В.И. Минкин, Б.Я. Симкин, Р.М. Миняев - Теория строения молекул (1124210), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Величину «называют гяееным кеа«г«оеым числом, так как она, согласно (2.41), определяет энергию водородоподобного атома. С учетом нормировки функция (2.30), которую называют радиаль«ой час«яео еояноеой функяии, записывается следующим образом: Яе® = — —, ' 'е Х,~++,' — . (2.42) Функция Х,и++1' (г) представляет собой так называемый присоединенный полипом Лягерра, который связан с полиномом Лягерра Х +~(г) следующим дифференциальным соотношением (формула Родрига): ь Х4(г) = — Х ('г), (2.43) ь Задача 2А. Получать алд фуащай Я„~(~) дла а 2,3 л ооалэать ах ортолормироаалвость. В табл.
2.2 приведены функции Я„,(у) для различных л и 1. табюща 2.2 Науаалраааююа ччааоееа ЛЮИ Полны волновая функция водородоподобното атома зависит от трех квантовых чисел: л, 1 и вч. целочисленные значения и взаимосвязь их обусловлены требованиями конечности и непрерывности волиовой фуикции: Ч «Я4(г) Еьь (В) Ф (9> Яы(у1 Уь(В р) (2Аб) зз ат р„ Таким образом, появление дискретных квантовых чисел автоматически следует из математических условий, налагаемых на волновую функцию. По предложению Маллнкена волновую функцию (2.46), соответствующую определенному набору квантовых чисел и, 1и зи, приюгго называть азпомной орбизиалью (АО)е. Этим подчеркивается как определенная аналогия с боровскими орбитами — траекториями движения электрона вокруг ядра, так и различие в трактовке классического понятия орбиты и орбитали, в которую вкладывается квантово-механическое вероятностное понимание.
Физический смысл главного квантового числа л ясен из рассмотрения решения для радиальной части волновой функции и формулы для энергии водородоподобного атома (2.41). Смысл же квантовых чисел 1и зп будет выяснен позже. При классификации электронных состояний атома для каждого квантового числа 1 приняты следующие буквенные обозначения: 1 .... 0 1 2 3 4 5 Обозначение .... л р Н 1 я Ь Функцию с 1= О называют з-функцией, с 1 = 1 — р-функцией ит. д. Первые четыре буквенных обозначения имеют происхождение„ связанное с названиямн спектральных линий, обнаруживаемых в атомных спектрах: л, р, И, 1' — первые буквы английских слов зЬагр (резкий), ргшс)ра1 (главный), ййизе (диффузный), йпе (тонкий). Так были названы наиболее давно и подробно изученные серии линий в спектре атома водорода.
Вероятность нахождения электрона в пространстве между значениями т и к+ с1г, согласно (2.3), равна ~зР.м(г, О, гр) 1з гз ат и г1г г1Вг1гр= ее «2« =[11„,(г)1з гзг1г [г„,(9, грЯзз1п 0йбг1гр= ее =~Ям(т))з гз г1т=Рм(г) с(г. (2.47) «Термив «оровталь» вспользузот длл произ»славой одвозлектроввой волновой фувкпив. В случае атома водорода одвозлектроввак аолвовак фувкпвл совпадает с полвой аолвоаой фувкпией свстемм. Однако очевидно, что зто ве так длк мвогозлеатроввмх систем.
34 га 07 00 ау 0,3 а,г 02 и ! ар аг а,г 0,К 0,7 1 г х ь ггав "700 Рис. 2.2. Вид радиадьимх фуиидий атома водорода Функцию Р„,(г), определяющую вероятность ыахождеыыя электрона ыа расстоянии г от ядра, называют радиальной функцией распределения. На рыс. 2.2 ы 2.3 показаыы радиальная функция Рт„1'гг' и радиальыая функция распределения Ри(гг для ыекоторых наборов квантовых чисел и и 1. Точки, в которых радиальыая часть обращается в нуль, ыазывают узловыми п7очками,или просто узлами. Аыалогичыо, поверхность, в каждой точке которой радиальыая часть обращается в нуль, называют узловой поверхносгпью. Из рис. 2.2 видно, что Радиальные функции 1з, 2р и Зй ые имеют узловых точек (т.
е. ые пересекают ось г); функции 2з и Зр имеют одну узловую точку, а Зз — две узловые точки. Легко заметить закономерность, согласью которой число узлов радиальной части равно и- 1-1. Вероятыость ыахождеыия электроыа в кахой-либо точке прост- 35 ранства определяется ве только дз значением г, ио также н величинами углов 0 и р и, следовательно, зависит как от радиальной АлИ, так и от угловой Уь,(0, р) частей о п,г атомной орбитали. Рассмотрим более подробно сферические гармоники Уз„(0, Зз). Функции (2.27) — комплексные, что ясно из вида гз Ф-функций (2.19), Между тем в большинстве случаев удобнее рабо- 7 з 3 о тать с де ми. Так как функции У„Г0, у) и У~ ~0, р7 отвечают вырожденгд ному состоянию, можно воспольг, 3 з г з г у~/а, зоваться свойством, согласно коя 3 ~~~ фу~ ~ торо му их линейная комбинация дродедевад атома водорода также является решением уравнения Шредингера с тем же собственным значением (см. с.
