А.Г. Дьячков - Вероятность, основные определения и примеры

á.ç. äØÑÞËÏ×: ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÒÙ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÒÙ§ 1.ðÒÅÄÍÅÔ ÔÅÏÒÉÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊôÅÏÒÉÅÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁÚÄÅÌ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÉÚÕÞÁÀÝÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÍÏÄÅÌÉ ÜËÓÐÅÒÉÍÅÎÔÏ×, ÉÓÈÏÄ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅ ×ÐÏÌÎÅ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÑÍÉ ÏÐÙÔÏ×.ôÁËÉÅ ÜËÓÐÅÒÉÍÅÎÔÙ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍÉ ÏÐÙÔÁÍÉ.äÌÑ ÂÏÌÅÅ ÔÏÞÎÏÇÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁÄÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÔÅÏÒÉÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÉÍÅÅÔ ÄÅÌÏ ÌÉÛØÓÏ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍÉ ÏÐÙÔÁÍÉ, ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÏÊ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔÉ ÉÌÉÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔÉ ÞÁÓÔÏÔ. üÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÏÐÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÕÞÁÊÎÙÊ ÜËÓÐÅÒÉÍÅÎÔ É ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÉÄÅÎÔÉÞÎÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÐÒÏ×ÅÄÅÎÉÑ ÜÔÏÇÏ ÏÐÙÔÁ ÉÅÇÏ ÐÏ×ÔÏÒÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÔØ ÌÀÂÏÅ ÖÅÌÁÅÍÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚ.

ôÁËÏÅ ÐÏ×ÔÏÒÅÎÉÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÓÅÂÅ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÒÅÁÌØÎÏ ÆÉÚÉÞÅÓËÉ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÉÍÙÍ, Á ÈÏÔÑ ÂÙ ÍÙÓÌÉÍÙÍ.ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ A ÏÄÉÎ ÉÚ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÉÓÈÏÄÏ× ÜÔÏÇÏ ÜËÓÐÅÒÉÍÅÎÔÁ. ðÏ×ÔÏÒÉÍ ÄÁÎÎÙÊÏÐÙÔ n ÒÁÚ É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ n(A), 0 ≤ n(A) ≤ n, ÞÉÓÌÏ ÎÁÓÔÕÐÌÅÎÉÊ ÉÓÈÏÄÁ A ÐÒÉ ÜÔÉÈ nÐÏ×ÔÏÒÅÎÉÑÈ. OÔÎÏÛÅÎÉÅn(A)n(A);0≤≤ 1;nnÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÁÓÔÏÔÏÊ ÐÏÑ×ÌÅÎÉÑ ÓÏÂÙÔÉÑ (ÉÓÈÏÄÁ) A, Á Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔÉ ÞÁÓÔÏÔ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÂÏÌØÛÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ n ÞÁÓÔÏÔÁ ÐÏÑ×ÌÅÎÉÑ ÓÏÂÙÔÉÑ A ÐÒÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÉ n ÍÁÌÏ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÐÏÓÔÏÑÎÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÏÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ ÓÏÂÙÔÉÑ A É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑn(A)Pr{A} ≈;0 ≤ Pr{A} ≤ 1:näÁÎÎÏÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÁÓÔÏÔÎÙÍ ÉÌÉ ÉÎÔÕÉÔÉ×ÎÙÍ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ.îÁÐÒÉÍÅÒ, ÍÎÏÇÏËÒÁÔÎÏÅ ÂÒÏÓÁÎÉÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÍÏÎÅÔÙ Ó Ä×ÕÍÑ ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ ÉÓÈÏÄÁÍÉ ÇÅÒ - ÒÅÛÅÔËÁ ÐÒÉ ËÁÖÄÏÍ ÂÒÏÓÁÎÉÉ, ÄÁÅÔ ÞÁÓÔÏÔÙ ×ÙÐÁÄÅÎÉÊ ÇÅÒÂÁ, ÂÌÉÚËÉÅ Ë 1=2.÷ ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÄÌÑ ÓÏÂÙÔÉÑ A, ÏÚÎÁÞÁÀÝÅÇÏ ÐÏÑ×ÌÅÎÉÅ ÇÅÒÂÁ × ÏÄÎÏÍ ÉÓÐÙÔÁÎÉÉ, ÎÅÔÓÏÍÎÅÎÉÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÅÇÏ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ Pr{A} = 1=2.§ 2.íÏÄÅÌØ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ÏÐÙÔÁ Ó ËÏÎÅÞÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÉÓÈÏÄÏ×òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÐÙÔ, N ÉÓÈÏÄÏ× ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÓÉÍ×ÏÌÁÍÉ !1 ; !2 ; : : : ; !N .

