В.А. Алекшевич - Оптика (1120564), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Ïîýòîìó âðåìÿ t èãðàåò ðîëü âðåìåíèêîððåëÿöèè èçëó÷åíèÿ. Áîëåå ñòðîãîå åãî îïðåäåëåíèå áóäåò ïðèâåäåíî â ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ.i =1ËÅÊÖÈß 4Åùå â XVII â. È. Íüþòîíîì áûëè âûïîëíåíû çíàìåíèòûå îïûòû ïî ðàçëîæåíèþ áåëîãî ñâåòà â öâåòíîé ñïåêòð.  ðåçóëüòàòå áûëî äîêàçàíî, ÷òî áåëûéñâåò ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèåé áîëüøîãî ÷èñëà âîëí, êîòîðûå â òå âðåìåíà ïðåäñòàâëÿëè â âèäå ïîòîêà ÷àñòèö, ñêîðîñòè êîòîðûõ è îïðåäåëÿþò öâåò êàæäîéñïåêòðàëüíîé êîìïîíåíòû. Ïîñëå ïðèçíàíèÿ âîëíîâîé ïðèðîäû ñâåòà óòâåðäèëàñü òî÷êà çðåíèÿ, ÷òî öâåò ñïåêòðàëüíîé êîìïîíåíòû îïðåäåëÿåòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî åå ÷àñòîòîé.Âûïîëíåííûå âïîñëåäñòâèè ìíîãî÷èñëåííûå îïûòû ïî èçó÷åíèþ ñïåêòðàëüíîãî ñîñòàâà ðàçíîîáðàçíûõ èñòî÷íèêîâ ñâåòà ïîêàçàëè, ÷òî ëþáîé èñòî÷íèê èñïóñêàåò ñâåòîâûå âîëíû, ÷àñòîòû êîòîðûõ çàíèìàþò êîíå÷íûé èíòåðâàë ÷àñòîò, èëè ñïåêòðàëüíûé èíòåðâàë.Îáðàòèìñÿ ê ñïåêòðàëüíîìó ñîñòàâó èçëó÷åíèÿ àíñàìáëÿ àòîìîâ.
Ñïåêòðàëüíûé ñîñòàâ ñâåòà ñâÿçàí ñ ïîâåäåíèåì âî âðåìåíè íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, è ýòà ñâÿçü çàäàåòñÿ èíòåãðàëîì Ôóðüå.Èíòåãðàë Ôóðüå. Èç êóðñà ìàòåìàòèêè èçâåñòíî, ÷òî ëþáóþ àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìóþ íà èíòåðâàëå -∞ < t < ∞ ôóíêöèþ f (t) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåèíòåãðàëà Ôóðüå:f (t ) =1p¥1¥ò [à(w) cos wt + b(w) sin wt ] d w = p ò f 0 (w) cos [wt - j(w)] d w.0(4.1)0Ôóíêöèè a(w) è b(w) íàõîäÿòñÿ èç îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå:a(w) =¥òf (t ) cos wt dt ;-¥b(w) =¥òf (t ) sin wt dt .(4.2)-¥Åñëè f (t) ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ, òî b = 0, à åñëè íå÷åòíàÿ, òî a = 0. Ôóíêöèèa(w), b(w) è f 0 = a 2 + b 2 íàçûâàþòñÿ ñïåêòðàëüíûìè àìïëèòóäàìè, èëè ôóðüå-àìïëèòóäàìè.
Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî f0 ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé ôóíêöèåé ÷àñòîòû: f0(w) = f0(-w). Ôàçà j ÿâëÿåòñÿ íå÷åòíîé ôóíêöèåé ÷àñòîòû: j(w) = -j(-w).Ïîñëåäíåå ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî a(w) = a(-w), b(w) = -b(-w).Áîëåå óäîáíûì äëÿ âû÷èñëåíèé ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíîå ïðåäñòàâëåíèå èíòåãðàëà (4.1). Ñâîéñòâà ÷åòíîñòè f0(w) è j(w) ïîçâîëÿþò ðàñøèðèòü ôîðìàëüíîîáëàñòü èíòåãðèðîâàíèÿ â îáëàñòü îòðèöàòåëüíûõ ÷àñòîò (ôèçè÷åñêîãî ñìûñëàîíè íå èìåþò):f (t ) =¥1ò f 0 (w) cos [wt - j(w)] d w.2p -¥(4.3)Ââåäåì êîìïëåêñíóþ ñïåêòðàëüíóþ àìïëèòóäó (êîìïëåêñíóþ ôóðüå-àìïëèòóäó) µf 0 (w) = f 0 (w )e -i j(w ). Òîãäà èíòåãðàë (4.3) çàïèøåòñÿ â âèäå38f (t ) =¥1ò µf 0 (w)e i wt d w ,2p -¥(4.4)ãäåµf (w) =0¥òf (t )e -i wt dt .(4.5)-¥Ôîðìóëû (4.4) è (4.5) ïðåäñòàâëÿþò ïðÿìîå è îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèÿÔóðüå â êîìïëåêñíîì âèäå, êîòîðûå áóäåì èñïîëüçîâàòü â äàëüíåéøåì.
Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî êîìïëåêñíàÿ ñïåêòðàëüíàÿ àìïëèòóäà µf 0 (w) = a(w) - ib(w),ïîýòîìó µf 0*(w) = µf 0 (-w) (çâåçäî÷êà îçíà÷àåò çíàê êîìïëåêñíîãî ñîïðÿæåíèÿ).Äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé âû÷èñëÿþò ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü | µf 0 (w)| 2, ïîñêîëüêó èìåííî ýòó âåëè÷èíó ìîæíî ýêñïåðèìåíòàëüíî èçìåðèòü. Ðàññìîòðèìíåñêîëüêî ïðèìåðîâ.n Ïðèìåð 1. Ïóñòü f (t ) = a0 cos w 0t . Âîñïîëüçóåìñÿ äåéñòâèòåëüíûì ïðåäñòàâëåíèåì (4.2). Ïîñêîëüêó f (t) ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ, òî b = 0. Ñëåäîâàòåëüíî,¥f 0 (w) = a(w) =ò a0 cos w 0t cos wt d w = pa0d(w - w 0 ).(4.6)-¥Çäåñü d(w - w0) äåëüòà-ôóíêöèÿ Äèðàêà: åñëè w ¹ w0, òî d = 0, à åñëèw = w0, òî d ® ∞, ïðè ýòîì¥ò dd w = 1 .
Ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå (4.1) ïîçâîëÿåò-¥âîññòàíîâèòü èñõîäíóþ ôóíêöèþf (t ) =¥¥1à(w) cos wt d w = a0 ò d(w - w 0 ) cos wt d w = a0 cos w 0t .p ò00(4.7) (4.7) èñïîëüçîâàíî ñâîéñòâî äåëüòà-ôóíêöèè, ñîãëàñíî êîòîðîìó èíòåãðàë îò ïðîèçâåäåíèÿ ëþáîé ôóíêöèè íà äåëüòà-ôóíêöèþ ðàâåí çíà÷åíèþ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè ïðè òîì çíà÷åíèè àðãóìåíòà, ïðè êîòîðîì äåëüòàôóíêöèÿ îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü (â íàøåì ñëó÷àå àðãóìåíò w = w0).Ôóíêöèþ f (t) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå åå âðåìåííîé çàâèñèìîñòè ëèáîóêàçàòü çíà÷åíèå åå ñïåêòðàëüíîé àìïëèòóäû f0(w), ïîçâîëÿþùåé, ñîãëàñíî(4.3), âîññòàíîâèòü ôóíêöèþ.  ïåðâîì ñëó÷àå èñïîëüçóåòñÿ åå âðåìåííîåïðåäñòàâëåíèå, âî âòîðîì ñïåêòðàëüíîå (ðèñ.
