А.Г. Дьячков - Вероятность, основные определения и примеры (1115362), страница 2
Текст из файла (страница 2)
äØÑÞËÏ×: ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÒÙðÒÉÍÅÒ ÌÏÔÅÒÅÉ. ðÕÓÔØ m = n = 6; N = 49; i = 0; 1; : : : ; 6. ÷ ÌÏÔÅÒÅÅ "6 ÉÚ 49"×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ gi ÕÇÁÄÙ×ÁÎÉÑ i "ÓÞÁÓÔÌÉ×ÙÈ ÛÁÒÏ×" ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÏÂÒÁÚÏÍgi =¡6¢¡ 43 ¢i 6−i ;¡49¢6g0 = :4360; g1 = :4130; g2 = :1324;g3 = :01765; g4 = 9:686 × 10−4 ; g5 = 1:845 × 10−5 ; g6 = 7:151 × 10−8 :÷ ÌÏÔÅÒÅÅ "6 ÉÚ 49", ÌÏÔÅÒÅÊÎÙÊ ÂÉÌÅÔ ×ÙÉÇÒÙ×ÁÅÔ ÄÅÎÅÖÎÙÊ ÐÒÉÚ, ÅÓÌÉ ÏÎÓÏÄÅÒÖÉÔ ÐÏ ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÔÒÉ ÎÏÍÅÒÁ "ÓÞÁÓÔÌÉ×ÙÈ ÛÁÒÏ×". ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÐÏÌÕÞÅÎÉÑ ÔÁËÏÇÏ "ÓÞÁÓÔÌÉ×ÏÇÏ ÂÉÌÅÔÁ" ÅÓÔØp = g3 + g4 + g5 + g6 = :0186:{ úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ m-ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Á [N ]. ôÏÇÄÁ ÞÉÓÌÏ×ÓÅÈ n-ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÓÏÄÅÒÖÁÔ ÄÁÎÎÏÅ m-ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÒÁ×ÎÏç 4.2.!Ã!N −mN −m=:n−mN −nâÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉðÕÓÔØ N = N1 + N2 É ÉÍÅÅÔÓÑ N ÛÁÒÏ×, ÚÁÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÞÉÓÌÁÍÉ ÏÔ 1 ÄÏ N . ûÁÒÙ,ÚÁÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁÍÉ ÏÔ 1 ÄÏ N1 , ÉÍÅÀÔ ÂÅÌÙÊ Ã×ÅÔ, Á ÏÓÔÁÌØÎÙÅ N2 ÛÁÒÏ× Ñ×ÌÑÀÔÓÑÞÅÒÎÙÍÉ.ðÒÅÄÐÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÉÚ ÄÁÎÎÏÇÏ N -ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÛÁÒÏ× ×ÙÂÉÒÁÀÔÓÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏ É Ó ×ÏÚ×ÒÁÝÅÎÉÅÍ n ÛÁÒÏ×.
äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ k = 0; 1; 2 : : : ; n, ÞÉÓÌÏ n- ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈk ÂÅÌÙÈ É n − k ÞÅÒÎÙÈ ÛÁÒÏ×, ÒÁ×ÎÏà !n k n−kN NÉ ÄÒÏÂØk 1 2¡n¢ k n−kk N1 N2Nnà !µn=kN1N¶k µ¶N n−k2NÅÓÔØ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÐÏÌÕÞÉÔØ ÐÒÉ ÔÁËÏÍ ÓÌÕÞÁÊÎÏÍ ×ÙÂÏÒÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÚ k ÂÅÌÙÈÉ n − k ÞÅÒÎÙÈ ÛÁÒÏ×.ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÃÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ n = 1; 2; : : : É ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ p; 0 < p < 1.þÉÓÌÁà !n kbn (p; k) =p (1 − p)n−k ; k = 0; 1; 2; : : : ; n;kÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÍÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÍÉ Ó ÐÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ (n; p).äÌÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ×ÙÂÏÒÁ ÏÂßÅÍÁ n Ó ×ÏÚ×ÒÁÝÅÎÉÅÍ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÐÏÌÕÞÅÎÉÑ k ÂÅÌÙÈ Én − k ÞÅÒÎÙÈ ÛÁÒÏ× Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ Ó ÐÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ (n; p = NN1 ).ðÒÉÍÅÒÙ.1) úÁÄÁÞÁ Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÑÈ ÐÒÅÄÐÏÞÔÅÎÉÑ. ðÕÓÔØ ÍÁÌÁÑ ÓÏÃÉÁÌØÎÁÑ ÇÒÕÐÐÁ ÏÂßÅÍÁ n + 1ÐÒÏ×ÏÄÉÔ (×ÎÕÔÒÉ ÓÅÂÑ) ×ÙÂÏÒÙ ÌÉÄÅÒÁ.
