любой желаемой степенью точыости.