В.А. Алекшевич - Оптика, страница 9

 ãàçå ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ èçëó÷åíèå àòîìà «ïîëó÷àåò» ñëó÷àéíûé ñêà÷îê ôàçû â ñðåäíåì ÷åðåç âðåìÿ tc ~ 10-10 ñ. Òîãäà îòäåëüíûéöóã äëèòåëüíîñòüþ t ~ 10-8 ñ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êàê áû ïîñëåäîâàòåëüíîñòüt/tc ~ 102 öóãîâ. Äëèòåëüíîñòü êàæäîãî èç ýòèõ ìàëåíüêèõ öóãîâ ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî øèðèíà ñïåêòðàëüíîé ëèíèè óâåëè÷èâàåòñÿ ïðèáëèçèòåëüíî íà äâà ïîðÿäêà.Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè èçëó÷åíèÿ áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òîF (t ) =Nå f l (t - t l ),l =1(4.24)ãäåìa cos w 0t , åñëè t l < t < t l + t l ;f l (t - t l ) = íî0, åñëè t < t l è t > t l + t l ,(4.25)— «îáðûâîê» ãàðìîíè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ, âîçíèêàþùèé ñëó÷àéíî â ìîìåíò âðåìåíè tl è ïðåêðàùàþùèéñÿ òàêæå ñëó÷àéíî ñïóñòÿ âðåìÿ tl (tl — ñëó÷àéíàÿ äëèòåëüíîñòü «îáðûâêà»).

Ðàäèàöèîííîå çàòóõàíèå â ñèëó óñëîâèÿ tl < t íå ó÷èòûâàåòñÿ.Ïðèìåíÿÿ ê (4.24) ïðåîáðàçîâàíèÿ (4.21), ïîëó÷àåì âûðàæåíèå| Fµ0 (w)| 2 =å N l | µf 0l (w)| 2 .l(4.26)Çäåñü, â îòëè÷èå îò (4.23), Nl — ÷èñëî öóãîâ äëèòåëüíîñòüþ tl, çàðåãèñòðèðîâàííûõ çà âðåìÿ íàáëþäåíèÿ; µf 0l (w) — ôóðüå-àìïëèòóäà äëÿ òàêèõ öóãîâ,ñóììèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ ïî âñåì äëèòåëüíîñòÿì tl.Åñëè âðåìÿ íàáëþäåíèÿ âåëèêî, òî (4.26) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå| Fµ0 (w)| 2 =å N l á| f 0 (w)| 2 ñ,l(4.27)ãäå2á| f 0 (w)| ñ =å N l | µf 0l (w)| 2låNl(4.28)l— ñðåäíåå çíà÷åíèå êâàäðàòà ìîäóëÿ ñïåêòðàëüíîé àìïëèòóäû.Èç êóðñà ìîëåêóëÿðíîé ôèçèêè èçâåñòíî: âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ìåæäó äâóìÿ ñòîëêíîâåíèÿìè ïðîéäåò âðåìÿ, ñîîòâåòñòâóþùåå èíòåðâàëó (tl, tl + dtl),ðàâíàdp t =1æ t öexp ç - l ÷ d t l = M (t l )d t l .è tc øtñ(4.29)43Çäåñü tc — ñðåäíåå âðåìÿ ìåæäó äâóìÿ ñòîëêíîâåíèÿìè.

Òîãäà¥á| µf 0 (w)| 2 ñ = ò | µf 0l (w)| 2M (t l )d t l .(4.30)0Âíà÷àëå âû÷èñëèì ôóðüå-àìïëèòóäó «îáðûâêà» (4.25) äëèòåëüíîñòüþ tl:t l +tlµf 0l (w) == ae i F1òtl1 i w 0t+ e -i w 0t )e -i wt dt =(e2sin(w 0 - w)t l /2sin(w 0 + w)t l /2+ ae i F 2.w0 - ww0 + w(4.31)Çäåñü F1 = (w 0 - w)(t l + t l /2); F 2 = (w 0 + w)(t l + t l /2) .Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè èñïîëüçóåì ëèøü ïîëîæèòåëüíûå÷àñòîòû. Òîãäà âòîðûì ñëàãàåìûì â (4.31) ìîæíî ïðåíåáðå÷ü è çàïèñàòü| µf 0l (w)| 2 =21 2 2 é sin(w 0 - w)t l /2 ù1= a 2 t l2 sinc 2 ((w 0 - w)t l /2) ,a tl êú44ë (w 0 - w)t l /2 û(4.32)sin x— ôóíêöèÿ, øèðîêî èñïîëüçóåìàÿ â ôèçèêå.