ëÁÖÄÙÊ ÞÌÅÎ ÇÒÕÐÐÙ × Ó×ÏÅÍ ÐÒÏÔÏËÏÌÅÇÏÌÏÓÏ×ÁÎÉÑ (ðç), Ô.Å. × ÓÐÉÓËÅ ÉÚ n + 1 ÕÞÁÓÔÎÉËÁ, ÏÔÍÅÞÁÅÔ m < n ÞÌÅÎÏ× ÇÒÕÐÐÙ,ÉÓËÌÀÞÁÑ ÓÁÍÏÇÏ ÓÅÂÑ, ËÏÔÏÒÙÈ ÏÎ ÐÒÅÄÐÏÞÉÔÁÅÔ ÏÓÔÁÌØÎÙÍ n − m ÞÌÅÎÁÍ ÇÒÕÐÐÙÉ ÓÞÉÔÁÅÔ ËÁÎÄÉÄÁÔÁÍÉ × ÌÉÄÅÒÙ.6á.ç. äØÑÞËÏ×: ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÒÙúÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÞÌÅÎÁ ÇÒÕÐÐÙ, ËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁÚÏ×ÅÍ ÐÒÅÔÅÎÄÅÎÔÏÍ ÎÁ ÌÉÄÅÒÓÔ×Ï (ðì). ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÉÚ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ n ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ×ÙÂÏÒÏ× ÉÍÅÅÍ:¡ ¢Á) N = mn {ÏÂÝÅÅ ÞÉÓÌÏ ÓÐÏÓÏÂÏ× ÚÁÐÏÌÎÉÔØ ðç;¡¢Â) N1 = mn−−11 {ÞÉÓÌÏ ÓÐÏÓÏÂÏ× ÚÁÐÏÌÎÉÔØ ðç, × ËÏÔÏÒÏÍ ÏÔÍÅÞÅÎ ðì;¡¢×) N2 = nm−1 {ÞÉÓÌÏ ÓÐÏÓÏÂÏ× ÚÁÐÏÌÎÉÔØ ðç, × ËÏÔÏÒÏÍ ðì ÎÅ ÏÔÍÅÞÅÎ.ìÅÇËÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ N = N1 + N2 .
äÌÑ ÄÁÎÎÙÈ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ× × ËÁÞÅÓÔ×Å ÍÏÄÅÌÉ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÐÒÅÄÐÏÞÔÅÎÉÑ × ÉÓÐÙÔÕÅÍÏÊ ÇÒÕÐÐÅ ÏÂßÅÍÁ n + 1 ÂÕÄÅÍ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØ ××ÅÄÅÎÎÕÀ ×ÙÛÅ ÍÏÄÅÌØ ×ÙÂÏÒËÉ Ó ×ÏÚ×ÒÁÝÅÎÉÅÍ ÏÂßÅÍÁ n. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,ÅÓÌÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÐÒÅÄÐÏÞÔÅÎÉÑ × ÉÓÐÙÔÕÅÍÏÊ ÇÒÕÐÐÅ ÓÌÕÞÁÊÎÙ, ÔÏ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ðìÂÙÔØ ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÍ × k ðç É ÂÙÔØ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÍ × (n − k) ðç Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÊ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ ×ÉÄÁµ¶ à !µ¶ µ¶n N1 k N2 n−kN1bn;k ==NkNNà ! à ¡ n−1 ¢ !k à ¡n−1¢ !n−knm¡ n−¢1¡mn¢kmmà !µ¶ µ¶n m k n − m n− k=; k = 0; 1; : : : ; n;=nnkëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÄÌÑ ÍÏÄÅÌÉ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÐÒÅÄÐÏÞÔÅÎÉÑ ÞÉÓÌÏ m ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÓÒÅÄÎÅÇÏ ÞÉÓÌÁ ðç ÐÏ ÉÓÐÙÔÕÅÍÏÊ ÇÒÕÐÐÅ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÏÔÍÅÞÅÎ ðì.ðÕÓÔØ ÐÏ ÉÔÏÇÁÍ ÇÏÌÏÓÏ×ÁÎÉÑ ðì ÏËÁÚÁÌÓÑ ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÍ × K ðç, ÇÄÅ ÞÉÓÌÏ K ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ m ¿ K ≤ n.
îÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÔÁËÏÇÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ ×ÙÂÏÒÏ× ÍÙ ÍÏÖÅÍÐÒÉÎÑÔØ ÒÅÛÅÎÉÅ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÐÒÅÄÐÏÞÔÅÎÉÑ × ÄÁÎÎÏÊ ÍÁÌÏÊ ÓÏÃÉÁÌØÎÏÊÇÒÕÐÐÅ ÎÅÓÌÕÞÁÊÎÙ. ôÏÇÄÁ ÞÉÓÌ϶n à ! µ ¶k µXn mn − m n−k=nnk=K kÍÏÖÅÔ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØÓÑ × ËÁÞÅÓÔ×Å ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÏÛÉÂËÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ.2) úÁÄÁÞÁ Ï ÌÏÔÅÒÅÅ "6 ÉÚ 49". åÓÌÉ ËÕÐÉÔØ ÏÄÉÎ ÌÏÔÅÒÅÊÎÙÊ ÂÉÌÅÔ, ÔÏ ÒÁÎÅÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÎÁÑ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÏÎ ÏËÁÖÅÔÓÑ "ÓÞÁÓÔÌÉ×ÙÍ" ÒÁ×ÎÁ :0186. ðÕÓÔØ ÍÙ ÐÏËÕÐÁÅÍ nÌÏÔÅÒÅÊÎÙÈ ÂÉÌÅÔÏ× É ÓÌÕÞÁÊÎÏ ÏÔÍÅÞÁÅÍ 6 ÎÏÍÅÒÏ× × ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ÎÉÈ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ Pn ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÉÎ ÉÚ ÜÔÉÈ n ÂÉÌÅÔÏ× ÂÕÄÅÔ "ÓÞÁÓÔÌÉ×ÙÍ"×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅn à !XnPn =(:0186)k (:9814)n−k = 1 − (:9814)n :kk=1äÌÑ ÏÃÅÎËÉ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÐÏËÕÐÁÅÍÙÈ ÂÉÌÅÔÏ× n, ËÏÔÏÒÏÅ ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÔ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØPn ≥ :95, ÍÏÖÅÍ ÎÁÐÉÓÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÃÅÐÏÞËÕ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÈ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ln :051 − (:9814)n ≥ :95 ⇔ (:9814)n ≤ :05 ⇔ n ln :9814 ≤ ln :05 ⇔ n ≥= 159:55:ln :9814ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÅÓÌÉ ÍÙ ÈÏÔÉÍ Ó ÎÁÄÅÖÎÏÓÔØÀ ≥ 95% ÂÙÔØ Õ×ÅÒÅÎÙ, ÞÔÏ ÐÏ ËÒÁÊÎÅÊÍÅÒÅ ÏÄÉÎ ÉÚ ÎÁÛÉÈ n ÌÏÔÅÒÅÊÎÙÈ ÂÉÌÅÔÏ× ÂÕÄÅÔ "ÓÞÁÓÔÌÉ×ÙÍ", ÔÏ ÎÁÄÏ ÐÏËÕÐÁÔØn ≥ 160 ÂÉÌÅÔÏ×.7á.ç.
