С.А. Теляковский - Конспект лекций по математическому анализу

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетКурс лекций поматематическому анализуЛектор — Сергей Александрович ТеляковскийII курс, 4 семестр, поток математиковМосква, 2004 г.Оглавление1.2.3.4.Кратные интегралы1.1.

Мера Жордана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.1. Элементарные фигуры и измеримость . . . . . .1.1.2. Свойства измеримых множеств . . . . . . . . . .1.2. Кратные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.1. Определение кратного интеграла Римана . . . .1.2.2. Суммы Дарбу .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.3. Свойства кратных интегралов . . . . . . . . . . .1.2.4. Кратные и повторные интегралы . . . . . . . . .1.2.5. Геометрический смысл якобиана отображения .1.2.6. Замена переменных в кратном интеграле . . . .1.3. Несобственные кратные интегралы . .

. . . . . . . . . .1.3.1. Исчерпывающие последовательности множеств .1.3.2. Признаки сходимости . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................................................................................................4445667891012131313Криволинейные и поверхностные интегралы2.1. Криволинейные интегралы . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.1. Криволинейные интегралы первого рода . . . . . . . . . . . . . .2.1.2. Криволинейный интеграл второго рода . . . . . . . . . . . . . . .2.1.3. Формула Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .2.2. Поверхностные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.1. Геометрический смысл знака якобиана плоского отображения . .2.2.2. Потенциальные векторные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.3. Гладкие поверхности и поверхностные интегралы . . . . . . . . .2.2.4. Площади поверхностей . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.5. Поверхностный интеграл первого рода . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.6. Ориентированные поверхности. Поверхностный интеграл второго2.2.7. Формула Гаусса – Остроградского . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .2.2.8. Формула Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .рода .. . . .. . . ................................................................................................................................................1414141515161617181920202122Начальные сведения о дифференциальных формах3.1. Дифференциальные формы . . . .

. . . . . . . . . . . . .3.1.1. Гладкие многомерные поверхности . . . . . . . . .3.1.2. Определение дифференциальной формы . . . . .3.1.3. Замена переменных в дифференциальной форме .3.1.4. Внешнее дифференцирование дифференциальных3.2. Формула Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.1. Интеграл от дифференциальной формы . . . . .

.3.2.2. Общая формула Стокса . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .форм. . . .. . . .. . . .................................................................................................................................................................232323242526262627Кратные ряды4.1. Виды сходимости двойных рядов . . . . .

. . . . . . . .4.1.1. Понятие двойного ряда. Методы суммирования4.1.2. Повторные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1.3. Абсолютно сходящиеся двойные ряды . . . . . .4.2. Двойные степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.1. Понятие двойного степенного ряда . . . . . . . .4.2.2. Абсолютная сходимость степенных рядов . . . ....................................................................................................................................................28282829303030312.....................................................................................................................................................................................................ВведениеПредисловиеЕще одно, последнее сказанье,И летопись окончена моя.Исполнен долг, завещанный от Бога,Мне, TEXману...

Недаром многих лекцийСвидетелем Господь меня поставил,TEXнарскому искусству вразумил......Когда-нибудь студент трудолюбивыйЗайдёт на сайт, чтоб выкачать матан,Найдёт postscript огромный безымянный,Часа за два скачает этот хлам,Затем бумаги изведёт немало,Чтобы матан предстал его очам,И будет ботать... Мне ж теперьПора бы отдохнуть — немного задолбало...Настоящее издание представляет собой полный вариант лекций С. А. Теляковского по математическому анализу, читаемых в IV семестре. Материал слегка переработан автором данного документа Вельтищевым Михаилом, и, стоит надеяться, что это пошло на пользу. Нельзя не отметить активное участие некоторых людей вобнаружении и исправлении ошибок, однако здесь всегда может оставаться некоторое количество опечаток инеточностей. Убедительная просьба ко всем читателям: в случае обнаружения ошибок немедленно сообщайтеавтору на dmvn@mccme.ru или загляните на http://dmvn.mexmat.net и посмотрите, где можно достать в настоящее время самого автора.

Все пожелания и предложения по поводу оформления и содержания документа будутобязательно приняты к сведению. Последнее обновление: 8 февраля 2006 года.Слова благодарностиАвтор благодарит лектора за прочитанный курс лекций. Кроме того, нельзя не сказать спасибо тому, ктопопросил набрать эти лекции. Здесь было бы больше ошибок, если бы не было людей, которые эти ошибки замечают. За обнаружение опечаток и ценные замечания хочется поблагодарить М.