Êâàäðàò ýòîéxôóíêöèè îïèñûâàåò êîíòóð ñïåêòðàëüíîé ëèíèè èçëó÷åíèÿ, ïðåäñòàâëÿþùåãîñîáîé ïðÿìîóãîëüíûé èìïóëüñ àìïëèòóäîé a, ÷àñòîòîé w0 è äëèòåëüíîñòüþ tl,è èçîáðàæåí íà ðèñ. 4.3.Ýòîò êîíòóð íå ÿâëÿåòñÿ ëîðåíöåâûì. Åãî øèðèíà Dxl = p, à ñïåêòðàëüíàÿøèðèíàãäå sinc(x) =Dw l =4p,tl(4.33)ò. å. îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà äëèòåëüíîñòè tl ïðÿìîóãîëüíîãî èìïóëüñà. Ïðîâîäÿ óñðåäíåíèÿ ïî äëèòåëüíîñòÿì tl â ñîîòâåòñòâèè ñ (4.29) è (4.30), íàõîäèìsinc2(x)1-3p-2p-p0pDxlÐèñ.

4.3442p3px=(w - w 0)tl2á| µf 0 (w)| 2 ñ ==1¥ 2 21æ t öa t c sinc 2 ((w 0 - w)t l /2) exp ç - l ÷ d t l =ò40tcè tc ø1 2 211a tc 2= a 2 t 2c L(w),22t c (w 0 - w) + 1 2(4.34)ãäåL (w ) =t 2c (w 01- w) 2 + 1(4.35)— ëîðåíöåâà ôóíêöèÿ.Äëÿ àíñàìáëÿ àòîìîâ, ñîãëàñíî (4.27), èìååì1 2 2a t c L(w)å N l .2l| Fµ0 (w)| 2 =Çà áîëüøîå âðåìÿ íàáëþäåíèÿ tí ? tc ñóììàå Nll(4.36)=ìîé ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè èíòåíñèâíîñòè ïîëó÷àåìS (w) =| Fµ0l (w)| 2 1 2= a t ñ L(w).pt í2tí, ïîýòîìó äëÿ èñêîtñ(4.37)Òàêèì îáðàçîì, êîíòóð ñïåêòðàëüíîé ëèíèè èçëó÷åíèÿ àíñàìáëÿ ñòàëêèâàþùèõñÿ àòîìîâ ÿâëÿåòñÿ ëîðåíöåâûì.

Îäíàêî ýòîò êîíòóð çíà÷èòåëüíî óøèðåí.Åãî øèðèíà, îöåíåííàÿ ïî óðîâíþ 0,5 (íà ïîëîâèíå ýòîé øèðèíû ôóíêöèÿ Lóáûâàåò âäâîå), èç (4.35) ïîëó÷àåòñÿ ðàâíîéDw c =2.tc(4.38)Âûðàæåíèÿ äëÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè èíòåíñèâíîñòè (4.37) ìîæíîñ ó÷åòîì (4.38) è ðàâåíñòâà I0 = a2/2 (I0 — èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ âñåéñïåêòðàëüíîé ëèíèè) çàïèñàòü â âèäåS (w ) = I 02L(w)= I 0 g L (w),pDw c(4.39)ãäåg L (w ) =Dw c2p 4(w 0 - w)2 + (Dw c )2(4.40)— íîðìèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ ( ò g L (w )d w = 1), êîòîðàÿ îïèñûâàåò â îïòèêå ëîðåíöåâûé êîíòóð ñïåêòðàëüíîé ëèíèè.Îöåíèì õàðàêòåðíûå âðåìåíà ïðè ñòîëêíîâåíèÿõ. Àòîìû äâèæóòñÿ õàîòè÷åñêè ñî ñðåäíåé òåïëîâîé ñêîðîñòüþLò =8kT,pm(4.41)ãäå m — ìàññà àòîìà èëè ìîëåêóëû.45Ñàì ïðîöåññ ñòîëêíîâåíèÿ ïðîèñõîäèò íå ìãíîâåííî, êàê ýòî ïðåäïîëàãàëîñü ðàíåå äëÿ ïðîñòîòû, à â òå÷åíèå èíòåðâàëà Dtc.

