А.Г. Дьячков - Вероятность, основные определения и примеры (1115362)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

á.ç. äØÑÞËÏ×: ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÒÙ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÒÙ§ 1.ðÒÅÄÍÅÔ ÔÅÏÒÉÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊôÅÏÒÉÅÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁÚÄÅÌ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÉÚÕÞÁÀÝÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÍÏÄÅÌÉ ÜËÓÐÅÒÉÍÅÎÔÏ×, ÉÓÈÏÄ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅ ×ÐÏÌÎÅ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÑÍÉ ÏÐÙÔÏ×.ôÁËÉÅ ÜËÓÐÅÒÉÍÅÎÔÙ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍÉ ÏÐÙÔÁÍÉ.äÌÑ ÂÏÌÅÅ ÔÏÞÎÏÇÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁÄÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÔÅÏÒÉÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÉÍÅÅÔ ÄÅÌÏ ÌÉÛØÓÏ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍÉ ÏÐÙÔÁÍÉ, ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÏÊ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔÉ ÉÌÉÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔÉ ÞÁÓÔÏÔ. üÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÏÐÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÕÞÁÊÎÙÊ ÜËÓÐÅÒÉÍÅÎÔ É ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÉÄÅÎÔÉÞÎÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÐÒÏ×ÅÄÅÎÉÑ ÜÔÏÇÏ ÏÐÙÔÁ ÉÅÇÏ ÐÏ×ÔÏÒÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÔØ ÌÀÂÏÅ ÖÅÌÁÅÍÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚ.

ôÁËÏÅ ÐÏ×ÔÏÒÅÎÉÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÓÅÂÅ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÒÅÁÌØÎÏ ÆÉÚÉÞÅÓËÉ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÉÍÙÍ, Á ÈÏÔÑ ÂÙ ÍÙÓÌÉÍÙÍ.ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ A ÏÄÉÎ ÉÚ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÉÓÈÏÄÏ× ÜÔÏÇÏ ÜËÓÐÅÒÉÍÅÎÔÁ. ðÏ×ÔÏÒÉÍ ÄÁÎÎÙÊÏÐÙÔ n ÒÁÚ É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ n(A), 0 ≤ n(A) ≤ n, ÞÉÓÌÏ ÎÁÓÔÕÐÌÅÎÉÊ ÉÓÈÏÄÁ A ÐÒÉ ÜÔÉÈ nÐÏ×ÔÏÒÅÎÉÑÈ. OÔÎÏÛÅÎÉÅn(A)n(A);0≤≤ 1;nnÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÁÓÔÏÔÏÊ ÐÏÑ×ÌÅÎÉÑ ÓÏÂÙÔÉÑ (ÉÓÈÏÄÁ) A, Á Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔÉ ÞÁÓÔÏÔ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÂÏÌØÛÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ n ÞÁÓÔÏÔÁ ÐÏÑ×ÌÅÎÉÑ ÓÏÂÙÔÉÑ A ÐÒÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÉ n ÍÁÌÏ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÐÏÓÔÏÑÎÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÏÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ ÓÏÂÙÔÉÑ A É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑn(A)Pr{A} ≈;0 ≤ Pr{A} ≤ 1:näÁÎÎÏÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÁÓÔÏÔÎÙÍ ÉÌÉ ÉÎÔÕÉÔÉ×ÎÙÍ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ.îÁÐÒÉÍÅÒ, ÍÎÏÇÏËÒÁÔÎÏÅ ÂÒÏÓÁÎÉÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÍÏÎÅÔÙ Ó Ä×ÕÍÑ ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ ÉÓÈÏÄÁÍÉ ÇÅÒ - ÒÅÛÅÔËÁ ÐÒÉ ËÁÖÄÏÍ ÂÒÏÓÁÎÉÉ, ÄÁÅÔ ÞÁÓÔÏÔÙ ×ÙÐÁÄÅÎÉÊ ÇÅÒÂÁ, ÂÌÉÚËÉÅ Ë 1=2.÷ ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÄÌÑ ÓÏÂÙÔÉÑ A, ÏÚÎÁÞÁÀÝÅÇÏ ÐÏÑ×ÌÅÎÉÅ ÇÅÒÂÁ × ÏÄÎÏÍ ÉÓÐÙÔÁÎÉÉ, ÎÅÔÓÏÍÎÅÎÉÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÅÇÏ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ Pr{A} = 1=2.§ 2.íÏÄÅÌØ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ÏÐÙÔÁ Ó ËÏÎÅÞÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÉÓÈÏÄÏ×òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÐÙÔ, N ÉÓÈÏÄÏ× ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÓÉÍ×ÏÌÁÍÉ !1 ; !2 ; : : : ; !N .