äØÑÞËÏ×: ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÒÙ§ 5.íÏÄÅÌØ (n; p) - ÉÓÐÙÔÁÎÉÊ âÅÒÎÕÌÌÉðÕÓÔØ n = 1; 2; : : : ÅÓÔØ ÞÉÓÌÏ ÉÓÐÙÔÁÎÉÊ, × ËÁÖÄÏÍ ÉÈ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÅÇÉÓÔÒÉÒÕÅÔÓÑ ÏÄÉÎ ÉÚÄ×ÕÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÉÓÈÏÄÏ×: ÕÓÐÅÈ, ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍÙÊ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ 1, ÉÌÉ ÎÅÕÄÁÞÁ, ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍÁÑ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ 0. ðÕÓÔØ p, 0 < p < 1, - ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÐÁÒÁÍÅÔÒ.íÏÄÅÌØ (n; p) - ÉÓÐÙÔÁÎÉÊ âÅÒÎÕÌÌÉ ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ = {!}, ÓÏÓÔÏÑÝÉÍ ÉÚN = 2n ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ! = (x1 ; x2 ; : : : ; xn ); xi = 1; 0; i = 1; 2; : : : ; n;ÇÄÅ xi = 1; 0 ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÉÓÈÏÄ (ÕÓÐÅÈ ÉÌÉ ÎÅÕÄÁÞÕ) × i-ÏÍ, i = 1; 2; : : : ; n, ÉÓÐÙÔÁÎÉÉ.÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÜÔÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ:Pr{!} = Pr{(x1 ; x2 ; : : : ; xn )} def= pk · (1 − p)n−k ; ÅÓÌÉnXi=1xi = k; 0 ≤ k ≤ n:(1)ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÒÉ p = 1 − p = 1=2 × ÍÏÄÅÌÉ (n; 1=2) - ÉÓÐÙÔÁÎÉÊ âÅÒÎÕÌÌÉ ×ÓÅÍ 2n ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍ ÓÏÂÙÔÉÑÍ ÐÏÓÔÁ×ÌÅÎÙ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ, ÒÁ×ÎÙÅ 1=2n .ðÒÉÍÅÒ.
ðÒÉ n = 3 ÞÉÓÌÏ N = 23 = 8. éÚ (1) ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ×ÏÓØÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ × ÍÏÄÅÌÉ (3; p) - ÉÓÐÙÔÁÎÉÊ âÅÒÎÕÌÌÉ:Pr{(0; 0; 0)} = (1 − p)3 Pr{(0; 0; 1)} = Pr{(0; 1; 0)} = Pr{(1; 0; 0)} = p · (1 − p)2 ;Pr{(0; 1; 1)} = Pr{(1; 0; 1)} = Pr{(1; 1; 0)} = p2 · (1 − p); Pr{(1; 1; 1)} = p3 :ä×ÏÉÞÎÙÍ ÓÉÍ×ÏÌÁÍ x = 1; 0 ÓÏÐÏÓÔÁ×ÉÍ ÞÉÓÌÁ½p;ÅÓÌÉ x = 1,Pr{x} def= 1 − p; ÅÓÌÉ x = 0,ËÏÔÏÒÙÅ ÕÄÏÂÎÏ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÉÒÏ×ÁÔØ ËÁË ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÕÓÐÅÈÁ ÉÌÉ ÎÅÕÄÁÞÉ ÐÒÉ ÏÄÎÏËÒÁÔÎÏÍÉÓÐÙÔÁÎÉÉ âÅÒÎÕÌÌÉ. éÓÐÏÌØÚÕÑ ÜÔÉ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ, ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ (1) ÐÒÉ n-ËÒÁÔÎÏÍ ÉÓÐÙÔÁÎÉÉ âÅÒÎÕÌÌÉ ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊPr{!} = Pr{(x1 ; x2 ; : : : ; xn )} = Pr{x1 } · Pr{x2 } · : : : · Pr{xn }:äÁÎÎÁÑ ÚÁÐÉÓØ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÐÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ ×ÓÅÈ 2n ÞÉÓÅÌ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÙÈÆÏÒÍÕÌÁÍÉ (1), ÒÁ×ÎÁXw ∈Pr{!} = 1Xx1 =0 Pr{x1 } · 1Xx2 =0Pr{x2 } · : : : · 1Xxn =0Pr{xn } == [p + (1 − p)] · [p + (1 − p)] · : : : · [p + (1 − p)] = 1;Ô.Å.