üÔÉ ÓÉÍ×ÏÌÙÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÞÉÓÌÁÍÉ É ÉÈ ÆÉÚÉÞÅÓËÁÑ ÐÒÉÒÏÄÁ ÄÌÑ ÎÁÓ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ.ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. ÷ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ N ÉÓÈÏÄÏ× ÏÐÙÔÁ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍÉ ÓÏÂÙÔÉÑÍÉ, Á ÉÈ ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔØ = {!1 ; !2 ; : : : ; !N } = {!}ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ.ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2. ëÁÖÄÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÍÕ ÓÏÂÙÔÉÀ ! ÓÔÁ×ÉÔÓÑ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÞÉÓÌÏ Pr{!}, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ !. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÞÉÓÌÁ Pr{!i }, i = 1; 2; : : : ; N ,ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ0 ≤ Pr{!i } ≤ 1;NXi=1Pr{!i } =1X!Pr{!} = 1:á.ç.

äØÑÞËÏ×: ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÒÙïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 3. ìÀÂÏÅ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ , Ô.Å.A ⊆ , ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÂÙÔÉÅÍ. óÏÂÙÔÉÅ A = ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÏÓÔÏ×ÅÒÎÙÍ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ,××ÅÄÅÍ É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ ÐÕÓÔÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ∅ ÓÏÂÙÔÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÍ ÓÏÂÙÔÉÅÍ.ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 4. ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ Pr{A} ÓÏÂÙÔÉÑ A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÕÍÍÁ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ, ×ÈÏÄÑÝÉÈ × A, ÉÎÁÞÅXPr{A} def=Pr{!}:!∈AäÌÑ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏÇÏ ÓÏÂÙÔÉÑ ∅ ÐÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÐÏÌÁÇÁÅÍ Pr{∅} def= 0.úÄÅÓØ É ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÓÉÍ×ÏÌ def= ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÐÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ.

ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÓÏÂÙÔÉÑ A ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ 0 ≤ Pr{A} ≤ 1, Á ÄÌÑ ÄÏÓÔÏ×ÅÒÎÏÇÏ ÓÏÂÙÔÉÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ Pr{} = 1.ðÒÉÍÅÒ. ðÕÓÔØ ÏÐÙÔ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÐÒÏ×ÅÄÅÎÉÉ ÔÒÅÈ ÉÓÐÙÔÁÎÉÊ, × ËÁÖÄÏÍ ÉÈ ËÏÔÏÒÙÈÒÅÇÉÓÔÒÉÒÕÅÔÓÑ ÏÄÉÎ ÉÚ Ä×ÕÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÉÓÈÏÄÏ×: ÕÓÐÅÈ, ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍÙÊ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ 1, ÉÌÉÎÅÕÄÁÞÁ, ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍÁÑ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ 0. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÕÀ ÍÏÄÅÌØ ÜÔÏÇÏ ÏÐÙÔÁ ÍÏÖÎÏ ÏÐÉÓÁÔØÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ.• ïÂÝÅÅ ÞÉÓÌÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ N = 23 = 8.

ëÁÖÄÏÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÅ ÓÏÂÙÔÉÅ !ÅÓÔØ Ä×ÏÉÞÎÁÑ (ÉÚ 1 É 0) ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ! = (x1 ; x2 ; x3 ), ÇÄÅ xi = 1; 0 ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÉÓÈÏÄ (ÕÓÐÅÈ ÉÌÉ ÎÅÕÄÁÞÕ) × i-ÏÍ, i = 1; 2; 3, ÉÓÐÙÔÁÎÉÉ. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈÓÏÂÙÔÉÊ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ = {(0; 0; 0); (0; 0; 1); (0; 1; 0); (0; 1; 1); (1; 0; 0); (1; 0; 1); (1; 1; 0); (1; 1; 1)};Ô.Å. !1 = (0; 0; 0); !2 = (0; 0; 1); : : : ; !8 = (1; 1; 1).•÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÐÒÉÍÅÒÁ ÓÏÂÙÔÉÑ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÏÂÙÔÉÅ A, ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ × ÔÏÍ, ÞÔÏ × ÔÒÅÈ ÉÓÐÙÔÁÎÉÑÈ ÐÒÏÉÚÏÊÄÅÔ ÐÏ ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×Á ÕÓÐÅÈÁ. üÔÏ ÓÏÂÙÔÉÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔØ ÉÚ 4-È ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ:A = {(0; 1; 1); (1; 0; 1); (1; 1; 0); (1; 1; 1)}:åÓÌÉ ×ÓÅÍ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍ ÓÏÂÙÔÉÑÍ ÐÏÓÔÁ×ÌÅÎÙ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉPr{(0; 0; 0)} = Pr{(0; 0; 1)} = Pr{(0; 1; 0)} = Pr{(0; 1; 1)} =1= Pr{(1; 0; 0)} = Pr{(1; 0; 1)} = Pr{(1; 1; 0)} = Pr{(1; 1; 1)} = ;8ÔÏ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ 4 ÄÌÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ××ÅÄÅÎÎÏÇÏ ÓÏÂÙÔÉÑ A ÉÍÅÅÍ1 1 1 1 4 1Pr{A} = Pr{(0; 1; 1)} +Pr{(1; 0; 1)} +Pr{(1; 1; 0)} +Pr{(1; 1; 1)} = + + + = = :8 8 8 8 8 2÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÁÑ ÍÏÄÅÌØ ÜÔÏÇÏ ÐÒÉÍÅÒÁ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÂÏÂÝÁÅÔÓÑ ÎÁ ÓÌÕÞÁÊ n ÉÓÐÙÔÁÎÉÊ, × ËÁÖÄÏÍ ÉÈ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÅÇÉÓÔÒÉÒÕÅÔÓÑ ÏÄÉÎ ÉÚ Ä×ÕÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÉÓÈÏÄÏ×: ÕÓÐÅÈ,ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍÙÊ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ 1, ÉÌÉ ÎÅÕÄÁÞÁ, ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍÁÑ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ 0.

òÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÓÏÂÙÔÉÑ ! ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ! = (x1 ; x2 ; : : : ; xn ); xi = 1; 0; i = 1; 2; : : : ; n;•2á.ç. äØÑÞËÏ×: ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÒÙÇÄÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ËÁÖÄÏÇÏ ! ÒÁ×ÎÁ11= n:N 2ôÁËÁÑ ÍÏÄÅÌØ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÏÄÅÌØÀ n ÉÓÐÙÔÁÎÉÊ âÅÒÎÕÌÌÉ Ó N = 2n ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙÍÉÉÓÈÏÄÁÍÉ.òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÄÉÈÏÔÏÍÉÞÅÓËÏÅ (Ó ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ Ä×ÏÉÞÎÙÍÉ ÉÓÈÏÄÁÍÉ 1 ÉÌÉ 0) ÔÅÓÔÉÒÏ×ÁÎÉÉ n ÐÁÒ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÉÓÐÙÔÕÅÍÙÈ, ËÏÇÄÁ ÏÄÉÎ ÉÚ ÉÓÐÙÔÕÅÍÙÈ × ËÁÖÄÏÊ ÐÁÒÅ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑËÏÎÔÒÏÌØÎÙÍ (ÉÚÍÅÒÅÎÉÅ "ÄÏ"), Á ×ÔÏÒÏÊ ÐÏÄ×ÅÒÇÁÅÔÓÑ ËÁËÏÊ-ÌÉÂÏ ÏÂÒÁÂÏÔËÅ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ,ÐÒÏÃÅÄÕÒÅ ÌÅÞÅÎÉÑ, ÍÅÔÏÄÉËÅ ÏÂÕÞÅÎÉÑ ÉÌÉ ÒÅËÌÁÍÅ (ÉÚÍÅÒÅÎÉÅ "ÐÏÓÌÅ").

åÓÌÉ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅÜÔÉÈ ÉÚÍÅÒÅÎÉÊ ÐÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÉÈ ÚÎÁÞÉÍÏÅ ÏÔÌÉÞÉÅ, ÔÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ÄÉÈÏÔÏÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÔÅÓÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÄÁÎÎÏÊ ÐÁÒÙ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ 1, × ÐÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ{0. ðÒÅÄÐÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÍÏÄÅÌØn ÉÓÐÙÔÁÎÉÊ âÅÒÎÕÌÌÉ Ó N = 2n ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙÍÉ ÉÓÈÏÄÁÍÉ ÄÁ£Ô ÁÄÅË×ÁÔÎÕÀ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÕÀ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÀ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÔÅÓÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ n ÐÁÒ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÉÓÐÙÔÕÅÍÙÈ, ÅÓÌÉÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÁÑ ÏÂÒÁÂÏÔËÁ ÎÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÁ.