üÔÉ ÓÉÍ×ÏÌÙÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÞÉÓÌÁÍÉ É ÉÈ ÆÉÚÉÞÅÓËÁÑ ÐÒÉÒÏÄÁ ÄÌÑ ÎÁÓ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ.ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. ÷ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ N ÉÓÈÏÄÏ× ÏÐÙÔÁ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍÉ ÓÏÂÙÔÉÑÍÉ, Á ÉÈ ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔØ = {!1 ; !2 ; : : : ; !N } = {!}ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ.ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2. ëÁÖÄÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÍÕ ÓÏÂÙÔÉÀ ! ÓÔÁ×ÉÔÓÑ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÞÉÓÌÏ Pr{!}, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ !. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÞÉÓÌÁ Pr{!i }, i = 1; 2; : : : ; N ,ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ0 ≤ Pr{!i } ≤ 1;NXi=1Pr{!i } =1X!Pr{!} = 1:á.ç.

äØÑÞËÏ×: ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÒÙïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 3. ìÀÂÏÅ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ , Ô.Å.A ⊆ , ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÂÙÔÉÅÍ. óÏÂÙÔÉÅ A = ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÏÓÔÏ×ÅÒÎÙÍ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ,××ÅÄÅÍ É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ ÐÕÓÔÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ∅ ÓÏÂÙÔÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÍ ÓÏÂÙÔÉÅÍ.ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 4. ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ Pr{A} ÓÏÂÙÔÉÑ A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÕÍÍÁ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ, ×ÈÏÄÑÝÉÈ × A, ÉÎÁÞÅXPr{A} def=Pr{!}:!∈AäÌÑ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏÇÏ ÓÏÂÙÔÉÑ ∅ ÐÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÐÏÌÁÇÁÅÍ Pr{∅} def= 0.úÄÅÓØ É ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÓÉÍ×ÏÌ def= ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÐÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ.

ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÓÏÂÙÔÉÑ A ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ 0 ≤ Pr{A} ≤ 1, Á ÄÌÑ ÄÏÓÔÏ×ÅÒÎÏÇÏ ÓÏÂÙÔÉÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ Pr{} = 1.ðÒÉÍÅÒ. ðÕÓÔØ ÏÐÙÔ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÐÒÏ×ÅÄÅÎÉÉ ÔÒÅÈ ÉÓÐÙÔÁÎÉÊ, × ËÁÖÄÏÍ ÉÈ ËÏÔÏÒÙÈÒÅÇÉÓÔÒÉÒÕÅÔÓÑ ÏÄÉÎ ÉÚ Ä×ÕÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÉÓÈÏÄÏ×: ÕÓÐÅÈ, ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍÙÊ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ 1, ÉÌÉÎÅÕÄÁÞÁ, ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍÁÑ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ 0. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÕÀ ÍÏÄÅÌØ ÜÔÏÇÏ ÏÐÙÔÁ ÍÏÖÎÏ ÏÐÉÓÁÔØÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ.• ïÂÝÅÅ ÞÉÓÌÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ N = 23 = 8.

ëÁÖÄÏÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÅ ÓÏÂÙÔÉÅ !ÅÓÔØ Ä×ÏÉÞÎÁÑ (ÉÚ 1 É 0) ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ! = (x1 ; x2 ; x3 ), ÇÄÅ xi = 1; 0 ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÉÓÈÏÄ (ÕÓÐÅÈ ÉÌÉ ÎÅÕÄÁÞÕ) × i-ÏÍ, i = 1; 2; 3, ÉÓÐÙÔÁÎÉÉ. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈÓÏÂÙÔÉÊ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ = {(0; 0; 0); (0; 0; 1); (0; 1; 0); (0; 1; 1); (1; 0; 0); (1; 0; 1); (1; 1; 0); (1; 1; 1)};Ô.Å. !1 = (0; 0; 0); !2 = (0; 0; 1); : : : ; !8 = (1; 1; 1).•÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÐÒÉÍÅÒÁ ÓÏÂÙÔÉÑ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÏÂÙÔÉÅ A, ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ × ÔÏÍ, ÞÔÏ × ÔÒÅÈ ÉÓÐÙÔÁÎÉÑÈ ÐÒÏÉÚÏÊÄÅÔ ÐÏ ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×Á ÕÓÐÅÈÁ. üÔÏ ÓÏÂÙÔÉÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔØ ÉÚ 4-È ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ:A = {(0; 1; 1); (1; 0; 1); (1; 1; 0); (1; 1; 1)}:åÓÌÉ ×ÓÅÍ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍ ÓÏÂÙÔÉÑÍ ÐÏÓÔÁ×ÌÅÎÙ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉPr{(0; 0; 0)} = Pr{(0; 0; 1)} = Pr{(0; 1; 0)} = Pr{(0; 1; 1)} =1= Pr{(1; 0; 0)} = Pr{(1; 0; 1)} = Pr{(1; 1; 0)} = Pr{(1; 1; 1)} = ;8ÔÏ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ 4 ÄÌÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ××ÅÄÅÎÎÏÇÏ ÓÏÂÙÔÉÑ A ÉÍÅÅÍ1 1 1 1 4 1Pr{A} = Pr{(0; 1; 1)} +Pr{(1; 0; 1)} +Pr{(1; 1; 0)} +Pr{(1; 1; 1)} = + + + = = :8 8 8 8 8 2÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÁÑ ÍÏÄÅÌØ ÜÔÏÇÏ ÐÒÉÍÅÒÁ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÂÏÂÝÁÅÔÓÑ ÎÁ ÓÌÕÞÁÊ n ÉÓÐÙÔÁÎÉÊ, × ËÁÖÄÏÍ ÉÈ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÅÇÉÓÔÒÉÒÕÅÔÓÑ ÏÄÉÎ ÉÚ Ä×ÕÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÉÓÈÏÄÏ×: ÕÓÐÅÈ,ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍÙÊ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ 1, ÉÌÉ ÎÅÕÄÁÞÁ, ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍÁÑ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ 0.

òÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÓÏÂÙÔÉÑ ! ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ! = (x1 ; x2 ; : : : ; xn ); xi = 1; 0; i = 1; 2; : : : ; n;•2á.ç. äØÑÞËÏ×: ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÒÙÇÄÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ËÁÖÄÏÇÏ ! ÒÁ×ÎÁ11= n:N 2ôÁËÁÑ ÍÏÄÅÌØ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÏÄÅÌØÀ n ÉÓÐÙÔÁÎÉÊ âÅÒÎÕÌÌÉ Ó N = 2n ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙÍÉÉÓÈÏÄÁÍÉ.òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÄÉÈÏÔÏÍÉÞÅÓËÏÅ (Ó ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ Ä×ÏÉÞÎÙÍÉ ÉÓÈÏÄÁÍÉ 1 ÉÌÉ 0) ÔÅÓÔÉÒÏ×ÁÎÉÉ n ÐÁÒ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÉÓÐÙÔÕÅÍÙÈ, ËÏÇÄÁ ÏÄÉÎ ÉÚ ÉÓÐÙÔÕÅÍÙÈ × ËÁÖÄÏÊ ÐÁÒÅ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑËÏÎÔÒÏÌØÎÙÍ (ÉÚÍÅÒÅÎÉÅ "ÄÏ"), Á ×ÔÏÒÏÊ ÐÏÄ×ÅÒÇÁÅÔÓÑ ËÁËÏÊ-ÌÉÂÏ ÏÂÒÁÂÏÔËÅ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ,ÐÒÏÃÅÄÕÒÅ ÌÅÞÅÎÉÑ, ÍÅÔÏÄÉËÅ ÏÂÕÞÅÎÉÑ ÉÌÉ ÒÅËÌÁÍÅ (ÉÚÍÅÒÅÎÉÅ "ÐÏÓÌÅ").

åÓÌÉ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅÜÔÉÈ ÉÚÍÅÒÅÎÉÊ ÐÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÉÈ ÚÎÁÞÉÍÏÅ ÏÔÌÉÞÉÅ, ÔÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ÄÉÈÏÔÏÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÔÅÓÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÄÁÎÎÏÊ ÐÁÒÙ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ 1, × ÐÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ{0. ðÒÅÄÐÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÍÏÄÅÌØn ÉÓÐÙÔÁÎÉÊ âÅÒÎÕÌÌÉ Ó N = 2n ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙÍÉ ÉÓÈÏÄÁÍÉ ÄÁ£Ô ÁÄÅË×ÁÔÎÕÀ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÕÀ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÀ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÔÅÓÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ n ÐÁÒ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÉÓÐÙÔÕÅÍÙÈ, ÅÓÌÉÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÁÑ ÏÂÒÁÂÏÔËÁ ÎÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÁ.

