А.Г. Дьячков - Вероятность, основные определения и примеры, страница 7

ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅÄÉÓÐÅÒÓÉÑ ÓÕÍÍÙ Ä×ÕÈ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ Ó×ÑÚÁÎÁ Ó ÄÉÓÐÅÒÓÉÑÍÉ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊÆÏÒÍÕÌÏÊD( + ) = D + D + 2cov(; ):(3)ðÏÓËÏÌØËÕcov(; ) = M[( − M )( − M)] = M[( − a)( − b)] = M[ − b − a + ab];ÔÏ ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÔÅÏÒÅÍÙ 1-3, ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÆÏÒÍÕÌÕcov(; ) = M( · ) − bM − aM + ab == M( · ) − 2ab + ab = M( · ) − ab = M( · ) − M · M;ÉÚ ËÏÔÏÒÏÊ, × ÓÉÌÕ ÔÅÏÒÅÍÙ 4 ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÐÁÒÙ (; ) ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎcov(; ) = 0. ðÏÜÔÏÍÕ ÉÚ ÆÏÒÍÕÌÙ (3) ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏÅÓÌÉ ÓÌÕÞÁÊÎÙÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ É ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ, ÔÏ D( + ) = D + D:32(4)á.ç. äØÑÞËÏ×: ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÒÙüÔÏÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÐÏ ÉÎÄÕËÃÉÉ ÒÁÓÐÒÏÓÔÒÁÎÑÅÔÓÑ ÎÁ ÓÕÍÍÕ ÌÀÂÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈÓÌÁÇÁÅÍÙÈ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÄÌÑ ÓÌÕÞÁÑ ÔÒÅÈ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ, ÐÒÉÍÅÎÉ× Ä×Á ÒÁÚÁ Ó×ÏÊÓÔ×Ï (4), ÐÏÌÕÞÉÍD(1 + 2 + 3 ) = D[(1 + 2 ) + 3 ] = D[(1 + 2 )] + D3 = D1 + D2 + D3 :ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×ÁôÅÏÒÅÍÁ 5.

äÉÓÐÅÒÓÉÑ ÓÕÍÍÙ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ ÒÁ×ÎÁ ÓÕÍÍÅ ÄÉÓÐÅÒÓÉÊÓÌÁÇÁÅÍÙÈ, ÉÎÁÞÅD(1 + 2 + · · · + n ) = D1 + D2 + · · · + Dn :úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ôÅÏÒÅÍÁ 5 ÏÐÉÓÙ×ÁÅÔ ÏÞÅÎØ ÐÏÌÅÚÎÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÄÉÓÐÅÒÓÉÉ, ËÏÔÏÒÏÅ ×Ï ÍÎÏÇÏÍ ÏÂßÑÓÎÑÅÔ ×ÙÂÏÒ ÐÏÓÌÅÄÎÅÊ, Ô.Å. ÞÉÓÌÁ D = M( − M )2 , × ËÁÞÅÓÔ×Å ÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÍÅÒÙÏÔËÌÏÎÅÎÉÑ ÏÔ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÖÉÄÁÎÉÑ. íÏÖÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÄÒÕÇÉÈ ÓÔÏÌØ ÖÅÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÍÅÒ ÏÔËÌÏÎÅÎÉÑ, ÎÁÐÒÉÍÅÒM| − M |;M| − M |3 ;M( − M )4 ;Ó×ÏÊÓÔ×Ï, ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÔËÌÏÎÅÎÉÅ ÓÕÍÍÙ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ ÒÁ×ÎÏÓÕÍÍÅ ÏÔÄÅÌØÎÙÈ ÏÔËÌÏÎÅÎÉÊ, ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÁ.ðÒÉÍÅÒ. (íÏÄÅÌØ (n; p) ÉÓÐÙÔÁÎÉÊ âÅÒÎÕÌÌÉ). ÷×ÅÄ£ÎÎÏÅ × ÐÒÉÍÅÒÁÈ ÉÚ § 9:1 ÞÉÓÌÏÕÓÐÅÈÏ× Sn × n ÉÓÐÙÔÁÎÉÑÈ âÅÒÎÕÌÌÉ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ n ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÏÄÉÎÁËÏ×Ï ÒÁÓÐÒÅÄÅÌ£ÎÎÙÈ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ 1 ; 2 ; : : : ; n ÇÄÅ i , i = 1; 2; : : : ; n, ÐÒÉÎÉÍÁÅÔÚÎÁÞÅÎÉÑ 1 ÉÌÉ 0, ÒÅÇÉÓÔÒÉÒÕÑ "ÕÓÐÅÈ" ÉÌÉ "ÎÅÕÄÁÞÕ" × i-ÏÍ ÉÓÐÙÔÁÎÉÉ.

óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,Sn = 1 + 2 + · · · + n ; ÇÄÅ Pr{i = 1} = p; Pr{i = 0} = 1 − p:÷ § 10:1 ÂÙÌÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÙ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÖÉÄÁÎÉÅ Mi = p É ÄÉÓÐÅÒÓÉÑ Di = p(1 − p).ðÏÜÔÏÍÕ, × ÓÉÌÕ ÔÅÏÒÅÍ 3 É 5, ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÖÉÄÁÎÉÅ ÞÉÓÌÁ ÕÓÐÅÈÏ× × n ÉÓÐÙÔÁÎÉÑÈâÅÒÎÕÌÌÉ M Sn = np, Á ÄÉÓÐÅÒÓÉÑ ÞÉÓÌÁ ÕÓÐÅÈÏ× D Sn = np(1 − p).§ 12.2.÷ÙÂÏÒËÁ, ×ÙÂÏÒÏÞÎÙÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ, ÚÁËÏÎ ÂÏÌØÛÉÈ ÞÉÓÅÌ÷ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÓÔÁÔÉÓÔÉËÅ ×ÙÂÏÒËÏÊ ÏÂߣÍÁ n Ó ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÍÉ (ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ) ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÁÍÉ: ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÏÖÉÄÁÎÉÅÍ (ÓÒÅÄÎÉÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ) a, ÄÉÓÐÅÒÓÉÅÊ 2 ÉÆÕÎËÃÉÅÊ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ F (t), −∞ < t < ∞, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔØ ÉÚ n ÎÁÂÌÀÄÅÎÉÊ(x1 ; x2 ; : : : ; xn ) (ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ Ä×ÕÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ.1) îÁÂÌÀÄÅÎÉÑ (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ.2) îÁÂÌÀÄÅÎÉÑ (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) ÏÄÎÏÒÏÄÎÙ, Ô.Å.

ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉa = Mxi ; 2 = Dxi = M(xi − a)2 ; F (t) = Pr{xi < t};√i = 1; 2; : : : ; n;ÇÄÅ ÐÁÒÁÍÅÔÒ = Dxi ÎÁÚÙ×ÁÔÓÑ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÍ (ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ) ÓÒÅÄÎÅË×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÍ ÏÔËÌÏÎÅÎÉÅÍ ×ÙÂÏÒËÉ.33á.ç. äØÑÞËÏ×: ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÒÙ1. äÌÑ ÓÒÅÄÎÅÇÏ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÁÂÌÀÄÅÎÉÊ (x1 ; x2 ; : : : ; xn ), ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÇÏ×ÙÂÏÒÏÞÎÙÍ (ÉÌÉ ÜÍÐÉÒÉÞÅÓËÉÍ) ÓÒÅÄÎÉÍ, ××ÅÄ£Í ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅnPxix1 + x2 + · · · + xndefi=1x ==:nnïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ×ÙÂÏÒÏÞÎÏÅ ÓÒÅÄÎÅÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÏÊ, ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÊ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÜËÓÐÅÒÉÍÅÎÔÁÔÏÒÏÍ ÐÏÓÌÅ ÐÒÏ×ÅÄÅÎÉÑ n ÏÐÙÔÏ×.ó ÐÏÍÏÝØÀ ÔÅÏÒÅÍ 2, 3 É 5 ÎÁÈÏÄÉÍnnX1 Xn22 √Mxi = na= a; Dx = 2Dxi = 2 = ;Dx = √ : (5)Mx = n1nn i=1nnni=1äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÖÉÄÁÎÉÅ Mx ×ÙÂÏÒÏÞÎÏÇÏ ÓÒÅÄÎÅÇÏ √ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÍ ÓÒÅÄÎÉÍ×ÙÂÏÒËÉa=Mx,ÁÓÒÅÄÎÅË×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÅÏÔËÌÏÎÅÎÉÅDx ×ÙÂÏÒÏÞÎÏÇÏi√√ÓÒÅÄÎÅÇÏ × n ÒÁÚ ÍÅÎØÛÅ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÏÇÏ = Dxi .ðÒÉ n → ∞ ÉÍÅÅÍ2limDx=lim= 0:(6)n→∞n→∞ nóÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 1, Dx = 0 ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ x = Mx = a.