ÞÉÓÌÁ (1) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÍÉ.8á.ç. äØÑÞËÏ×: ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÒÙP÷×ÅÄ£Í ×ÅÌÉÞÉÎÕ Sn def= ni=1 xi , 0 ≤ Sn ≤ n, ÒÁ×ÎÕÀ ÞÉÓÌÕ ÅÄÉÎÉÞÎÙÈ ÓÉÍ×ÏÌÏ× ×ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ! = (x1 ; x2 ; : : : ; xn ). ðÏÓËÏÌØËÕ ÅÄÉÎÉÃÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÕÓÐÅÈÁÍ × ÉÓÐÙÔÁÎÉÑÈ, Á ÎÕÌÉ { ÎÅÕÄÁÞÁÍ, ÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ Sn ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÞÉÓÌÏ ÕÓÐÅÈÏ× × ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÍ ÓÏÂÙÔÉÉ !, Á ÒÁÚÎÏÓÔØ n − Sn ÅÓÔØ ÞÉÓÌÏ ÎÅÕÄÁÞ × ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÍ ÓÏÂÙÔÉÉ !. äÌÑÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÃÅÌÏÇÏ ÞÉÓÌÁ k = 0; 1; : : : ; n ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍà !ÓÏÂÙÔÉÅ{Sn= k}; ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ ×ÓÅÈn!n=kk! · (n − k)!PÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ ! = (x1 ; x2 ; : : : ; xn ), × ËÏÔÏÒÙÈ ÞÉÓÌÏ ÅÄÉÎÉà ni=1 xi ÒÁ×ÎÏ k.
óÏÂÙÔÉÅ {Sn = k} ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ × n ÉÓÐÙÔÁÎÉÑÈ âÅÒÎÕÌÌÉ ÐÒÏÉÚÏÛÌÏ k ÕÓÐÅÈÏ×. åÓÌÉ ÓÉÍ×ÏÌÏÍbn (p; k) ÏÂÏÚÎÁÞÉÔØ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÓÏÂÙÔÉÑ {Sn = k}, ÔÏ ÉÚ (1) ÓÌÅÄÕÅÔ:à !n· pk · (1 − p)n−k =kbn (p; k) = Pr{Sn = k} =n!· pk · (1 − p)n−k ; k = 0; 1; : : : ; n:(2)k! · (n − k)!óÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (2) ÏÐÉÓÙ×ÁÀÔ ×ÁÖÎÕÀ ÍÏÄÉÆÉËÁÃÉÀ ÍÏÄÅÌÉ (n; p)- ÉÓÐÙÔÁÎÉÊ âÅÒÎÕÌÌÉ,× ËÏÔÏÒÏÊ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÜÌÅÍÅÎÔÎÁÒÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ = {0; 1; 2; : : : ; n} ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÉÚ N = n + 1 ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÄÌÑ ÞÉÓÌÁ ÕÓÐÅÈÏ× × n ÉÓÐÙÔÁÎÉÑÈ. üÔÏÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÔÉÐÉÞÎÏÊ ÄÌÑ ÐÒÉÌÏÖÅÎÉÊ ÓÉÔÕÁÃÉÉ, ËÏÇÄÁ ÜËÓÐÅÒÉÍÅÎÔÁÔÏÒ ÒÅÇÉÓÔÒÉÒÕÅÔÌÉÛØ ÏÂÝÅÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÕÓÐÅÈÏ× × n ÉÓÐÙÔÁÎÉÑÈ É ÎÅ ÉÎÔÅÒÅÓÕÅÔÓÑ × ËÁËÉÈ ËÏÎËÒÅÔÎÏÉÓÐÙÔÁÎÉÑÈ ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÌÉ ÕÓÐÅÈÉ ÉÌÉ ÎÅÕÄÁÞÉ.ðÒÉÍÅÒ.