üÔÁ ÍÏÄÅÌØ ÐÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÔØ ÎÁÕÞÎÏ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÐÒÉÎÑÔÉÑ ÒÅÛÅÎÉÑ Ï ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÏÂÒÁÂÏÔËÉ ÎÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÄÉÈÏÔÏÍÉÞÅÓËÉÈ ÎÁÂÌÀÄÅÎÉÊ. äÁÎÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÐÒÅÄÍÅÔÏÍ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑÄÌÑ ÔÅÓÎÏ Ó×ÑÚÁÎÎÏÇÏ Ó ÔÅÏÒÉÅÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÒÁÚÄÅÌÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÓÔÁÔÉÓÔÉËÏÊ.Pr{!} = Pr{(x1 ; x2 ; : : : ; xn )} =§ 3.ðÒÁ×ÉÌÁ ÐÅÒÅ×ÏÄÁðÅÒ×ÙÍ ÜÔÁÐÏÍ ÒÁÚÒÁÂÏÔËÉ ÔÅÏÒÅÔÉËÏ - ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÙÈ ÍÏÄÅÌÅÊ ÄÌÑ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÑ × ÐÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞÁÈ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÅÒÅ×ÏÄ Ó ÎÅÆÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ ÑÚÙËÁ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ ÏÂÙÞÎÏ ÚÁÐÉÓÙ×ÁÅÔÓÑÕÓÌÏ×ÉÅ ÚÁÄÁÞÉ, ÎÁ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÊ ÑÚÙË ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÍÏÄÅÌÉ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ÏÐÙÔÁ. ðÒÉ ÜÔÏÍÓÌÅÄÕÅÔ ÕÞÉÔÙ×ÁÔØ Ä×Á ÐÒÏÓÔÙÈ ÐÒÁ×ÉÌÁ.ðÒÁ×ÉÌÏ 1.

ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ ÅÓÔØ ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔØ ×ÓÅÈ ÍÙÓÌÉÍÙÈÉÓÈÏÄÏ× ÏÐÙÔÁ, ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÉÓÈÏÄÙ ÒÅÇÉÓÔÒÉÒÕÀÔÓÑ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÂÏÌÅÅ ÐÏÄÒÏÂÎÏ.ðÒÁ×ÉÌÏ 2. ðÕÓÔØ |A| ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÞÉÓÌÏ ÉÓÈÏÄÏ× (ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ) ÐÒÉ ËÏÔÏÒÙÈÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÓÏÂÙÔÉÅ A. ôÏÇÄÁ, ÅÓÌÉ N = || ÅÓÔØ ÞÉÓÌÏ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÉÓÈÏÄÏ× (ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ), ÔÏ ÄÌÑ ÓÏÂÙÔÉÑ A ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØPr{A} =|A|||=|A|N:åÓÌÉ ÐÒÁ×ÉÌÏ 2 ÐÒÉÍÅÎÉÍÏ, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ ÞÔÏ ÉÍÅÅÔÓÑ ÚÁÄÁÞÁ ÎÁ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÕÀ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÇÄÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÓÏÂÙÔÉÑ ÒÁ×ÎÁ ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ ÞÉÓÌÁ ÂÌÁÇÏÐÒÉÑÔÎÙÈ ÉÓÈÏÄÏ× Ë ÞÉÓÌÕ×ÓÅÈ ÉÓÈÏÄÏ×.ðÒÅÄÙÄÕÝÉÊ ÐÒÉÍÅÒ ÍÏÄÅÌÉ ÔÒÅÈ ÉÓÐÙÔÁÎÉÊ âÅÒÎÕÌÌÉ Ó ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙÍÉ ÉÓÈÏÄÁÍÉÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÔ ÏÂÁ ÐÒÁ×ÉÌÁ, Ô.Å.

ÐÒÉ ÐÏÄÓÞÅÔÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÓÏÂÙÔÉÑ A ÍÙ ÕÞÌÉ, ÞÔÏ|A|4 1N = || = 23 = 8; |A| = 4; Pr{A} == = :N 8 2÷ ÒÁÚÄÅÌÅ "ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ É ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ" ÉÚÌÁÇÁÀÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÐÏÄÓÞÅÔÁÞÉÓÌÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ × ÔÉÐÉÞÎÙÈ ÓÉÔÕÁÃÉÑÈ, ×ÓÔÒÅÞÁÀÝÉÈÓÑ ÐÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞ,ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÐÒÉÍÅÎÉÍÏ ÐÒÁ×ÉÌÏ 2.3á.ç.

