А.Г. Дьячков - Вероятность, основные определения и примеры, страница 5

äØÑÞËÏ×: ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÒÙ§ 10.2.îÅÐÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÍÏÄÅÌØæÏÒÍÁÌØÎÏ ÄÌÑ ÐÒÉÌÏÖÅÎÉÊ ÍÏÖÎÏ ÏÇÒÁÎÉÞÉÔØÓÑ ÉÚÕÞÅÎÉÅÍ ×ÙÛÅÏÐÉÓÁÎÎÏÊ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊÍÏÄÅÌÉ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ , ÐÒÉÎÉÍÁÀÝÅÊ ÌÉÛØ ËÏÎÅÞÎÏÅÞÉÓÌÏ N ÚÎÁÞÅÎÉÊ.

üÔÏ ÏÂßÑÓÎÑÅÔÓÑ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÒÅÁÌØÎÙÊ ÐÒÉÂÏÒ ÉÍÅÅÔ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÕÀÔÏÞÎÏÓÔØ, Ô.Å. ÞÉÓÌÏ ÚÎÁËÏ×, Ó ËÏÔÏÒÙÍÉ ÎÁÂÌÀÄÁÀÔÓÑ (ÉÚÍÅÒÑÀÔÓÑ) ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ÜËÓÐÅÒÉÍÅÎÔÁ ×ÓÅÇÄÁ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÏ É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÞÉÓÌÏ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÉÓÈÏÄÏ× NÒÅÁÌØÎÏÇÏ ÏÐÙÔÁ ×ÓÅÇÄÁ ËÏÎÅÞÎÏ. ôÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÄÌÑ ÐÒÏ×ÅÄÅÎÉÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÒÁÓÞ£ÔÏ× × ÓÉÔÕÁÃÉÉ, ËÏÇÄÁ N → ∞, ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÞÅÎØ ÐÏÌÅÚÎÙÍ ×ÍÅÓÔÏ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÇÏ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÏÐÉÓÙ×ÁÅÍÙÊ ÎÉÖÅ ÅÇÏ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÊ ÁÎÁÌÏÇ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÏÖÎÏ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÉÒÏ×ÁÔØ ËÁË ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÕÀ ÍÏÄÅÌØ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ÏÐÙÔÁ × ÕËÁÚÁÎÎÏÍ ÐÒÅÄÅÌØÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ.ðÕÓÔØ p(x) ≥ 0 { ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÎÅÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ x, −∞ < x < ∞,ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÈÏÄÑÝÉÊÓÑ ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌZ ∞−∞p(x) dx = 1; p(x) ≥ 0:(20 )ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2'.

ðÕÓÔØ −∞ ≤ a ≤ b ≤ ∞ { ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ.æÕÎËÃÉÑ p(x) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÌÏÔÎÏÓÔØÀ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ (ÉÌÉ, ËÒÁÔËÏ, ∼ p(x)), ÅÓÌÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÓÏÂÙÔÉÑ {a ≤ ≤ b}, ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍÁÑ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ Pr{a ≤ ≤ b},ÚÁÄÁÅÔÓÑ ËÁË ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÉ p(x) ÐÏ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÕ [a; b]:Pr{a ≤ ≤ b} def=Z bap(t) dt:(30 )ðÌÏÔÎÏÓÔØ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ p(x) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÏÍ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ q(x) × ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÇÏ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ.ëÁË É × ÄÉÓËÒÅÔÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅÍ, ÄÁÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ.ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 3'. æÕÎËÃÉÑ F (x) ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ x, −∞ < x < ∞, ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍÁÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊF (x) def= Pr{ < x} = Pr{−∞ < < x} =Z x−∞p(t) dt; −∞ < x < ∞;ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ (ÉÌÉ, ËÒÁÔËÏ, ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 4'.