ðÒÉ n = 3 ÞÉÓÌÏ N = 3 + 1 = 4 É ÉÚ (2) ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÞÅÔÙÒ£È ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ:=b3 (p; 0) = Pr{S3 = 0} = (1 − p)3 ;b3 (p; 1) = Pr{S3 = 1} = 3p · (1 − p)2 ;b3 (p; 2) = Pr{S3 = 2} = 3p2 · (1 − p);b3 (p; 3) = Pr{S3 = 3} = p3 :ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ÉÚ ËÕÒÓÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ÂÉÎÏÍÁ îØÀÔÏÎÁ(a + b)n=n à !Xnk=0k· ak · bn−k=nXk=0n!· ak · bn−kk! · (n − k)!ÐÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ n + 1 ÞÉÓÅÌ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÙÈ (2), ÒÁ×ÎÁ 1:nXk=0bn (p; k) =nXk=0n!· pk · (1 − p)n−k = [p + (1 − p)]n = 1;k! · (n − k)!þÉÓÌÁ bn (p; k), k = 0; 1; 2; : : : ; n, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÍÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÍÉ. ó×ÏÊÓÔ×ÁÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÉÚÕÞÁÀÔÓÑ × úÁÄÁÎÉÉ 1, ÇÄÅ ÔÁËÖÅ ÁÎÁÌÉÚÉÒÕÀÔÓÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÅ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÐÒÉËÌÁÄÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÔÁÂÌÉÃÙ ÜÔÉÈ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ.9á.ç.
äØÑÞËÏ×: ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÒÙ§ 6.ïÐÅÒÁÃÉÉ ÎÁÄ ÓÏÂÙÔÉÑÍÉ, ÚÁËÏÎ ÓÌÏÖÅÎÉÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊó ÓÏÂÙÔÉÑÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÏÐÒÅÄÅÌÉÌÉ ËÁË ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á = {!} ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ !, Ó×ÑÚÙ×ÁÀÔ ÔÒÉ ÔÅÏÒÅÔÉËÏ - ÍÎÏÖÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÏÐÅÒÁÃÉÉ: ÄÏÐÏÌÎÅÎÉÅ, ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ É ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ.ðÒÉ×ÅÄ£Í ÔÒÁÄÉÃÉÏÎÎÕÀ ÔÅÏÒÅÔÉËÏ-×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÕÀ ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÀ, Ó×ÑÚÁÎÎÕÀ Ó ÜÔÉÍÉÏÐÅÒÁÃÉÑÍÉ É ÉÈ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ × ÔÅÏÒÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×.•åÓÌÉ ! ∈ A ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÎÁÓÔÕÐÉÌÏ ÓÏÂÙÔÉÅ A.•ïÐÅÒÁÃÉÑ ÄÏÐÏÌÎÅÎÉÑ ÄÌÑ ÓÏÂÙÔÉÑ A ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ ÓÏÂÙÔÉÅ, ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈÓÏÂÙÔÉÊ ! ∈ , ÎÅ ×ÈÏÄÑÝÉÈ × ÓÏÂÙÔÉÅ A.
çÏ×ÏÒÑÔ ÞÔÏ A ⊆ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÓÏÂÙÔÉÅ,ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ × ÎÅÎÁÓÔÕÐÌÅÎÉÉ ÓÏÂÙÔÉÑ A. CÏÂÙÔÉÅ A ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÔÁËÖÅ ÏÔÒÉÃÁÎÉÅÍÓÏÂÙÔÉÑ A.•óÉÍ×ÏÌ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ (A; B) ÓÏÂÙÔÉÊ A É B ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ ÓÏÂÙÔÉÅ, ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ ! ∈ , ×ÈÏÄÑÝÉÈ É × A É × B. çÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ (A; B) ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÓÏÂÙÔÉÅ,ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ × ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÍ ÎÁÓÔÕÐÌÅÎÉÉ ÓÏÂÙÔÉÊ A É B.•óÉÍ×ÏÌ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ A ∪ B ÓÏÂÙÔÉÊ A É B ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ ÓÏÂÙÔÉÅ, ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ ! ∈ , ×ÈÏÄÑÝÉÈ ÌÉÂÏ × A ÌÉÂÏ × B. çÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ A ∪ B ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÏÂÙÔÉÅ, ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÐÒÏÉÚÏÛÌÏ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏ ÉÚ ÓÏÂÙÔÉÊ A ÉÌÉ B.•óÉÍ×ÏÌ ∅ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ ÐÕÓÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÉÌÉ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏÅ ÓÏÂÙÔÉÅ.•óÉÍ×ÏÌ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË, ËÏÔÏÒÏÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÏÓÔÏ×ÅÒÎÙÍ ÓÏÂÙÔÉÅÍ.