üÔÁ ÍÏÄÅÌØ ÐÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÔØ ÎÁÕÞÎÏ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÐÒÉÎÑÔÉÑ ÒÅÛÅÎÉÑ Ï ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÏÂÒÁÂÏÔËÉ ÎÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÄÉÈÏÔÏÍÉÞÅÓËÉÈ ÎÁÂÌÀÄÅÎÉÊ. äÁÎÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÐÒÅÄÍÅÔÏÍ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑÄÌÑ ÔÅÓÎÏ Ó×ÑÚÁÎÎÏÇÏ Ó ÔÅÏÒÉÅÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÒÁÚÄÅÌÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÓÔÁÔÉÓÔÉËÏÊ.Pr{!} = Pr{(x1 ; x2 ; : : : ; xn )} =§ 3.ðÒÁ×ÉÌÁ ÐÅÒÅ×ÏÄÁðÅÒ×ÙÍ ÜÔÁÐÏÍ ÒÁÚÒÁÂÏÔËÉ ÔÅÏÒÅÔÉËÏ - ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÙÈ ÍÏÄÅÌÅÊ ÄÌÑ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÑ × ÐÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞÁÈ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÅÒÅ×ÏÄ Ó ÎÅÆÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ ÑÚÙËÁ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ ÏÂÙÞÎÏ ÚÁÐÉÓÙ×ÁÅÔÓÑÕÓÌÏ×ÉÅ ÚÁÄÁÞÉ, ÎÁ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÊ ÑÚÙË ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÍÏÄÅÌÉ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ÏÐÙÔÁ. ðÒÉ ÜÔÏÍÓÌÅÄÕÅÔ ÕÞÉÔÙ×ÁÔØ Ä×Á ÐÒÏÓÔÙÈ ÐÒÁ×ÉÌÁ.ðÒÁ×ÉÌÏ 1.

ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ ÅÓÔØ ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔØ ×ÓÅÈ ÍÙÓÌÉÍÙÈÉÓÈÏÄÏ× ÏÐÙÔÁ, ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÉÓÈÏÄÙ ÒÅÇÉÓÔÒÉÒÕÀÔÓÑ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÂÏÌÅÅ ÐÏÄÒÏÂÎÏ.ðÒÁ×ÉÌÏ 2. ðÕÓÔØ |A| ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÞÉÓÌÏ ÉÓÈÏÄÏ× (ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ) ÐÒÉ ËÏÔÏÒÙÈÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÓÏÂÙÔÉÅ A. ôÏÇÄÁ, ÅÓÌÉ N = || ÅÓÔØ ÞÉÓÌÏ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÉÓÈÏÄÏ× (ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ), ÔÏ ÄÌÑ ÓÏÂÙÔÉÑ A ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØPr{A} =|A|||=|A|N:åÓÌÉ ÐÒÁ×ÉÌÏ 2 ÐÒÉÍÅÎÉÍÏ, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ ÞÔÏ ÉÍÅÅÔÓÑ ÚÁÄÁÞÁ ÎÁ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÕÀ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÇÄÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÓÏÂÙÔÉÑ ÒÁ×ÎÁ ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ ÞÉÓÌÁ ÂÌÁÇÏÐÒÉÑÔÎÙÈ ÉÓÈÏÄÏ× Ë ÞÉÓÌÕ×ÓÅÈ ÉÓÈÏÄÏ×.ðÒÅÄÙÄÕÝÉÊ ÐÒÉÍÅÒ ÍÏÄÅÌÉ ÔÒÅÈ ÉÓÐÙÔÁÎÉÊ âÅÒÎÕÌÌÉ Ó ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙÍÉ ÉÓÈÏÄÁÍÉÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÔ ÏÂÁ ÐÒÁ×ÉÌÁ, Ô.Å.

ÐÒÉ ÐÏÄÓÞÅÔÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÓÏÂÙÔÉÑ A ÍÙ ÕÞÌÉ, ÞÔÏ|A|4 1N = || = 23 = 8; |A| = 4; Pr{A} == = :N 8 2÷ ÒÁÚÄÅÌÅ "ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ É ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ" ÉÚÌÁÇÁÀÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÐÏÄÓÞÅÔÁÞÉÓÌÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ × ÔÉÐÉÞÎÙÈ ÓÉÔÕÁÃÉÑÈ, ×ÓÔÒÅÞÁÀÝÉÈÓÑ ÐÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞ,ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÐÒÉÍÅÎÉÍÏ ÐÒÁ×ÉÌÏ 2.3á.ç.