þÉÓÌÁM def=Z ∞−∞x · p(x) dx; D def=Z ∞−∞(x − M )2 · p(x) dx;∼(40 )F (x)).(50 )ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÏÖÉÄÁÎÉÅÍ (ÓÒÅÄÎÉÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ) É ÄÉÓÐÅÒÓÉÅÊ (ÓÒÅÄÎÉÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ Ë×ÁÄÒÁÔÁ ÏÔËÌÏÎÅÎÉÊ ÏÔ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÖÉÄÁÎÉÑ) ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ Ó ÐÌÏÔÎÏÓÔØÀ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ p(x).√ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÄÉÓÐÅÒÓÉÑ D ≥ 0. þÉÓÌÏ = D , ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ ÓÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØÀ , ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÒÅÄÎÅË×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÍ ÏÔËÌÏÎÅÎÉÅÍ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ .21á.ç. äØÑÞËÏ×: ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÒÙðÒÉÍÅÎÑÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÕÀ ÉÚ ËÕÒÓÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ ÏÓÎÏ×ÎÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÇÏ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ (ÔÅÏÒÅÍÕ îØÀÔÏÎÁ - ìÅÊÂÎÉÃÁ) Ï ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÏÐÒÅÄÅÌ£ÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁÐÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÍÕ ×ÅÒÈÎÅÍÕ ÐÒÅÄÅÌÕ, ÐÏÌÕÞÁÅÍó×ÏÊÓÔ×Ï 1.

åÓÌÉ ÐÌÏÔÎÏÓÔØ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ p(x) ÅÓÔØ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÎÁ ×ÓÅÊÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÏÓÉ −∞ < x < ∞, ÔÏ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ ÒÁÓÐÒÅÄÅÎÉÑ F (x) ÉÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ.1) ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ F 0 (x) = p(x) ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ x, −∞ < x < ∞, Ô.Å. ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÉÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÒÁ×ÎÁ ÐÌÏÔÎÏÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ.2) åÓÌÉ a < b, ÔÏ Pr{a ≤ ≤ b} =Rbap(t) dt = F (b) − F (a).ðÒÉÍÅÒ. (òÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ N (a; )). óÏÇÌÁÓÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁÑÓÌÕÞÁÊÎÁÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÉÍÅÅÔ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÅ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÅ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ N (0; 1)(ÉÌÉ, ËÒÁÔËÏ, ∼ N (0; 1)), ÅÓÌÉ Å£ ÐÌÏÔÎÏÓÔØ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ p(x) = g(x), Á ÆÕÎËÃÉÑ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ F (x) = G(x), ÇÄÅ ÆÕÎËÃÉÉ g(x) É G(x) ÚÁÄÁÀÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉZ xZ x1122√ e−t =2 dt:g(x) def= √ e−x =2 = G0 (x); G(x) def=g(t) dt =22−∞−∞ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ g(x) {ÞÅÔÎÁÑ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ, Á ÆÕÎËÃÉÑ G(x) ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔÏÔ 0 ÄÏ 1, ÐÒÉÞÅÍG(−∞) = 0; G(0) = 1=2; G(∞) = 1:ðÕÓÔØ a É > 0 { ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ.

óÏÇÌÁÓÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁÑÓÌÕÞÁÊÎÁÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÉÍÅÅÔ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÅ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ Ó ÐÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ a É (ÉÌÉ, ËÒÁÔËÏ, ∼ N (a; )), ÅÓÌÉ Å£ ÐÌÏÔÎÏÓÔØ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ p(x) = f (x), Á ÆÕÎËÃÉÑ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑF (x) = F (x), ÇÄÅ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) É F (x) ÚÁÄÁÀÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍɵ¶µ¶Z x−ax−a1x−a22f (x) def= −1 g= √ e−(x−a) =2 ; F (x) def= G=g(t) dt; 2−∞ËÏÔÏÒÙÅ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÙ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ def= a + · ÉÌÉ N (a; ) def= a + · N (0; 1):äÌÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÖÉÄÁÎÉÑ M É ÄÉÓÐÅÒÓÉÉ D ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁM =Z ∞−∞tf (t) dt = a;D =Z ∞−∞(t − a)2 f (t) dt = 2 :√ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÁÒÁÍÅÔÒ = D Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÒÅÄÎÅË×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÍ ÏÔËÌÏÎÅÎÉÅÍ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ N (a; ). ðÕÓÔØ −∞ ≤ A < B ≤ ∞ { ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÚÁÄÁÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. ÷ ÓÉÌÕ Ó×ÏÊÓÔ×Á 1,×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÐÏÐÁÄÁÎÉÑ ÎÁÂÌÀÄÅÎÉÑ ∼ N (a; ) × ÚÁÄÁÎÎÙÊ ÐÒÏÍÅÖÕÔÏË [A; B ] ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅPr{A ≤ ≤ B } =Z BAf (t) dt =Z (B −a)=(A−a)=22µ¶µ¶B−aA−ag(t) dt = G−G:á.ç.