Àòîìû, ñáëèæàÿñü, íà÷èíàþò îêàçûâàòü âëèÿíèå äðóã íà äðóãà ïðè ðàññòîÿíèÿõ d ìåæäó íèìè, êîòîðîåïî ïîðÿäêó ðàâíî äèàìåòðó àòîìà èëè ìîëåêóëû (d ~ 1 D = 10-10 ì). Òîãäà âðåìÿñòîëêíîâåíèÿDt c :duT(4.42)Íàïðèìåð, äëÿ àòîìà íåîíà ïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå Dtc ~ 10-13 c.  ïðîöåññå ñòîëêíîâåíèÿ àòîì, êàê ýëåìåíòàðíûé äèïîëü, óñïåâàåò ñîâåðøèòü íåñêîëüêî îñöèëëÿöèé.Ñðåäíåå âðåìÿ ìåæäó äâóìÿ ñòîëêíîâåíèÿìè ðàâíî îòíîøåíèþ ñðåäíåéäëèíû ñâîáîäíîãî ïðîáåãà L ê ñêîðîñòè Lòtc :L 1 mkT= ×,uT 4 pd 2 p(4.43)ãäå p — äàâëåíèå ãàçà.Íàïðèìåð, äàâëåíèå â ãàçîðàçðÿäíîé òðóáêå He-Ne-ëàçåðà p = 0,5 ìì ðò.

ñò.Ïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå âðåìÿ ìåæäó äâóìÿ ñòîëêíîâåíèÿìè èçëó÷àþùèõñâåò àòîìîâ íåîíàtc = 0,5 × 10-6 ñ.(4.44)Ñîîòâåòñòâóþùàÿ øèðèíà ëîðåíöåâîé ëèíèè èçëó÷åíèÿDn c =Dw c1== 0,64 ÌÃö.pt ñ2p(4.45)Ñ óâåëè÷åíèåì äàâëåíèÿ øèðèíà ëèíèè âîçðàñòàåò.Äîïëåðîâñêîå óøèðåíèå ñïåêòðàëüíîé ëèíèè. Ïîñêîëüêó àòîìû íàõîäÿòñÿâ òåïëîâîì äâèæåíèè, òî íàáëþäàòåëü âñëåäñòâèå ýôôåêòà Äîïëåðà áóäåò ðåãèñòðèðîâàòü öóãè âîëí ñ ðàçíûìè ÷àñòîòàìè w.

Ðàçóìååòñÿ, â ñèñòåìå êîîðäèíàò,æåñòêî ñâÿçàííîé ñ àòîìîì, ÷àñòîòà åãî èçëó÷åíèÿ íåèçìåííà è ðàâíà w0 (ðàäèàöèîííîå óøèðåíèå ëèíèè íå ó÷èòûâàåì). Åñëè àòîì ïðèáëèæàåòñÿ ê íàáëþäàòåëþñî ñêîðîñòüþ Lz (ðèñ. 4.4), òî íàáëþäàòåëü âîñïðèíèìàåò èçëó÷åíèå ñ ÷àñòîòîéL öæw = w 0 ç1 + z ÷ .ècø(4.46)Êîìïîíåíòà ñêîðîñòè Lz èìååò íîðìàëüíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîýòîìódn = nÐèñ. 4.446æ mL z2 ömexp ç dL ,è 2kT ÷ø z (4.47)2pkTãäå n — ÷èñëî èçëó÷àþùèõ àòîìîâ â åäèíèöå îáúåìà; dn — ÷àñòü àòîìîâ ñ êîìïîíåíòîé ñêîðîñòè Lz â èíòåðâàëå (Lz,Lz + dLz).Åñëè èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ âñåõn àòîìîâ ðàâíà I0, òî èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ dI ÷àñòè dn àòîìîâ óäîâëåòâîðÿåò ïðîïîðöèèdIdn=.I0n(4.48)Èñêëþ÷èì â (4.47) Lz2 è dLz, âûðàçèâ èõ ñ ïîìîùüþ (4.46) ÷åðåç w è dw.Ó÷èòûâàÿ, ÷òî dI = S(w)dw, èç (4.48) ïîëó÷àåìæ mc 2 (w - w 0 ) 2 ömcd w.exp ç èø÷2pkT w 02kT w 02S (w)d w=I0(4.49)Åñëè ââåñòè îáîçíà÷åíèåDw = w 02kT,mc 2(4.50)òî (4.49) ìîæíî çàïèñàòü â êîìïàêòíîì âèäå:S (w) =æ (w - w 0 ) 2 öexp ç ÷ = I 0 g D (w).èDw 2 øpDw(4.51)æ (w - w 0 ) 2 öexp ç ÷èDw 2 øpDw(4.52)I0Çäåñüg D (w ) =1— íîðìèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ ( ò g D (w)d w = 1), êîòîðàÿ îïèñûâàåò â îïòèêå ãàóññîâ êîíòóð ñïåêòðàëüíîé ëèíèè.Äîïëåðîâñêîå óøèðåíèå îòíîñèòñÿ ê íåîäíîðîäíîìó óøèðåíèþ, ïîñêîëüêó ðàçíûå àòîìû âíîñÿò âêëàä â ñóììàðíîå èçëó÷åíèå ñ ðàçíûìè ÷àñòîòàìè.