äØÑÞËÏ×: ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÒÙ§ 4.§ 4.1.ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ É ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÒÙðÕÓÔØ N É n { ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ Á [N ] = {1; 2; : : : ; N } ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï×ÓÅÈ ÃÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ ÏÔ 1 ÄÏ N .1) íÙ ×ÙÂÉÒÁÅÍ Ó ×ÏÚ×ÒÁÝÅÎÉÅÍ n ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á [N ]. òÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ×ÙÂÏÒÁÑ×ÌÑÅÔÓÑ N - ÉÞÎÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÄÌÉÎÙ n, ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÔÏÒÏÊ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔÁÌÆÁ×ÉÔÕ [N ] = {1; 2; : : : ; N }.

þÉÓÌÏ ×ÓÅÈ N - ÉÞÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÄÌÉÎÙ n,ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ n - ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑÍÉ ÉÚ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ [N ] = {1; 2; : : : ; N }, ÒÁ×ÎÏ N n .ðÒÉÍÅÒÙ.Á) þÉÓÌÏ ×ÓÅÈ n - ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÉÚ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ {0; 1; : : : ; q − 1}, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈq-ÉÞÎÙÍÉ n - ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑÍÉ, ÒÁ×ÎÏ qn .Â) þÉÓÌÏ ×ÓÅÈ Ä×ÏÉÞÎÙÈ n - ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ, Ô.Å. n-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÉÚÁÌÆÁ×ÉÔÁ {0; 1}, ÒÁ×ÎÏ 2n .×) þÉÓÌÏ ËÏÍÂÉÎÁÃÉÊ ÄÁÔ ÒÏÖÄÅÎÉÑ Õ n ÌÀÄÅÊ ÒÁ×ÎÏ 365n .2) ðÕÓÔØ n ≤ N É ÍÙ ×ÙÂÉÒÁÅÍ ÂÅÚ ×ÏÚ×ÒÁÝÅÎÉÑ n ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á [N ]. òÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ×ÙÂÏÒÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ n-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÔÏÒÏÊ ×ÚÑÔÙ ÉÚ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ[N ] = {1; 2; : : : ; N } É ÏÔÌÉÞÎÙ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ. ôÁËÁÑ n-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑn-ÐÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÏÊ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á [N ].

þÉÓÌÏ ×ÓÅÈ n-ÐÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ(N )n ÉÌÉ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ P (N; n) É ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ(N ) = P (N; n) def= N · (N − 1) · (N − 2) · · · · · (N − n + 1):näÌÑ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÓÌÕÞÁÑ n = N ÉÓÐÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ(N )N = P (N; N ) = N · (N − 1) · (N − 2) · · · · · 3 · 2 · 1 def= N !:ðÒÉÍÅÒÙÁ) þÉÓÌÏ "ÓÌÏ×" ÄÌÉÎÙ 4, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÉÚ ÎÅÐÏ×ÔÏÒÑÀÝÉÈÓÑ ÂÕË× ÐÑÔÅÒÉÞÎÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ {a; b; c; d; e}, ÒÁ×ÎÏ(5)4 = P (5; 4) = 5 · 4 · 3 · 2:Â) þÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÄÁÔ ÒÏÖÄÅÎÉÑ Õ n ÌÀÄÅÊ, ÇÄÅ 2 ≤ n ≤ 365 ÒÁ×ÎÏ(365)n = P (365; n) = 365 · 364 · 363 · · · · · [365 − (n − 1)]:×) ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ n ÓÌÕÞÁÊÎÏ ÓÏÂÒÁ×ÛÉÈÓÑ ÌÀÄÅÊ ÉÍÅÀÔ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÄÁÔÙÒÏÖÄÅÎÉÑ ÒÁ×ÎÁµ¶ µ¶µ¶12n−1(365)n= 1−· 1−· ··· · 1 −:n =(365)n365365365÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÄÌÑ n = 30 ÞÉÓÌÏ 30 = :2937. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÓÏ×ÐÁÄÅÎÉÑ ÄÁÔ ÒÏÖÄÅÎÉÑ ÈÏÔÑ ÂÙ Õ Ä×ÏÉÈ ÓÒÅÄÉ n = 30 ÌÀÄÅÊ ÒÁ×ÎÁ 1 − 30 = :7063.4á.ç.