äØÑÞËÏ×: ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÒÙäÁÎÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ Ó×ÏÄÉÔ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ∼ N (a; ) Ë ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÀ ÐÏ ÔÁÂÌÉÃÁÍ ÄÌÑ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÇÏ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ∼ N (0; 1). üÔÉ ÔÁÂÌÉÃÙ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑÔÁÂÌÉÃÁÍÉ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ.íÅÔÏÄÙ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÓÔÁÔÉÓÔÉËÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÐÒÉ ÏÂÒÁÂÏÔËÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÎÁÂÌÀÄÅÎÉÊ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÅ Ï ÉÈ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÍ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÉ N (a; ) Ó ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉÐÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ a É , ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍÉ ÍÅÔÏÄÁÍÉ.âÏÌÅÅ ÏÂÝÉÅ ÍÅÔÏÄÙ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÓÔÁÔÉÓÔÉËÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÅ Ï N (a; ) ÄÌÑ ÏÂÒÁÂÁÔÙ×ÁÅÍÙÈ ÎÁÂÌÀÄÅÎÉÊ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÎÅÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍÉ ÉÌÉÒÁÎÇÏ×ÙÍÉ ÍÅÔÏÄÁÍÉ. äÌÑ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÒÁÎÇÏ×ÙÈ ÍÅÔÏÄÏ× ×ÁÖÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅÉÍÅÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÏÂÝÅÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÆÕÎËÃÉÉ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ F (x).ó×ÏÊÓÔ×Ï 2.

ðÕÓÔØ ÓÌÕÞÁÊÎÁÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÉÍÅÅÔ ÆÕÎËÃÉÀ ÒÁÓÐÒÅÄÅÎÉÑ F (x), ËÏÔÏÒÁÑÑ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÊ É ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÅÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÐÒÉ ×ÓÅÈ x, −∞ < x < ∞,defÔÁËÉÈ ÞÔÏ 0 < F (x) < 1. ôÏÇÄÁ ÓÌÕÞÁÊÎÁÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ = F ( ) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍ 0 < < 1 É ÉÍÅÅÔ ÆÕÎËÃÉÀ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ 0; ÅÓÌÉ t ≤ 0,U (t) = Pr{ < t} =  t; ÅÓÌÉ 0 < t < 1,1; ÅÓÌÉ t ≥ 1.ËÏÔÏÒÁÑ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ F (x).äÁÎÎÁÑ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ U (t) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (0 ; 1). åÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÐÌÏÔÎÏÓÔØ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ(0 ; 1):½1; ÅÓÌÉ 0 < t < 1,u(t) = U 0 (t) = 0; ÅÓÌÉ t ≤ 0 ÉÌÉ t ≥ 1,ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÓÌÕÞÁÊÎÁÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ (ÎÁÂÌÀÄÅÎÉÅ) ÉÍÅÅÔ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÅ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (0 ; 1), ÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÞÉÓÅÌ 0 ≤ a < b ≤ 1 ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÐÏÐÁÄÁÎÉÑ ÎÁÂÌÀÄÅÎÉÑ× ÉÎÔÅÒ×ÁÌ (a ; b) ÒÁ×ÎÁ ÄÌÉÎÅ ÜÔÏÇÏ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ b − a, Ô.Å.