Øèðèíóäîïëåðîâñêîé ëèíèè òàêæå îïðåäåëÿþò íà óðîâíå 0,5 (íà ïîëîâèíå ýòîé øèðèíûôóíêöèÿ gD óáûâàåò âäâîå) ïî ôîðìóëå2kT.(4.53)mc 2Ýòà øèðèíà çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû. Äëÿ èçëó÷åíèÿ íåîíà ïðè Ò = 300 KDw D = 2 ln 2Dw = 2 ln 2Dw D(4.54)= 1,7 × 10 9 Ãö = 1,7 ÃÃö.2pÑðàâíåíèå îáîèõ ìåõàíèçìîâ óøèðåíèÿ äëÿ ëèíèè èçëó÷åíèÿ íåîíà (l == 6 328 D) ïîêàçûâàåò, ÷òî äîïëåðîâñêîå óøèðåíèå çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàåòóäàðíîå. Îäíàêî ïðè âûñîêèõ äàâëåíèÿõ óäàðíîå óøèðåíèå ìîæåò ïðåîáëàäàòü íàä äîïëåðîâñêèì.

Ýòî èìååò ìåñòî, íàïðèìåð, äëÿ ñâåòÿùåãîñÿ óãëåêèñëîãî ãàçà (l = 10,6 ìêì), íàõîäÿùåãîñÿ ïðè àòìîñôåðíîì äàâëåíèèâ ãàçîðàçðÿäíîé òðóáêå CO2-ëàçåðà.Äëÿ íàãëÿäíîñòè íà ðèñ. 4.5 ïðèâåäåíîñðàâíåíèå ëîðåíöåâà è ãàóññîâà êîíòóðîâ ïðè îäèíàêîâîé èõ øèðèíå: Dw == Dwñ = DwD. Âèäíî, ÷òî â ñðåäíåé ÷àñòèäîìèíèðóåò ãàóññîâà ôóíêöèÿ gD, à íàïåðèôåðèè — ëîðåíöåâà ôóíêöèÿ gL.Ðèñ. 4.5Dn D =47Ïîëíîå óøèðåíèå ñïåêòðàëüíîé ëèíèè.Íà ïðàêòèêå ÷àñòî ðåàëèçóþòñÿ îáà ñëó÷àÿ îäíîâðåìåííî. Ïîýòîìó óøèðåíèåíå áûâàåò ïîëíîñòüþ îäíîðîäíûì èëè íåîäíîðîäíûì.Íà ðèñ. 4.6 ñõåìàòè÷íî èçîáðàæåíî íåñêîëüêî ëîðåíöåâûõ ëèíèé ñî ñäâèãîì ÷àñòîòû w0¢ âñëåäñòâèå ýôôåêòà Äîïëåðà.

ÝòèÐèñ. 4.6ëèíèè âçàèìíî ïåðåêðûâàþòñÿ. Èíòåíñèâíîñòü ëèíèé ðàñïðåäåëåíà ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó, ïîñêîëüêó íà ðèñóíêå èçîáðàæåíà ñèòóàöèÿ, êîãäà DwD > Dwñ.Èíòåíñèâíîñòü ïîëíîãî èçëó÷åíèÿ âñåõ àòîìîâ â óçêîì ÷àñòîòíîì äèàïàçîíå w ¸ w + d w ðàâíà ñóììå èíòåíñèâíîñòåé âñåõ ëîðåíöåâûõ ëèíèé ñî ñìåùåííûìè öåíòðàëüíûìè ÷àñòîòàìè w 0¢:¥dI (w, w + d w) = I 0d w ò g L (w - w ¢0 ) g D (w ¢0 )d w ¢0 = I 0 g (w)d w,(4.55)-¥ãäå ôóíêöèÿg (w ) =¥òg L (w - w ¢0 ) g D (w ¢0 )d w ¢0(4.56)-¥îïèñûâàåò êîíòóð ñïåêòðàëüíîé ëèíèè, óøèðåííîé çà ñ÷åò îäíîâðåìåííîãîäåéñòâèÿ îáîèõ ìåõàíèçìîâ.