ðÏÜÔÏÍÕ, ÏÐÉÒÁÑÓØÎÁ (6), ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ Ó×ÑÚØ ×ÙÞÉÓÌÑÅÍÏÇÏ ÜËÓÐÅÒÉÍÅÎÔÁÔÏÒÏÍ ×ÙÂÏÒÏÞÎÏÇÏÓÒÅÄÎÅÇÏ x É ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÇÏ ÜËÓÐÅÒÉÍÅÎÔÁÔÏÒÕ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÓÒÅÄÎÅÇÏ a × ×ÉÄÅ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊÔÅÏÒÅÍÙ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÊ × ÔÅÏÒÉÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÚÁËÏÎÏÍ ÂÏÌØÛÉÈ ÞÉÓÅÌ.ôÅÏÒÅÍÁ 6. (úÁËÏÎ ÂÏÌØÛÉÈ ÞÉÓÅÌ). åÓÌÉ ÓÌÕÞÁÊÎÙÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ x1 ; x2 ; : : : ; xn ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ, ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÅ ÓÒÅÄÎÉÅ Mxi = a É ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÅÄÉÓÐÅÒÓÉÉ Dxi = 2 , ÔÏ ÐÒÉ n → ∞ ÉÈ ÓÒÅÄÎÅÅ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ x ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ ËÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÏÍÕ ÓÒÅÄÎÅÍÕ a, ÉÎÁÞÅnPlim x = nlim→∞n→∞i=1nxi= a ÉÌÉ x ≈ a ÐÒÉ ÂÏÌØÛÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ n:(7)úÁËÏÎ ÂÏÌØÛÉÈ ÞÉÓÅÌ (6)-(7) ÏÔÒÁÖÁÅÔ ÄÁ×ÎÏ ÏÔÍÅÞÅÎÎÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÒÅÁÌØÎÙÈ ÏÐÙÔÏ×,ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ × ÔÏÍ, ÞÔÏ × ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÏÔÄÅÌØÎÙÈ ÉÚÍÅÒÅÎÉÊ x1 ; x2 ; : : : ; xnÍÏÇÕÔ ËÏÌÅÂÁÔØÓÑ ÓÉÌØÎÏ, ÉÈ ÓÒÅÄÎÉÅ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÅ x ÏÂÎÁÒÕÖÉ×ÁÀÔ ÇÏÒÁÚÄÏ ÂÏÌØÛÕÀÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔØ, Ô.Å.

ÍÁÌÏ ÍÅÎÑÀÔÓÑ × ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÅÒÉÑÈ ÏÐÙÔÏ×.ðÒÉÍÅÒ. (íÏÄÅÌØ (n; p) ÉÓÐÙÔÁÎÉÊ âÅÒÎÕÌÌÉ). ðÕÓÔØ ÐÒÉ i = 1; 2; : : : ; n ÉÚÍÅÒÅÎÉÅ xi =0; 1 ÒÅÇÉÓÔÒÉÒÕÅÔ "ÕÓÐÅÈ ∼ 1" ÉÌÉ "ÎÅÕÄÁÞÕ ∼ 0" × i-ÏÍ ÉÓÐÙÔÁÎÉÉ âÅÒÎÕÌÌÉ. ôÏÇÄÁ ÞÉÓÌÏnPÕÓÐÅÈÏ× Sn = xi , ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÏÅ ÓÒÅÄÎÅÅ a = M xi = p ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ ÕÓÐÅÈÁ ×i=1ÏÄÎÏÍ ÉÓÐÙÔÁÎÉÉ, Á ×ÙÂÏÒÏÞÎÏÅ ÓÒÅÄÎÅÅ x = Sn =n ÅÓÔØ ÄÏÌÑ ÞÉÓÌÁ ÕÓÐÅÈÏ× × n ÉÓÐÙÔÁÎÉÑÈ.ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÌÑ ÍÏÄÅÌÉ (n; p) ÉÓÐÙÔÁÎÉÊ âÅÒÎÕÌÌÉ ÚÁËÏÎ ÂÏÌØÛÉÈ ÞÉÓÅÌ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏÐÒÉ n → ∞ ×ÙÞÉÓÌÑÅÍÁÑ ÜËÓÐÅÒÉÍÅÎÔÁÔÏÒÏÍ ÄÏÌÑ ÞÉÓÌÁ ÕÓÐÅÈÏ× × n ÉÓÐÙÔÁÎÉÑÈ ÓÔÒÅÍÉÔÓÑË ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÏÊ (ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ) ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÕÓÐÅÈÁ p × ÏÄÎÏÍ ÉÓÐÙÔÁÎÉÉ:Slim n = nlimn→∞ n→∞34nPi=1nxi= p:á.ç. äØÑÞËÏ×: ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÒÙðÒÉÂÌÉÖÅÎÎÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (7) ÍÏÖÎÏ ÕÔÏÞÎÉÔØ ÄÌÑ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÓÌÕÞÁÑ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ×ÙÂÏÒËÉ,× ËÏÔÏÒÏÊ ÐÒÅÄÐÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÎÁÂÌÀÄÅÎÉÑ x1 ; x2 ; : : : ; xn ÉÍÅÀÔ ×ÉÄxi ∼ N (a; ) ÉÌÉ xi = a + · i ; ÇÄÅ i ∼ N (0; 1); i = 1; 2; : : : ; n:÷ ÓÉÌÕ Ó×ÏÊÓÔ×Á 5 ÉÚ § 11:3:, ÓÒÅÄÎÅÅ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÅ x ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ xi , ÉÍÅÀÝÉÈÎÏÒÍÁÌØÎÏÅ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ N (a; ), ÔÁËÖÅ ÉÍÅÅÔ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÅ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ, Ô.Å.√√x − a (x − a) n√ =x ∼ Mx + Dx · N (0; 1) = a + √ · N (0; 1) ÉÌÉ∼ N (0; 1):n= n(8)ðÕÓÔØ , 1=2 < < 1, { ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÅ ÕÒÏ×ÎÅÍ ÚÎÁÞÉÍÏÓÔÉ.