äØÑÞËÏ×: ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÒÙ3) ðÕÓÔØ n ≤ N . þÉÓÌÏ ×ÓÅÈ n-ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á [N ] ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚåÓÌÉ ÐÏÌÏÖÉÔØ ÐÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ 0! = 1, ÔÏ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁà !áN ¢n .!NN(N )nN!===:nN −nn!n!(N − n)!ðÒÉÍÅÒÙÁ) ðÕÓÔØ ÒÅ£ÎÏË ÉÇÒÁÅÔ Ó 8 ËÁÒÔÏÞËÁÍÉ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÁÐÉÓÁÎÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÂÕË×Ù:ïïïïëëìô:ïÎ ÍÏÖÅÔ ×ÙÌÏÖÉÔØ ÉÚ ÜÔÉÈ ËÁÒÔÏÞÅË ×ÓÅÇÏ 8! ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ4! · 2! = 48 ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÄÁÀÔ ÓÌÏ×Ï "ïëïìïôïë".

úÁÍÅÔÉÍÔÁËÖÅ, ÞÔÏ¡8¢¡4¢ÓÒÅÄÉ 8! ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÉÍÅÅÔÓÑ ÌÉÛØ 4 2 · 2! "ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÌÏ×". óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÐÏÌÕÞÉÔØ ÓÌÏ×Ï "ïëïìïôïë" ÍÏÖÎÏÚÁÐÉÓÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ Ä×ÕÍÑ ÓÐÏÓÏÂÁÍÉ4! · 2!148Pr{"ïëïìïôïë"} == ¡8¢¡4¢= = 1:19 × 10−3 :8!8!4 2 · 2!úÁÄÁÞÁ. ðÒÏ×ÅÄÉÔÅ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ ÄÌÑ ÓÌÏ× "ðóéèïìïçéñ" É"íáôåíáôéëá"Â) ëÁÖÄÏÅ n-ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Á [N ] ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÔÏÂÒÁÖÁÅÔÓÑ ×Ä×ÏÉÞÎÕÀ N - ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÕÀ ÅÄÉÎÉÃÙ ÎÁ ÐÏÚÉÃÉÑÈ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ ÄÁÎÎÏÇÏ n-ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á.

ðÏÜÔÏÍÕ ÞÉÓÌÏ ×ÓÅÈ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á [N ] ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÞÉÓÌÏÍ ×ÓÅÈ Ä×ÏÉÞÎÙÈ N - ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ, ËÏÔÏÒÏÅ ÒÁ×ÎÏ 2N , É ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÆÏÒÍÕÌÁà !à !à !à !à !nX=NnX=NNNNNNN!= 2N :+++ ··· +==n!(N−n)!012Nnn=0n=0×) ðÕÓÔØ 0 ≤ i ≤ m ≤ n < N . éÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ{ úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ n-ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Á [N ]. ôÏÇÄÁ ÞÉÓÌÏ mÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×, i ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ËÏÔÏÒÙÈ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ÄÁÎÎÏÍÕ n-ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Õ,Á m − i ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÎÅ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ÜÔÏÍÕ n-ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Õ, ÒÁ×ÎÏà !ÃniN −nm−i!É!m à !ÃXn N −ni=0im−ià !=N:mäÌÑ ÎÁÐÉÓÁÎÎÙÈ ×ÙÛÅ ÆÏÒÍÕÌ ÉÍÅÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÁÑ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÑ. ðÕÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï [N ] ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ n "ÓÞÁÓÔÌÉ×ÙÈ" ÎÏÍÅÒÏ× É N − n"ÎÅÓÞÁÓÔÌÉ×ÙÈ" ÎÏÍÅÒÏ×. íÙ ÓÌÕÞÁÊÎÏ ÂÅÚ ×ÏÚ×ÒÁÝÅÎÉÑ ×ÙÂÉÒÁÅÍ m ÎÏÍÅÒÏ× ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á [N ]. ôÏÇÄÁ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ × ÎÁÛÕ ×ÙÂÏÒËÕ ÐÏÐÁÄÕÔi "ÓÞÁÓÔÌÉ×ÙÈ" É m − i "ÎÅÓÞÁÓÔÌÉ×ÙÈ" ÎÏÍÅÒÏ× ÅÓÔØ¡n¢¡N −n¢i m−i¡N ¢mà !=5m (n)i (N − n)m−i:i(N )ná.ç.