Îíà îïðåäåëÿåòñÿ òàê íàçûâàåìîé ñâåðòêîé ôóíêöèé gL è gD.Åñëè, íàïðèìåð, îäíîðîäíîå óøèðåíèå î÷åíü ìàëî (DwL = DwD), òî â (4.56)ìîæíî ïîëîæèòü gL(w - w 0¢) = d(w - w 0¢) (d — äåëüòà-ôóíêöèÿ Äèðàêà). Òîãäàèíòåãðàë (4.56) â ñîîòâåòñòâèè ñî ñâîéñòâàìè d-ôóíêöèè áóäåò ðàâåíg (w) =¥ò d(w - w ¢0 )g D (w ¢0 )d w ¢0= g D (w),(4.57)-¥è âêëàä îäíîðîäíîãî óøèðåíèÿ ïðåíåáðåæèìî ìàë.Ôàçîâàÿ ìîäóëÿöèÿ è óøèðåíèå ñïåêòðà. Ðàññìîòðèì âîïðîñ î øèðèíå ñïåêòðà, ïîëüçóÿñü âðåìåííûì ïðåäñòàâëåíèåì. Åñëè èìååòñÿ èìïóëüñ ñ äëèòåëüíîñòüþ t, â êîòîðîì ôàçîâàÿ ìîäóëÿöèÿ îòñóòñòâóåò (íàïðèìåð, ñâåòîâîé öóã(3.12), èçîáðàæåííûé íà ðèñ.

3.5), òî øèðèíà åãî ñïåêòðà îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà ýòîé äëèòåëüíîñòè, êàê ýòî è âûðàæàåòñÿ îöåíêîé (3.15) Dn ~ 1/t.Èìïóëüñ áåç ôàçîâîé ìîäóëÿöèè íàçûâàåòñÿ ñïåêòðàëüíî îãðàíè÷åííûì. Åñëèèìååòñÿ ôàçîâàÿ ìîäóëÿöèÿ ñ õàðàêòåðíûì âðåìåíåì tj < t, òî ñïåêòð òàêîãîèìïóëüñà ðàñøèðÿåòñÿ. Íà ðèñ. 4.7 èçîáðàæåí öóã, ó êîòîðîãî ôàçà â ðåçóëüòàòåñòîëêíîâåíèé õàîòè÷íî ìåíÿåòñÿ â ñðåäíåì ÷åðåç âðåìÿ tj = tñ.Øèðèíà ñïåêòðà â ñîîòâåòñòâèè ñ (4.38) ðàâíàDn j =Dw ñ11.==2ppt ñ pt j(4.58)Èìïóëüñ ñ èçìåíÿþùåéñÿ âî âðåìåíè ôàçîé íàçûâàåòñÿ ôàçîâî-ìîäóëèðîâàííûì. Øèðèíà åãî ñïåêòðà áîëüøå, ÷åì ó ñïåêòðàëüíî îãðàíè÷åííîãî èìïóëüñà òîé æå äëèòåëüíîñòè.48Ðèñ.

4.7Íà ñîîòíîøåíèÿõ (3.15) è (4.58) ïîñòðîåíà èäåÿ ñæàòèÿ âî âðåìåíè (êîìïðåññèè) ñâåòîâûõ èìïóëüñîâ. Òàê, åñëè äëèòåëüíîñòü ñïåêòðàëüíî îãðàíè÷åííîãîèìïóëüñà ðàâíà t1, òî øèðèíà åãî ñïåêòðà Dn ~ 1/t1. Ïðè ñîçäàíèè ôàçîâîé ìîäóëÿöèè ñî âðåìåíåì tj < t1 ñïåêòð èìïóëüñà ðàñøèðèòñÿ äî âåëè÷èíû Dnj ~ 1/tj.Òàêóþ áûñòðóþ ìîäóëÿöèþ ìîæíî ñîçäàòü ëèøü ìåòîäàìè íåëèíåéíîé îïòèêè.Åñëè çàòåì ýòó ìîäóëÿöèþ ñíÿòü â ëèíåéíîé äèñïåðãèðóþùåé ñðåäå, òî ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü íå èçìåíèòñÿ, à äëèòåëüíîñòü t2 íîâîãî ñïåêòðàëüíî îãðàíè÷åííîãî èìïóëüñà óìåíüøèòñÿ:t2 :1: t j < t1.Dn j(4.59)Áîëåå ïîäðîáíî îá ýòîì ïîéäåò ðå÷ü â ðàçäåëå «Íåëèíåéíî-îïòè÷åñêèåÿâëåíèÿ».ËÅÊÖÈß 5Êâàíòîâàÿ ïðèðîäà èçëó÷åíèÿ.