äØÑÞËÏ×: ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÒÙ§ 4.§ 4.1.ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ É ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÒÙðÕÓÔØ N É n { ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ Á [N ] = {1; 2; : : : ; N } ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï×ÓÅÈ ÃÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ ÏÔ 1 ÄÏ N .1) íÙ ×ÙÂÉÒÁÅÍ Ó ×ÏÚ×ÒÁÝÅÎÉÅÍ n ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á [N ]. òÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ×ÙÂÏÒÁÑ×ÌÑÅÔÓÑ N - ÉÞÎÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÄÌÉÎÙ n, ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÔÏÒÏÊ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔÁÌÆÁ×ÉÔÕ [N ] = {1; 2; : : : ; N }.

þÉÓÌÏ ×ÓÅÈ N - ÉÞÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÄÌÉÎÙ n,ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ n - ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑÍÉ ÉÚ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ [N ] = {1; 2; : : : ; N }, ÒÁ×ÎÏ N n .ðÒÉÍÅÒÙ.Á) þÉÓÌÏ ×ÓÅÈ n - ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÉÚ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ {0; 1; : : : ; q − 1}, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈq-ÉÞÎÙÍÉ n - ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑÍÉ, ÒÁ×ÎÏ qn .Â) þÉÓÌÏ ×ÓÅÈ Ä×ÏÉÞÎÙÈ n - ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ, Ô.Å. n-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÉÚÁÌÆÁ×ÉÔÁ {0; 1}, ÒÁ×ÎÏ 2n .×) þÉÓÌÏ ËÏÍÂÉÎÁÃÉÊ ÄÁÔ ÒÏÖÄÅÎÉÑ Õ n ÌÀÄÅÊ ÒÁ×ÎÏ 365n .2) ðÕÓÔØ n ≤ N É ÍÙ ×ÙÂÉÒÁÅÍ ÂÅÚ ×ÏÚ×ÒÁÝÅÎÉÑ n ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á [N ]. òÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ×ÙÂÏÒÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ n-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÔÏÒÏÊ ×ÚÑÔÙ ÉÚ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ[N ] = {1; 2; : : : ; N } É ÏÔÌÉÞÎÙ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ. ôÁËÁÑ n-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑn-ÐÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÏÊ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á [N ].

þÉÓÌÏ ×ÓÅÈ n-ÐÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ(N )n ÉÌÉ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ P (N; n) É ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ(N ) = P (N; n) def= N · (N − 1) · (N − 2) · · · · · (N − n + 1):näÌÑ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÓÌÕÞÁÑ n = N ÉÓÐÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ(N )N = P (N; N ) = N · (N − 1) · (N − 2) · · · · · 3 · 2 · 1 def= N !:ðÒÉÍÅÒÙÁ) þÉÓÌÏ "ÓÌÏ×" ÄÌÉÎÙ 4, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÉÚ ÎÅÐÏ×ÔÏÒÑÀÝÉÈÓÑ ÂÕË× ÐÑÔÅÒÉÞÎÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ {a; b; c; d; e}, ÒÁ×ÎÏ(5)4 = P (5; 4) = 5 · 4 · 3 · 2:Â) þÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÄÁÔ ÒÏÖÄÅÎÉÑ Õ n ÌÀÄÅÊ, ÇÄÅ 2 ≤ n ≤ 365 ÒÁ×ÎÏ(365)n = P (365; n) = 365 · 364 · 363 · · · · · [365 − (n − 1)]:×) ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ n ÓÌÕÞÁÊÎÏ ÓÏÂÒÁ×ÛÉÈÓÑ ÌÀÄÅÊ ÉÍÅÀÔ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÄÁÔÙÒÏÖÄÅÎÉÑ ÒÁ×ÎÁµ¶ µ¶µ¶12n−1(365)n= 1−· 1−· ··· · 1 −:n =(365)n365365365÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÄÌÑ n = 30 ÞÉÓÌÏ 30 = :2937. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÓÏ×ÐÁÄÅÎÉÑ ÄÁÔ ÒÏÖÄÅÎÉÑ ÈÏÔÑ ÂÙ Õ Ä×ÏÉÈ ÓÒÅÄÉ n = 30 ÌÀÄÅÊ ÒÁ×ÎÁ 1 − 30 = :7063.4á.ç.