ïÞÅ×ÉÄÎÏ, = ∅.•óÉÍ×ÏÌ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ⊆ B × ÔÅÏÒÉÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÉÚ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÅÎÉÑ ÓÏÂÙÔÉÑ A ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÎÁÓÔÕÐÌÅÎÉÅ ÓÏÂÙÔÉÑ B.•åÓÌÉ ÓÏÂÙÔÉÑ A É B ÎÅ ÐÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ, Ô.Å. (A; B) = ∅, ÔÏ ÜÔÉ ÓÏÂÙÔÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑÎÅÓÏ×ÍÅÓÔÉÍÙÍÉ (ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÎÁÓÔÕÐÉÔØ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ).•åÓÌÉ (A; B) = ∅, ÔÏ ÓÉÍ×ÏÌ A + B ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÓÏÂÙÔÉÅ, ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÎÁÓÔÕÐÉÔÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏ ÉÚ ÎÅÓÏ×ÍÅÓÔÉÍÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ A ÉÌÉ B.ó×ÏÊÓÔ×Á.1) åÓÌÉ ÓÏÂÙÔÉÑ A É B ÎÅÓÏ×ÍÅÓÔÉÍÙ, Ô.Å. (A; B) = ∅, ÔÏ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÆÏÒÍÕÌÁPr{A + B} = Pr{A} + Pr{B}:üÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÚÁËÏÎÏÍ ÓÌÏÖÅÎÉÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ.2) ìÀÂÏÅ ÓÏÂÙÔÉÅ A ÎÅÓÏ×ÍÅÓÔÉÍÏ Ó A.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, A + A = É Pr{A} = 1 − Pr{A}.3) äÌÑ ÌÀÂÏÊ ÐÁÒÙ ÓÏÂÙÔÉÊ A É B ÓÏÂÙÔÉÅ (A; B) ÎÅÓÏ×ÍÅÓÔÉÍÏ Ó ÓÏÂÙÔÉÅÍ (A; B).ðÒÉ ÜÔÏÍ (A; B) + (A; B) = A É ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ Pr{A} = Pr{(A; B)} + Pr{(A; B)}.10á.ç. äØÑÞËÏ×: ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÒÙ§ 7.íÏÄÅÌØ (2 × 2)-ÔÁÂÌÉÃÙéÓÐÏÌØÚÕÑ ÄÁÎÎÙÅ ×ÙÛÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ É ÉÈ Ó×ÏÊÓÔ×Á, ÍÙ ××ÏÄÉÍ ×ÁÖÎÕÀ ÄÌÑ ÐÒÉÌÏÖÅÎÉÊÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÕÀ ÍÏÄÅÌØ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ÏÐÙÔÁ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÕÀ ÍÏÄÅÌØÀ (2 × 2)-ÔÁÂÌÉÃÙ É ÐÒÉÍÅÎÑÅÍÕÀ ÄÌÑ ÏÐÉÓÁÎÉÑ Ó×ÑÚÉ (ÉÌÉ ×ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÉÑ) ÐÒÉÚÎÁËÏ×.ïÐÙÔ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÍ ÔÅÓÔÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÉÓÐÙÔÕÅÍÏÇÏ ÐÏ Ä×ÕÍ ÐÒÉÚÎÁËÁÍ A É B.îÁÐÒÉÍÅÒ, A { ×ÅÓ, Á B { ÏÂß£Í ÔÁÌÉÉ ÉÌÉ A { ÒÏÓÔ, Á B { ÏÂß£Í Â£ÄÅÒ. ðÒÅÄÐÏÌÏÖÉÍ,ÞÔÏ ÐÒÉÚÎÁË A (ÐÒÉÚÎÁË B) ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÒÅÇÉÓÔÒÉÒÏ×ÁÎ × ÏÄÎÏÍ ÉÚ Ä×ÕÈ ÓÏÓÔÏÑÎÉÊ,ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÉÒÕÅÍÙÈ ËÁË ÓÏÂÙÔÉÅ A ÉÌÉ ÅÇÏ ÏÔÒÉÃÁÎÉÅ A (ÓÏÂÙÔÉÅ B ÉÌÉ ÅÇÏ ÏÔÒÉÃÁÎÉÅ B).