÷×ÅÄ£ÍÞÉÓÌÏ x0 > 0, ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍÏÅ ËÁË ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑPr©−x0< N (0; 1) <ªx00Zx=1 −t2 =2edt = 1 − 2√−x0É ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÅ Ä×ÕÓÔÏÒÏÎÎÉÍ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÇÏ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ N (0; 1) ÄÌÑ ÕÒÏ×ÎÑ ÚÎÁÞÉÍÏÓÔÉ . ÷ ÓÉÌÕ (8) ÍÏÖÅÍ ÎÁÐÉÓÁÔØ, ÞÔÏ(√)½¾(x − a) nx0 · x0 · Pr −x << x0 = 1 − ÉÌÉ Pr x − √< a < x + √= 1 − : (9)nn0ðÒÅÄÐÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÓÒÅÄÎÅË×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÅ ÏÔËÌÏÎÅÎÉÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ÜËÓÐÅÒÉÍÅÎÔÁÔÏÒÕ. ôÏÇÄÁ(9) ÐÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ×ÙÞÉÓÌÑÅÍÙÊ ÎÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÓÒÅÄÎÅÇÏ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÁÂÌÀÄÅÎÉÊ x1 ; x2 ; : : : ; xn ÉÎÔÅÒ×Á̳x · x · ; a+ def= x + √; x =a− ; a+ ; ÇÄÅ a− def= x − √nn´00nPi=1xin;ÎÁËÒÙ×ÁÅÔ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÖÉÄÁÎÉÅ a Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ 1 − . ôÁËÏÊ ÉÎÔÅÒ×ÁÌ× ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÓÔÁÔÉÓÔÉËÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÏ×ÅÒÉÔÅÌØÎÙÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏÍ ÉÌÉ ÉÎÔÅÒ×ÁÌØÎÏÊÏÃÅÎËÏÊ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁ a Ó ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏÍ ÄÏ×ÅÒÉÑ (ÎÁÄ£ÖÎÏÓÔØÀ), ÒÁ×ÎÙÍ 1 − .

ïÔÍÅÔÉÍ,ÞÔÏ ÐÒÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÅ ÄÏ×ÅÒÉÑ 1 − ÄÌÉÎÁ ÄÏ×ÅÒÉÔÅÌØÎÏÇÏÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ Ó√ÒÏÓÔÏÍ ÏÂߣÍÁ ÎÁÂÌÀÄÅÎÉÊ n ÕÍÅÎØÛÁÅÔÓÑ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÏ 1= n.2. îÁÒÑÄÕ ÓÏ ÓÒÅÄÎÉÍ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ x, ÄÌÑ ×ÙÂÏÒËÉ (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) ×ÙÞÉ-ÓÌÑÀÔ ×ÙÂÏÒÏÞÎÕÀ (ÜÍÐÉÒÉÞÅÓËÕÀ) ÆÕÎËÃÉÀ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ:ÞÉÓÌÏ ÎÁÂÌÀÄÅÎÉÊ xi ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ xi < t;nÉ ×ÙÂÏÒÏÞÎÕÀ (ÜÍÐÉÒÉÞÅÓËÕÀ) ÄÉÓÐÅÒÓÉÀ:Fn (t) def=s2 def=(x1 − x)2 + (x2 − x)2 + · · · + (xn − x)21=n−1n−135−∞ < t < ∞;nXi=1(xi − x)2 :á.ç.