13). Функции У,„и Уз„будут решеннямн уравнения (2.9): 1 1 уз.==(у + у~--); уь==(уз; у--). ,,/2 /2 азгпу! зд еу (2.48) Тогда вместо функции (2.27) получим два набора действительных решений: (27+ 1) (1 И)' /2 (соз ~вз~ о, К„(0, гр)=~ —,~ Р)ч(соз0)~, (2.49) (ип уи! гр, где 7=0, 1, 2, ... л-1, т= О, 1, 2, .... Для перехода от (2.27) к (2.49) необходимо воспользоваться формулами Эйлера ьо -ьч е — е йп вор = 21 юно -Фпо сод эх = 2 зе Для удобства и без потери общности можно считать, что отрицательным значениям т соответствуют функции с зшрн1р, а положительным — соз~я~ф. В табл. 2.3 представлены угловые функции (2.49) для некоторых значений! и т.
Таблица 2.3. угаааме часта аелвеваа $уесявв атама аодоуодв Отнесение сферических гармоник и нх линейных комбинаций к орбиталям, ориентированным в декартовых осях, понятно из соотношений (2.3) между сферическими и декартовыми координатами, откуда соя 0=-; г япйашгр= —; У. г х япдсоау= —. г Рис. 2.4. Диаграмма углавмх частей волиовой фуиадви атома водорода Угловые части функций, приведенные в табл. 2З, представлены диаграммами на рис. 2.4. Эти диаграммы строят следующим образом: в пространстве соединяют все точки, в которых сферическая гармоника имеет одно и то хге числовое значение.
Сечения этих поверхностей координатными плоскостями ху н лг показаны на рис. 2.5. Сферическая гармоника л-орбиталн не зависит от углов О и се, т. е. функция равноценна во всех направлениях. Соответственно этому вероятность нахождения электрона одинакова в любом на- 1г Рве. 2.5. Диаграмма утловма частей волиовой фуиидив атома водорода в воор- дииатиых плосаоствх 38 правлении. р;Орбиталь имеет форму объемной косинусоиды, вытянутой вдоль осн л, знак этой орбиталн в некоторой точке пространства определяется знаком сов д. р;Орбиталь равна нулю в любой точке плоскости ху (0=90'~, которая, следовательно, является узловой плоскостью этой орбитали.
Орбитали р„р„имеют в качестве узловых плоскостей соответственно плоскости ух и хх. Орбитали Н„, Ы„, И„, и И,*,* имеют две взаимно перпендикулярные узловые плоскости, а з-и Ы,*-орбитали совсем не имеют узловых плоскостей. Общее число узлов и узловых плоскостей любой АО равно и — 1, где д — главное квантовое число. Рассмотрим полную функцию водородоподобного атома.
Действительные нормированные волновые функции для некоторых значений л, ! и ж приведены в табл. 2.4. Таблвда 2.4. Ваавоаые фувввдв аодоуодоводобвого даава Прадо'скеле таба, 2.4 Графическое изображение полной волновой функции затруднительно, так как она зависит от трех переменных: г, 0 и у. В связи с этим используются ее различные диаграммные представления. Один из способов заключается в комбинировании двух зависимостей для угловой и для радиальной частей.
Например, таков вид 2р;орбитали показан на рис. 2.6. Не обладая достаточной наглядностью, он содержит все необходимые данные для оценки значений Ч' (г, д, р) в любой точке пространства. Лучшим способом представления полной волновой функции являются пространственные контурные карты Ч' и Ч'з от двух переменных (при одной фиксированной). На рис. 2.6 даны зависимости Ч' и Ч'з от координат х и у (при х= 0).
Для построения используют электронные вычислительные машины и созданы специальные программы. Последние включают не только вычисления функции, но Рнс. 2.6. Различные графические нрсдставлевна полной 2р, волновой функнвн: с — трекмсрвос орсдставлсвас; 6 — ковтурваа карта (ковдсвтрлческвс крввые сесдванот точка олвваковык заачсвва Ч'з в ллоскоств кук с — взмсвеавс волвовод фувкавн адель осв х (ралвальваа заввсвыосчь 'Р) и выбор наиболее удобного масштаба и проекции, а также построение в этой проекции поверхности задаваемой функции (Ч' илн Чтз) с помощью графопостроителя.
2З. РАСЧЕТ РАЗЛИЧНЫХ СВОЙСТВ ВОДОРОДОНОДОБНОГО АТОМА Знание полной волновой функции системы позволяет вычислять любые ее свойства по соотношению (1.33). В этом разделе расчеты 41 '-т(-') '" Используя определение средней величины (1.33), найдем 1~,з Р Ч",,(т) тзтв(т) ей= — — ~ ~ тзе Ыт, о (2.50) мл м а(пбдбй~ тзе- алев оо о Интеграл типа л.
1 х е езх=— е+! а (2.51) о часто встречается в квантово-механических расчетах. Учитывая (2.51), получаем 3 т=- ао. 2 (2.52) Таким образом, среднее расстояние электрона от ядра в основном состоянии атома водорода равно полутора радиусам первой боровской орбиты. В общем виде среднее расстояние между электроном и ядром для различных л и! водородоподобного атома определается формулой (2.53) Задача 2.5. Пропереть справедливость формулы (2,55) дла 2е- в 2р-фуввцвя атома водорода (Л 1) (см. таол. 2.4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