Берштейна, Г. Бровко,А. Воронцова, С. Захарова, М. Левина, П. Наливайко, В. Осокина, Я. Смирнова, А. Соколовскую, Д. Филимонова,а особенно И. Вегнера и Д. Котенко.Принятые в тексте соглашения и используемые сокращения1◦ Класс ограниченных функций обозначается так: f ∈ B(A) — функция f ограничена на A. Обозначениепроисходит от слова bounded. Точно так же будут иногда обозначаться ограниченные множества: A ∈ B,причём подразумеваются ограниченные подмножества в Em .◦e2 Интегрируемые в несобственном смысле на D функции обозначаются R(D).◦3 Следуя [3], топологические понятия обозначаются сокращениями соответствующих английских слов. Так,Int A — множество внутренних точек множества A, Cl A — замыкание множества A.4◦ Класс измеримых по Жордану множеств обозначается через J .5◦ Множество натуральных чисел N = {1, 2, 3, .

. . }, а N0 = {0} ∪ N.6◦ Характеристическая функция (индикатор) множества A обозначается χA .7◦ Используются аббревиатуры «ФНЛ»=«Формула Ньютона – Лейбница», «ФГО»=«Формула Гаусса – Остроградского», «ФКПЛ»=«Формула конечных приращений Лагранжа».8◦ При изложении материала из линейной алгебры мы будем неявно ссылаться на [4].Литература[1][2][3][4]М. Н. Вельтищев. Конспекты лекций С. А.

Теляковского по математическому анализу. 2004.В. А. Зорич. Математический анализ. М.: МЦНМО, 2002.В. А. Рохлин, Д. Б. Фукс. Начальный курс топологии. М.: Наука, 1977.Э. Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.341.1.1. Элементарные фигуры и измеримость1. Кратные интегралы1.1. Мера Жордана1.1.1. Элементарные фигуры и измеримостьБудем считать, что действия разворачиваются в конечномерном евклидовом пространстве Em . Мы изберёмтерминологию, связанную с площадями, а не с объёмами, поскольку часто будем проводить рассуждения напримере m = 2, не ограничивая, тем не менее, общности. Это связано хотя бы с тем, что в случае m = 2 удобнорисовать картинки.

Точки пространства E будем обозначать так: x = (x1 , . . . , xm ) ∈ Em .Определение. Пусть A = (a1 , . . . , am ), B = (b1 , . . . , bm ) и ai 6 bi . Тогда m-мерным прямоугольником будемназывать множество точек, которое в некоторой ортогональной системе координат может быть записано в видеmQσ = {x : xi ∈ [ai , bi ]}. Площадью σ назовём выражение |σ| :=(bi − ai ).i=1Определение. Пусть A, B ⊂ Em . Если Int A ∩ Int B = ∅, то A ∪ B будем записывать в виде A ⊕ B.Определение. Пусть σ1 , . . .

, σn — прямоугольники, а Ω = σ1 ⊕ . . . ⊕ σn . Тогда Ω называется элементарнойфигурой, и положим |Ω| := |σ1 |+ . . .+ |σn |. Ясно, что необходима проверка корректности определения, посколькуодну и ту же фигуру Ω можно разбить на прямоугольники несколькими способами. Геометрически этот факточевиден, а строгое доказательство неинтересно и потому здесь не приводится.Определение. Простейшей элементарной фигурой называется элементарная фигура, у которой каждаяиз сторон всех образующих её прямоугольников параллельна системе координат, т. е. найдется такая плоскостьei Oej , которой эта сторона параллельна. Такие фигуры будем обозначать σK .Приведём без доказательства свойства элементарных фигур и их площадей.• Если σ1 ⊂ σ2 , то |σ1 | 6 |σ2 |.• Значение площади инвариантно относительно движений в Em .′′′′′′• Полуаддитивность и аддитивность: |σK∪ σK| 6 |σK| + |σK|, причём равенство достигается тогда и только′′′тогда, когда Int σK ∩ Int σK = ∅.′′′• |σK r σK| > |σK | − |σK|, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда Int σK⊂ Int σK .• Если простейшую элементарную фигуру σK распилить параллельно системе координат, то получатся две′′′′′′простейшие элементарные фигуры σKи σK, причём σK = σK⊕ σK.• Можно слегка раздвинуть или сузить стенки простейшей элементарной фигуры σK параллельно системе′координат и получить фигуру σKтак, что площадь изменится на сколь угодно малую величину.

Важно,′′что при раздвигании стенок имеем σK ⊂ Int σK, а при сужении σK⊂ Int σK .Определение. Зафиксируем прямоугольную систему координат и рассмотрим в Em сетку с шагом h. Будемсчитать, что h = 21N , где N ∈ N. Пусть A — ограниченное подмножество в Em . Пусть ω N (A) — объединениевсех квадратиков сетки, которые содержат точки из A, а ωN (A) — объединение тех квадратиков сетки, которыецеликом заняты точками множества A. Когда ясно, о каком множестве идёт речь, не будем это указывать.Очевидно, ω N ⊂ ω N , и, кроме того, ω 1 ⊃ ω 2 ⊃ .