Pr{a < < b} = b − a.äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï Ó×ÏÊÓÔ×Á 2. ðÏÓËÏÌØËÕ t = F (x) ÅÓÔØ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁÑ É ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÁÑ ÏÔ t = 0 ÄÏ t = 1 ÆÕÎËÃÉÑ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ x, −∞ < x < ∞, ÔÏ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅÏÒÅÍÅÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ Ï ÏÂÒÁÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ, ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ t = F (x) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁÑ É ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÁÑ ÏÔ x = −∞ ÄÏ x = ∞ ÏÂÒÁÔÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ x = F −1 (t),ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ t, 0 < t < 1. ðÒÉ ÜÔÏÍ, × ÓÉÌÕ ÓÔÒÏÇÏÊ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔÉ É ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ ÐÒÑÍÏÊÉ ÏÂÒÁÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÊ,ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ t; 0 < t < 1; ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï{x: F (x) < t} = {x : x < F −1 (t)}É, ËÒÏÍÅ ÔÏÇÏ,³´³´ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ t; 0 < t < 1; ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï F F −1 (t) = t:óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ t, 0 < t < 1, ÆÕÎËÃÉÑ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑU (t) = Pr{ < t} = Pr{F ( ) < t} = Pr{ < F −1 (t)} = F F −1 (t) = t:ó×ÏÊÓÔ×Ï 2 ÄÏËÁÚÁÎÏ.23á.ç.

äØÑÞËÏ×: ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÒÙ§ 11.óÏ×ÍÅÓÔÎÏÅ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ,ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉΧ 11.1.äÉÓËÒÅÔÎÁÑ ÍÏÄÅÌØðÕÓÔØ {a1 ; a2 ; : : : ; aK } { ÎÁÂÏÒ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ = (!) É ÉÎÄÅËÓk = 1; 2; : : : K . ðÕÓÔØ {b1 ; b2 ; : : : ; bJ } { ÎÁÂÏÒ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ =(!), É ÉÎÄÅËÓ j = 1; 2; : : : J .ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. ðÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÎÁÂÏÒ (ÍÁÔÒÉÃÁ) {qkj } = kqkj k ÉÚ K · J ÞÉÓÅÌ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÍK XJXqkj ≥ 0;É ÚÁÄÁÀÝÉÈ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ×ÉÄÁqkj def= Pr{ = ak ; = bj };k=1 j =1qkj = 1k = 1; 2; : : : K; j = 1; 2; : : : J;(1)(2)ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÙÍ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ ÐÁÒÙ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ (; ).ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÓÏÂÙÔÉÑ{= ak ; = bj }k = 1; 2; : : : K; j = 1; 2; : : : J;ÎÅÓÏ×ÍÅÓÔÉÍÙ, Ô.Å.

ÐÏÐÁÒÎÏ ÎÅÐÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÓÏÂÙÔÉÅ{= ak } ={= bj } =Á ÓÏÂÙÔÉÅJXj =1KXk=1{= ak ; = bj }; k = 1; 2; : : : K;{= ak ; = bj }; j = 1; 2; : : : J:ïÔÓÀÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ ×ÁÖÎÏÅó×ÏÊÓÔ×Ï 1. óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÆÏÒÍÕÌÙPr{ = ak } =Pr{ = bj } =JXj =1KXk=1Pr{ = ak ; = bj } =Pr{ = ak ; = bj } =JXj =1KXk=1defqkj = qk: k = 1; 2; : : : K;defqkj = q:j j = 1; 2; : : : JÓ ÐÏÍÏÝØÀ ËÏÔÏÒÙÈ ÐÏ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏÍÕ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ {qkj } ÐÁÒÙ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ (; )×ÙÞÉÓÌÑÀÔÓÑ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÁÍÉÈ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ É .óÏÐÏÓÔÁ×ÉÍ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏÍÕ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ {qkj } = kqkj k ÆÕÎËÃÉÀ Ä×ÕÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ x,−∞ ≤ x ≤ ∞, É y , −∞ ≤ y ≤ ∞:½qkj ; ÅÓÌÉ x = ak , Á y = bj ,defq(x; y) =0; × ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ.24á.ç. äØÑÞËÏ×: ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÒÙó ÐÏÍÏÝØÀ ÜÔÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏÅ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÐÁÒÙ (; ) É ÐÏÌÕÞÁÅÍÙÅ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÁÍÓ×ÏÊÓÔ×Á 1 ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÁÍÉÈ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ É ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅPr{ = x; = y} = q(x; y);Pr{ = x} =XyXq(x; y) def= q(x; :); Pr{ = y} =q(x; y) def= q(:; y):x(3)ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2.

óÌÕÞÁÊÎÙÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ É ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÍÉ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊÐÁÒÙ ÞÉÓÅÌ (x; y) ÓÏÂÙÔÉÑ { = x} É { = y} ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ, Ô.Å.q(x; y) = Pr{ = x; = y} def= Pr{ = x} · Pr{ = y} = q(x; :) · q(:; y):(4)òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÏÐÒÏÓ Ï ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ + , Ô.Å. ÚÁÄÁÞÕ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÕÍÍÙ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ. ëÁË ÄÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ x, −∞ ≤ x ≤ ∞,×ÙÞÉÓÌÉÔØ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ Pr{ + = x} ?ó×ÏÊÓÔ×Ï 2. äÌÑ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÕÍÍÙ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ É ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÆÏÒÍÕÌÙPr{ + = x} =XyXPr{ = x − y; = y} =yq(x − y; y); −∞ ≤ x ≤ ∞;(5)ËÏÔÏÒÙÅ ÄÌÑ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÓÌÕÞÁÑ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ ÉÍÅÀÔ ×ÉÄPr{ + = x} =§ 11.2.XyPr{ = x − y} · Pr{ = y} =Xyq(x − y; :) · q(:; y); −∞ ≤ x ≤ ∞: (6)îÅÐÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÍÏÄÅÌØðÕÓÔØ p(x; y) ≥ 0 { ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÎÅÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ Ä×ÕÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ× x, −∞ < x < ∞, É y, −∞ < y < ∞, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÈÏÄÑÝÉÊÓÑ ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊÉÎÔÅÇÒÁÌZ ∞ Z ∞p(x; y) dx dy = 1; p(x; y) ≥ 0;(10 )−∞−∞ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1'.

ðÕÓÔØ −∞ ≤ a ≤ b ≤ ∞ É −∞ ≤ c ≤ d ≤ ∞ { ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. æÕÎËÃÉÑ p(x; y) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÌÏÔÎÏÓÔØÀ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏÇÏ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑÐÁÒÙ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ (; ), ÅÓÌÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÓÏÂÙÔÉÑ {a ≤ ≤ b; c ≤ ≤ d} ÚÁÄÁÅÔÓÑËÁË ÏÐÒÅÄÅÌ£ÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÉ p(x; y) ×ÉÄÁ:Pr{a ≤ ≤ b; c ≤ ≤ d} def=Z b Z dacp(x; y) dx dy:(20 )æÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÐÌÏÔÎÏÓÔÅÊ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ×ÅÌÉÞÉÎ É ÐÏÐÌÏÔÎÏÓÔÉ ÉÈ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏÇÏ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÄÁ£Ô25á.ç. äØÑÞËÏ×: ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÒÙó×ÏÊÓÔ×Ï 1'.