÷ ÉÔÏÇÅ ÔÁËÏÇÏ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÇÏ ÔÅÓÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÁÓÔÕÐÁÅÔ ÏÄÎÏ ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈÓÏÂÙÔÉÊ (A; B), (A; B), (A; B) ÉÌÉ (A; B), ËÏÔÏÒÙÅ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÉÈ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÍÉ ÚÁÐÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ× ×ÉÄÅ (2 × 2)-ÔÁÂÌÉÃ(A; B) (A; B)Pr{(A; B)} Pr{(A; B)} .(A; B) (A; B)Pr{(A; B)} Pr{(A; B)}óÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ (2 × 2)-ÔÁÂÌÉÃ, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Õ 3, ÉÍÅÀÔ ÆÏÒÍÕÒÁÓÛÉÒÅÎÎÙÈ (2 × 2)-ÔÁÂÌÉÃPA=AA=AB=B(A; B)(A; B)B = (A; B) + (A; B),B=B(A; B)(A; B)B = (A; B) + (A; B)PA = (A; B) + (A; B) A = (A; B) + (A; B) = (A; B) + (A; B) + (A; B) + (A; B)BB=B=BPA=APr{(A; B)}Pr{(A; B)}Pr{A}A=APr{(A; B)}Pr{(A; B)}Pr{A}PPr{B} ,Pr{B}1(1)ÇÄÅPr{A} = Pr{(A; B)} + Pr{(A; B)}; Pr{A} = Pr{(A; B)} + Pr{(A; B)};Pr{B} = Pr{(A; B)} + Pr{(A; B)}; Pr{B} = Pr{(A; B)} + Pr{(A; B)};Pr{A} + Pr{A} = Pr{B} + Pr{B} = 1:ôÁÂÌÉÃÁ (1) ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÕÄÏÂÎÙÊ ÓÐÏÓÏ ÚÁÐÉÓÉ ÍÏÄÅÌÉ (2 × 2)-ÔÁÂÌÉÃÙ.ðÕÓÔØ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ n ÉÓÐÙÔÕÅÍÙÈ ÐÒÏ×ÅÄÅÎÏ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÅ ÔÅÓÔÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÐÏ ÐÒÉÚÎÁËÁÍ A É B.
ðÕÓÔØ ÓÉÍ×ÏÌÁÍÉ n(A), n(A), n(B), n(B), n(A; B), n(A; B), n(A; B) É n(A; B)ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ ÞÉÓÌÁ ÎÁÓÔÕÐÌÅÎÉÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÓÏÂÙÔÉÊ × n ÏÐÙÔÁÈ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÞÉÓÌÏn(A) = n(A; B) + n(A; B); 0 ≤ n(A) ≤ n;ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÉÓÐÙÔÕÅÍÙÈ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ Õ ÐÒÉÚÎÁËÁ A ÚÁÒÅÇÉÓÔÒÉÒÏ×ÁÎÏ ÓÏÂÙÔÉÅ A. þÉÓÌÏ n(A; B), 0 ≤ n(A; B) ≤ n(A), ÅÓÔØ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÉÓÐÙÔÕÅÍÙÈ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÕÐÒÉÚÎÁËÁ A ÚÁÒÅÇÉÓÔÒÉÒÏ×ÁÎÏ ÓÏÂÙÔÉÅ A É ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ Õ ÐÒÉÚÎÁËÁ B ÚÁÒÅÇÉÓÔÒÉÒÏ×ÁÎÏÓÏÂÙÔÉÅ B. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏn = n(A) + n(A) = n(B) + n(B) = n(A; B) + n(A; B) + n(A; B) + n(A; B):11á.ç. äØÑÞËÏ×: ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÒÙõËÁÚÁÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÒÁÓÛÉÒÅÎÎÏÊ (2 × 2)-ÔÁÂÌÉÃÙBB=B=BPA=AA=APn(A; B)n(A; B)n(A; B)n(A; B)n(A) = n(A; B) + n(A; B) n(A) = n(A; B) + n(A; B)n(B) = n(A; B) + n(A; B),n(B) = n(A; B) + n(A; B)n(A) + n(A) = n(B) + n(B)ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÊ (2 × 2)-ÔÁÂÌÉÃÅÊ ÓÏÐÒÑÖ£ÎÎÏÓÔÉ ÐÒÉÚÎÁËÏ×.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