4.1).Îòìåòèì, ÷òî â ñïåêòðàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè ïî îñè îðäèíàò îòëîæåíà âåëè÷èíà f 02(w), ïîñêîëüêó ñ íåé ñâÿçàíà èçìåðÿåìàÿ â ýêñïåðèìåíòå èíòåíñèâíîñòü ñèãíàëà, îïèñûâàåìîãî ôóíêöèåé f (t). Êðîìå òîãî, ïðè w = w0 f 02 ® ∞,Ðèñ. 4.139ïîýòîìó âûñîòà «ïàëî÷êè» äîëæíà áûòü áåñêîíå÷íî áîëüøîé.  äåéñòâèòåëüíîñòè âñå ñïåêòðàëüíûå àìïëèòóäû êîíå÷íû, ïîñêîëüêó â ïðèðîäå íå ñóùåñòâóåò ñèãíàëîâ, äëÿùèõñÿ áåñêîíå÷íîå âðåìÿ.n Ïðèìåð 2. Ðàññìîòðèì òåïåðü ôóíêöèþ f (t ) = ae -t/t cos w 0t . Òàêàÿ ôóíêöèÿîïèñûâàåò íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ (E = f ) â îòäåëüíîì öóãå èçëó÷åíèÿ. Îïðåäåëèì | µf 0 (w)| 2, ïîëüçóÿñü êîìïëåêñíûì ïðåäñòàâëåíèåì (4.5):µf (w) =0¥ò-¥¥f (t )e -i wt dt = a ò e -t /t-¥e i w0t + e -i w0t -i wtedt .2(4.8)Îïóñêàÿ ïðîìåæóòî÷íûå âûêëàäêè, ïîëó÷èì ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü| µf 0 (w)| 2 = µf 0 (w) µf 0*(w) = a 2w2 + 1 t2(w 02w2-w ) +4 2t.(4.9)2 2Äëÿ ñëàáîãî çàòóõàíèÿ (w0 ? 1/t) è ïðè w » w0 âûðàæåíèå (4.9) ìîæíîçíà÷èòåëüíî óïðîñòèòü, ïîëàãàÿ (w 02 - w 2 ) 2 » 4 w 02 (w 0 - w) 2.
Òîãäà| µf 0 (w)| 2 »a24w 02w 02 (w 0 - w) 2 +w 022=a2 2t L(w),4(4.10)tãäåL (w ) =1t (w 0 - w)2 + 12(4.11) ëîðåíöåâà ôóíêöèÿ.Ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè, íàçûâàåìûé ëîðåíöåâûì êîíòóðîì, ïðåäñòàâëåííà ðèñ. 4.2.Øèðèíó Dw ýòîãî êîíòóðà íàõîäÿò èç óñëîâèÿ óáûâàíèÿ ôóíêöèè L âäâîå:11=.2 æ Dw ö 2çè t÷ +12 øÐèñ. 4.240(4.12)Îòñþäà Dw = 2/t. ×åì áîëüøå âðåìÿ çàòóõàíèÿ, òåì óæå êîíòóð.
 ïðåäåëå, ïðè t ® ∞Dw ® 0, êàê ýòî èìåëî ìåñòî â ïðåäûäóùåìïðèìåðå.Ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü èíòåíñèâíîñòè. Ïðèìåíèì èíòåãðàë Ôóðüå ê îïèñàíèþ ñïåêòðàëüíûõ õàðàêòåðèñòèê ñâåòà. Ïîä ôóíêöèåé f (t)áóäåì ïîäðàçóìåâàòü îäíó èç êîìïîíåíò E(t)íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ ñâåòîâîé âîëíû. Íî òîãäàf (t) ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé ôóíêöèåé. Ñëó÷àéíûìè áóäóò è ôóðüå-àìïëèòóäû a, b, f0 è ôàçà j.Êðîìå òîãî, â ðåàëüíîì ýêñïåðèìåíòå âðåìÿíàáëþäåíèÿ îãðàíè÷åíî, ïîýòîìó íà ïðàêòèêåìîæíî àíàëèçèðîâàòü ñèãíàë ft(t), òàêîé, ÷òîft(t) = f (t) ïðè 0 < t < tí;ft(t) = 0 ïðè tí < t < ∞, t < 0,(4.13)ãäå tí âðåìÿ íàáëþäåíèÿ.Âîçíèêàåò âîïðîñ î âûáîðå ýòîãî âðåìåíè. Âîñïîëüçóåìñÿ ðàâåíñòâîì Ïàðñåâàëÿ, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ èç (4.4) è (4.5):¥òf 2 (t )dt =-¥¥1ò | µf 0 (w)| 2d w .2p -¥(4.14) ýòîì ðàâåíñòâå, â ëåâîé ÷àñòè âî âðåìåííîì, â ïðàâîé â ñïåêòðàëüíîìïðåäñòàâëåíèè, ñòîèò âåëè÷èíà, ñâÿçàííàÿ ñ ïëîòíîñòüþ ýíåðãèè âîëíû.Åñëè ïðèìåíèòü ýòî ðàâåíñòâî ê ñëó÷àéíîé è óñå÷åííîé âî âðåìåíè ôóíêöèè ft(t), òî ìîæíî ñîêðàòèòü ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ ïî âðåìåíè è çàïèñàòü1títíò0f t2 (t )dt =| µf 0 t (w)| 21dw .òtí2p -¥¥(4.15)Çàìåòèì, ÷òî â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü òàêæå çàâèñèò îò âðåìåíè íàáëþäåíèÿ è ÿâëÿåòñÿ, êðîìå òîãî, ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé.Åñëè óñòðåìèòü âðåìÿ íàáëþäåíèÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, òî èíòåãðàë ñëåâà áóäåò ñòðåìèòüñÿ ê ïðåäåëó, ðàâíîìó á f 2 ñ, ïîýòîìót¥| µf 0 t (w)| 21 í 2(4.16)á f 2 ñ = limftdt=()limò tò t í ®¥ pt í d w.t í ®¥ tí 00Ñëåäîâàòåëüíî, äîëæåí ñóùåñòâîâàòü ïðåäåë ó ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ â ïðàâîé ÷àñòè (4.15):| µf (w)| 2S (w) = lim 0 t.(4.17)t í ®¥pt íÔóíêöèÿ S(w) íàçûâàåòñÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ èíòåíñèâíîñòè, åñëèðå÷ü èäåò î ñâåòîâîé âîëíå.Äåéñòâèòåëüíî, ïðèìåíèòåëüíî ê îïòèêå ïåðåïèøåì (4.16) â âèäå¥I = áE 2 ñ = ò S (w)d w.(4.18)0 óçêîì ñïåêòðàëüíîì äèàïàçîíå dw âîëíà èìååò èíòåíñèâíîñòüdI = S (w)d w,(4.19)ïîýòîìó S(w) è íàçûâàåòñÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ èíòåíñèâíîñòè.Îáñóäèì âîïðîñ î âûáîðå âðåìåíè íàáëþäåíèÿ.
Äëÿ òîãî ÷òîáû âû÷èñëèòüñ õîðîøåé òî÷íîñòüþ á f 2 ñ, íåîáõîäèìî ïðîâîäèòü èçìåðåíèÿ òàê äîëãî, ÷òîáûíàáðàòü ñòàòèñòèêó ñëó÷àéíûõ èçìåíåíèé îãèáàþùåé è ôàçû. Êàê óæå îòìå÷àëîñü, A è j õàîòè÷åñêè ìåíÿþòñÿ íà ìàñøòàáå âðåìåíè t.  òå÷åíèå âðåìåíè tí÷èñëî òàêèõ ñëó÷àéíûõ çíà÷åíèé áóäåò ïîðÿäêà tí/t. Åñëè tí ~ (103 104)t, òîòàêîãî âðåìåíè âïîëíå äîñòàòî÷íî äëÿ íàõîæäåíèÿ ñðåäíèõ çíà÷åíèé.Îáðàùàåò íà ñåáÿ âíèìàíèå òîò ôàêò, ÷òî ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà (4.16)ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ïðè tí ® ∞ ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü | µf 0 t | 2 % tí, ïðè ýòîì ååôëóêòóàöèè ìîíîòîííî óìåíüøàþòñÿ.41Ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü, åå êîíòóð è øèðèíà. Ïóñòü èìååòñÿ èçëó÷åíèå ââèäå ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îäèíàêîâûõ öóãîâ f (t - tl), ãäå tl ñëó÷àéíîå âðåìÿ ïîÿâëåíèÿ öóãà.
Ðàññ÷èòàåì ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü ñëó÷àéíîãîñèãíàëàF (t ) =Nål =1f (t - t l ),ãäå ÷èñëî N ÷ëåíîâ ñóììû çàâèñèò îò âðåìåíè íàáëþäåíèÿ. Ñîãëàñíî (4.5)ñïåêòðàëüíàÿ àìïëèòóäàFµ0 (w) =¥N¥ò F (t )e -i wt dt = åòl =1-¥f (t - t l )e -i wt dt =-¥Nål =1µf 0 (w)e -i wtl .(4.20)ÒîãäàN| Fµ0 (w)| 2 = Fµ0 (w) Fµ0*(w) = | µf 0 (w )| 2 åNå e i w (t - tll =1 m =1m).(4.21)Åñëè äëèòåëüíîñòü öóãà ðàâíà t, òî èõ ÷èñëî çà âðåìÿ íàáëþäåíèÿ tíâ ñðåäíåì ðàâíî N = tí/t. Åñëè N âåëèêî, òî äâîéíàÿ ñóììà áóäåò ðàâíà ñóììå÷ëåíîâ ïðè l = m. Îñòàëüíûå ñëàãàåìûå ñêîìïåíñèðóþò äðóã äðóãà.