äØÑÞËÏ×: ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÒÙüÔÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÂÏÊ ×ÙÂÏÒÏÞÎÙÅ ÁÎÁÌÏÇÉ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÏÊ ÆÕÎËÃÉÉÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ F (t) = Pr{xi < t}, 0 ≤ F (t) ≤ 1, É ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÏÊ ÄÉÓÐÅÒÓÉÉ 2 = Dxi .ëÁË ÆÕÎËÃÉÑ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ t, −∞ < t < ∞, Fn (t) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÔÕÐÅÎÞÁÔÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ, ÍÅÎÑÀÝÅÊÓ×ÏÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ × ÔÏÞËÁÈ x1 ; x2 ; : : : ; xn .úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ t, −∞ < t < ∞, É ××ÅÄ£Í ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÅ ÏÄÉÎÁËÏ×Ï ÒÁÓÐÒÅÄÅÌ£ÎÎÙÅ ÓÌÕÞÁÊÎÙÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ½1; ÅÓÌÉ x < t,i def= 0; ÅÓÌÉ xi ≥ t, i = 1; 2; : : : ; n;iÓÒÅÄÎÅÅ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁ×ÎÏ Fn (t), Ô.Å.Fn (t) =n1 + 2 + · · · + n 1 X=:nn i=1 i(10)ðÏÓËÏÌØËÕPr{xi < t} = F (t);Pr{xi ≥ t} = 1 − F (t);ÔÏ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ qt (x), −∞ < x < ∞, ÚÁÄÁÀÝÁÑ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ i ,É Å£ ÞÉÓÌÏ×ÙÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ: 1 − F (t); ÅÓÌÉ x = 0,defqt (x) = Pr{i = x} =  F (t);ÅÓÌÉ x = 1,0;ÄÌÑ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ x,Mi =Mi2 =XxXxx qt (x) = 0 · (1 − F (t)) + 1 · F (t) = F (t);x2 qt (x) = 02 · (1 − F (t)) + 12 · F (t) = F (t);Di = Mi2 − (Mi )2 = F (t) − F (t)2 = F (t)(1 − F (t)):ôÅÐÅÒØ, ÕÞÉÔÙ×ÁÑ (10) É ÚÁËÏÎ ÂÏÌØÛÉÈ ÞÉÓÅÌ ÔÅÏÒÅÍÙ 6, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÐÉÓÁÔØ Ó×ÑÚØ ÍÅÖÄÕ×ÙÞÉÓÌÑÅÍÏÊ ÜËÓÐÅÒÉÍÅÎÔÁÔÏÒÏÍ ×ÙÂÏÒÏÞÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ Fn (t) É ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÊÜËÓÐÅÒÉÍÅÎÔÁÔÏÒÕ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ F (t):ÅÓÌÉ n → ∞; ÔÏlim Fn (t) = F (t) ÉÌÉ Fn (t)n→∞≈F (t) ÐÒÉ ÂÏÌØÛÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ n:íÏÖÎÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÖÉÄÁÎÉÅ Ms2 = 2 , Á ÄÉÓÐÅÒÓÉÑ Ds2 → 0,ÅÓÌÉ n → ∞.

óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Ó×ÑÚØ ÍÅÖÄÕ ×ÙÂÏÒÏÞÎÏÊ ÄÉÓÐÅÒÓÉÅÊ s2 É ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÏÊÄÉÓÐÅÒÓÉÅÊ 2 ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:lim s2 = nlimn→∞→∞ÉÌÉ s2≈1n−12 ÐÒÉ ÂÏÌØÛÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ n.36nXi=1(xi − x)2 = 2á.ç. äØÑÞËÏ×: ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÒÙ§ 12.3.ëÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ ËÏÒÒÅÌÑÃÉÉ É ÅÇÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÁðÕÓÔØ (; ) { ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÐÁÒÁ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ Ó ÓÏ×ÍÅÓÔÎÙÍ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ q(x; y)(ÄÉÓËÒÅÔÎÁÑ ÍÏÄÅÌØ) ÉÌÉ ÐÌÏÔÎÏÓÔØÀ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏÇÏ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ p(x; y) (ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÍÏÄÅÌØ). óÉÍ×ÏÌÁÍÉppa = M; = D;a = M; = DÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÏÐÒÅÄÅÌ£ÎÎÙÅ × § 9 É ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÅ × § 11.1 ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÏÖÉÄÁÎÉÑ ÉÓÒÅÄÎÅË×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÅ ÏÔËÌÏÎÅÎÉÑ, ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÀÝÉÅ ÏÔÄÅÌØÎÙÅ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ×ÅÌÉÞÉÎ É .