åÓÌÉ ÐÁÒÁ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ (; ) ÉÍÅÅÔ ÐÌÏÔÎÏÓÔØ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏÇÏ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ p(x; y), ÔÏ ÆÕÎËÃÉÉdef Z ∞defdef Z ∞defp(x; :) =p(x; y) dy = p (x) É p(:; y) =p(x; y) dx = p (y)(30 )−∞−∞Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÐÌÏÔÎÏÓÔÑÍÉ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ×ÅÌÉÞÉÎ É , Ô.Å. ÄÌÑ ÌÀÂÙÈÞÉÓÅÌ −∞ ≤ a ≤ b ≤ ∞ É ÌÀÂÙÈ ÞÉÓÅÌ −∞ ≤ c ≤ d ≤ ∞Pr{a ≤ ≤ b} =Z bap(x; :) dx É Pr{c ≤ ≤ d} =Z dcp(:; y) dy:ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ.ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2'. óÌÕÞÁÊÎÙÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ É ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÍÉ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÞÉÓÅÌ −∞ ≤ a ≤ b ≤ ∞ É ÌÀÂÙÈ ÞÉÓÅÌ −∞ ≤ c ≤ d ≤ ∞ ÓÏÂÙÔÉÑ {a ≤ ≤ b} É{c ≤ ≤ d} ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ, Ô.Å. ÄÌÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÓÏÂÙÔÉÑ {a ≤ ≤ b; c ≤ ≤ d}ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅPr{a ≤ ≤ b; c ≤ ≤ d} def= Pr{a ≤ ≤ b} · Pr{c ≤ ≤ d}:íÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ïó×ÏÊÓÔ×Ï 3. óÌÕÞÁÊÎÙÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ É Ó ÐÌÏÔÎÏÓÔØÀ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏÇÏ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑp(x; y) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÍÉ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÐÁÒÙ ÞÉÓÅÌ (x; y)ÐÌÏÔÎÏÓÔØ p(x; y) ÒÁ×ÎÁ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ ÐÌÏÔÎÏÓÔÅÊ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ É, Ô.Å.p(x; y) = p(x; :) · p(:; y);−∞ < x < ∞; −∞ < y < ∞:(40 )äÌÑ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÊ ÍÏÄÅÌÉ ÁÎÁÌÏÇÏÍ Ó×ÏÊÓÔ×Á 2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑó×ÏÊÓÔ×Ï 2'.

åÓÌÉ ÐÁÒÁ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ (; ) ÉÍÅÅÔ ÐÌÏÔÎÏÓÔØ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏÇÏ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ p(x; y), ÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ p+ (x) ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ x, −∞ ≤ x ≤ ∞,ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍÁÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊdef Z ∞p+ (x) =p(x − y; y) dy; −∞ ≤ x ≤ ∞;(50 )−∞Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÌÏÔÎÏÓÔØÀ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÕÍÍÙ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ É , Ô.Å. ÄÌÑ ÌÀÂÙÈÞÉÓÅÌ −∞ ≤ a ≤ b ≤ ∞ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÓÏÂÙÔÉÑPr{a ≤ + ≤ b} =Z bap+ (x) dx =Z b ½Z ∞a−∞¾p(x − y; y) dy dx:äÌÑ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÓÌÕÞÁÑ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ É , ÉÍÅÀÝÉÈ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÐÌÏÔÎÏÓÔÉÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ p (x) É p (x), ÐÌÏÔÎÏÓÔØ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÕÍÍÙ + ÉÍÅÅÔ ×ÉÄp+ (x) =Z ∞−∞p(x − y; :) · p(:; y) dy =Z ∞−∞26p (x − y) · p (y) dy; −∞ ≤ x ≤ ∞:(60 )á.ç.

äØÑÞËÏ×: ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÒÙðÒÉÍÅÒ. (óÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÎÏÒÍÁÌØÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ). ðÒÉÍÅÎÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×Ï 2'ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÐÌÏÔÎÏÓÔÉ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÕÍÍÙ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÎÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ ∼ N (a1 ; 1 ); M = a1 ; D = 12 É ∼ N (a2 ; 2 ); M = a2 ; D = 22 :óÏÇÌÁÓÎÏ ÄÁÎÎÏÍÕ ×ÙÛÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÐÌÏÔÎÏÓÔÉ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ ÎÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÊ ÉÍÅÀÔ ×ÉÄp (x − y) =1(√1 2exp−[(x − y ) − a1 ]2212); p (y) =(1√2 2exp−[y − a2 ]2222);ÇÄÅ ÄÌÑ ÕÄÏÂÓÔ×Á ÚÁÐÉÓÉ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ exp{z } = ez . íÏÖÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÜÔÉ ÆÏÒÍÕÌÙ ÐÏÄÓÔÁ×ÉÔØ × ÐÒÁ×ÕÀ ÞÁÓÔØ (60 ) É ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÊÏÐÒÅÄÅÌ£ÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ, ÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ p+ (x) ÐÒÉÍÅÔ ×ÉÄ:1p+ (x) = q√ exp21 + 22 · 2(−[x − (a1 + a2 )]22(12 + 22 )):üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ×ÁÖÎÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÎÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ.ó×ÏÊÓÔ×Ï 4.