Ïîýòîìó ïðèN ® ∞ ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü| Fµ0 (w)| 2 = | µf 0 (w)| 2 N = | µf 0 (w)| 2tí.t(4.22)Òîãäà ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü èíòåíñèâíîñòè ñèãíàëà F (t) áóäåò ðàâíàS (w) =| Fµ0 (w)| 2 | µf 0 (w)| 2=.pt ípt(4.23)Îíà ñîâïàäàåò ñî ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ èíòåíñèâíîñòè äëÿ îäíîãîöóãà.Åñëè îáðàòèòüñÿ ê ïðèìåðó 2 è âûðàæåíèÿì (4.10) è (4.11), òî ìîæíî ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü èçëó÷åíèÿ íåâçàèìîäåéñòâóþùèõàòîìîâ îïèñûâàåòñÿ ëîðåíöåâîé ôóíêöèåé, à ñïåêòðàëüíàÿ ëèíèÿ èõ èçëó÷åíèÿèìååò ëîðåíöåâûé êîíòóð, øèðèíà êîòîðîãî îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà âðåìåíèðàäèàöèîííîãî çàòóõàíèÿ: Dw = 2/t.Åñëè t ~ 10-8 c, òî Dw = 2 × 108 c-1, Dn = Dw/2p ~ 3 × 107 Ãö. Øèðèíà ëèíèè,ñâÿçàííàÿ ñ ðàäèàöèîííûì çàòóõàíèåì, íàçûâàåòñÿ åñòåñòâåííîé øèðèíîé.Äî ïîÿâëåíèÿ ëàçåðîâ áûëî ïðèíöèïèàëüíî íåâîçìîæíî ïîëó÷èòü áîëåå óçêóþëèíèþ (øèðèíîé, ìåíüøå åñòåñòâåííîé).Óäàðíîå óøèðåíèå ñïåêòðàëüíîé ëèíèè.
Ñàìîé óçêîé ñïåêòðàëüíîé ëèíèåéîáëàäàåò ïó÷îê ëåòÿùèõ è ñëàáîâçàèìîäåéñòâóþùèõ âîçáóæäåííûõ àòîìîâ. Ñ òàêèìè ïó÷êàìè â êîíöå XIX íà÷àëå XX â. áûëè ïðîâåäåíû ïðåöèçèîííûåýêñïåðèìåíòû äëÿ ñîçäàíèÿ ýòàëîíà âðåìåíè, äëèíû è äðóãèõ öåëåé.Åñëè æå àòîìû íàõîäÿòñÿ â çàìêíóòîì îáúåìå, òî îíè ñòàëêèâàþòñÿ ñ íåéòðàëüíûìè àòîìàìè, èîíàìè è ýëåêòðîíàìè, ñî ñòåíêàìè ñîñóäà, à â òâåðäîìòåëå ñ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêîé. Ïðè òàêèõ ñòîëêíîâåíèÿõ â ñàìîì öóãåïî÷òè ñêà÷êîîáðàçíî èçìåíÿåòñÿ ôàçà èñïóñêàåìîãî èçëó÷åíèÿ.
Èíûìè ñëîâàìè, êàæäûé öóã ïðèîáðåòàåò ñëó÷àéíóþ ôàçîâóþ ìîäóëÿöèþ.42 êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ñòîëêíîâåíèå àòîìîâïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ âðåìåíè æèçíè âîçáóæäåííîãî ñîñòîÿíèÿ. Óìåíüøåíèåâðåìåíè æèçíè âëå÷åò óâåëè÷åíèå øèðèíû ñïåêòðàëüíîé ëèíèè èçëó÷åíèÿêàê îòäåëüíîãî àòîìà, òàê è âñåãî àíñàìáëÿ.Òàêîå óøèðåíèå íàçûâàåòñÿ ñòîëêíîâèòåëüíûì, èëè óäàðíûì. Îíî îòíîñèòñÿ ê îäíîðîäíîìó óøèðåíèþ, ïîñêîëüêó â îäèíàêîâîé ñòåïåíè óøèðÿþòñÿêîíòóðû ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé èçëó÷åíèÿ êàæäîãî àòîìà.Îïðåäåëèì øèðèíó è ôîðìó ñïåêòðàëüíîé ëèíèè èçëó÷åíèÿ àíñàìáëÿ ïðèó÷åòå ñòîëêíîâåíèé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