äØÑÞËÏ×: ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÒÙ3) ðÕÓÔØ n ≤ N . þÉÓÌÏ ×ÓÅÈ n-ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á [N ] ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚåÓÌÉ ÐÏÌÏÖÉÔØ ÐÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ 0! = 1, ÔÏ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁà !áN ¢n .!NN(N )nN!===:nN −nn!n!(N − n)!ðÒÉÍÅÒÙÁ) ðÕÓÔØ ÒÅ£ÎÏË ÉÇÒÁÅÔ Ó 8 ËÁÒÔÏÞËÁÍÉ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÁÐÉÓÁÎÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÂÕË×Ù:ïïïïëëìô:ïÎ ÍÏÖÅÔ ×ÙÌÏÖÉÔØ ÉÚ ÜÔÉÈ ËÁÒÔÏÞÅË ×ÓÅÇÏ 8! ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ4! · 2! = 48 ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÄÁÀÔ ÓÌÏ×Ï "ïëïìïôïë".

úÁÍÅÔÉÍÔÁËÖÅ, ÞÔÏ¡8¢¡4¢ÓÒÅÄÉ 8! ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÉÍÅÅÔÓÑ ÌÉÛØ 4 2 · 2! "ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÌÏ×". óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÐÏÌÕÞÉÔØ ÓÌÏ×Ï "ïëïìïôïë" ÍÏÖÎÏÚÁÐÉÓÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ Ä×ÕÍÑ ÓÐÏÓÏÂÁÍÉ4! · 2!148Pr{"ïëïìïôïë"} == ¡8¢¡4¢= = 1:19 × 10−3 :8!8!4 2 · 2!úÁÄÁÞÁ. ðÒÏ×ÅÄÉÔÅ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ ÄÌÑ ÓÌÏ× "ðóéèïìïçéñ" É"íáôåíáôéëá"Â) ëÁÖÄÏÅ n-ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Á [N ] ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÔÏÂÒÁÖÁÅÔÓÑ ×Ä×ÏÉÞÎÕÀ N - ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÕÀ ÅÄÉÎÉÃÙ ÎÁ ÐÏÚÉÃÉÑÈ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ ÄÁÎÎÏÇÏ n-ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á.

ðÏÜÔÏÍÕ ÞÉÓÌÏ ×ÓÅÈ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á [N ] ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÞÉÓÌÏÍ ×ÓÅÈ Ä×ÏÉÞÎÙÈ N - ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ, ËÏÔÏÒÏÅ ÒÁ×ÎÏ 2N , É ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÆÏÒÍÕÌÁà !à !à !à !à !nX=NnX=NNNNNNN!= 2N :+++ ··· +==n!(N−n)!012Nnn=0n=0×) ðÕÓÔØ 0 ≤ i ≤ m ≤ n < N . éÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ{ úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ n-ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Á [N ]. ôÏÇÄÁ ÞÉÓÌÏ mÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×, i ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ËÏÔÏÒÙÈ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ÄÁÎÎÏÍÕ n-ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Õ,Á m − i ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÎÅ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ÜÔÏÍÕ n-ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Õ, ÒÁ×ÎÏà !ÃniN −nm−i!É!m à !ÃXn N −ni=0im−ià !=N:mäÌÑ ÎÁÐÉÓÁÎÎÙÈ ×ÙÛÅ ÆÏÒÍÕÌ ÉÍÅÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÁÑ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÑ. ðÕÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï [N ] ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ n "ÓÞÁÓÔÌÉ×ÙÈ" ÎÏÍÅÒÏ× É N − n"ÎÅÓÞÁÓÔÌÉ×ÙÈ" ÎÏÍÅÒÏ×. íÙ ÓÌÕÞÁÊÎÏ ÂÅÚ ×ÏÚ×ÒÁÝÅÎÉÑ ×ÙÂÉÒÁÅÍ m ÎÏÍÅÒÏ× ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á [N ]. ôÏÇÄÁ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ × ÎÁÛÕ ×ÙÂÏÒËÕ ÐÏÐÁÄÕÔi "ÓÞÁÓÔÌÉ×ÙÈ" É m − i "ÎÅÓÞÁÓÔÌÉ×ÙÈ" ÎÏÍÅÒÏ× ÅÓÔØ¡n¢¡N −n¢i m−i¡N ¢mà !=5m (n)i (N − n)m−i:i(N )ná.ç.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций