А.Г. Дьячков - Вероятность, основные определения и примеры, страница 4

ÓÄÅÌÁÔØ ×Ù×ÏÄ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÉ Ó×ÑÚÉ ÎÅÐÏÄÔ×ÅÒÖÄÁÅÔÓÑ. ÷ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ, ×ÉÄÉÍÏ, ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÜËÓÐÅÒÉÍÅÎÔÙ ÐÏÄÔ×ÅÒÖÄÁÀÔ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÅ Ó×ÑÚÉ. ëÏÌÉÞÅÓÔ×ÅÎÎÕÀ ÏÃÅÎËÕ ÏÛÉÂËÉ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÄÒÁ×ÏÇÏ ÓÍÙÓÌÁÍÏÖÎÏ ÐÏÌÕÞÉÔØ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÔÅÏÒÉÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ, Á ÉÍÅÎÎÏ: ÅÓÌÉ ÐÒÉÚÎÁËÉ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ, ÔÏÍÏÖÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÕÓÌÏ×ÎÁÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØPr{n(A; B) = i | n(A) = 14; n(B) = 13} =¡13¢¡ 14 ¢i 13−i ;¡27¢13i = 0; 1; : : : ; 13:üÔÉ ÞÉÓÌÁ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÇÉÐÅÒÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅÚÁÄÁÀÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ:ÃM1Qi (M1 ; M2 ; m) def=i! ÃM2·m−i! ,Ã!M1 + M2; 0 ≤ i ≤ m ≤ M1 ≤ M2 :mPðÒÉ ÜÔÏÍ mi=1 Qi (M1 ; M2 ; m) = 1:îÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÉÌÉ ÐÏ ÔÁÂÌÉÃÁÍ ×ÙÞÉÓÌÉÍ ÎÉÖÎÉÅ k− , k = 2; 3; 4, É ×ÅÒÈÎÉÅ k+ ,k = 8; 9; 10, "È×ÏÓÔÙ" ÇÉÐÅÒÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ:k = Pr{n(A; B) ≤ k | n(A) = 14; n(B) = 13} =−k ¡13¢¡ 14 ¢Xi 13−i¡27¢i=013 :0014;=  :016;:087;ÅÓÌÉ k = 2,ÅÓÌÉ k = 3,ÅÓÌÉ k = 4, :006;ÅÓÌÉ k = 10,=  :041; ÅÓÌÉ k = 9,= Pr{n(A; B) ≥ k | n(A) = 14; n(B) = 13} =:169; ÅÓÌÉ k = 8.÷Ù×ÏÄÙ Ï Ó×ÑÚÉ ÍÅÖÄÕ ÐÒÉÚÎÁËÁÍÉ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÓÄÅÌÁÎÙ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÆÏÒÍÅ.÷Ù×ÏÄÙ.

ðÒÅÄÐÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÐÙÔÏ× Ó n = 27 ÉÓÐÙÔÕÅÍÙÍÉ ÐÏÌÕÞÅÎÁ(2 × 2)-ÔÁÂÌÉÃÁ ÓÏÐÒÑÖ£ÎÎÏÓÔÉ, × ËÏÔÏÒÏÊ13 ¡13¢¡ 14 ¢Xi 13−i¡27¢i=k13k+n(A) = 14; n(B) = 13;n(A; B) = k; ÇÄÅ k = 2; 3; 4 ÉÌÉ k = 10; 9; 8:ðÒÉ k = 2; 3; 4 (k = 10; 9; 8) ÐÒÉÎÉÍÁÅÔÓÑ ÏÐÉÒÁÀÝÅÅÓÑ ÎÁ ÚÄÒÁ×ÙÊ ÓÍÙÓÌ ÒÅÛÅÎÉÅ Ï ÎÁÌÉÞÉÉ ÐÒÑÍÏÊ (ÏÂÒÁÔÎÏÊ) Ó×ÑÚÉ ÍÅÖÄÕ ÐÒÉÚÎÁËÁÍÉ. ôÏÇÄÁ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÏÃÅÎËÏÊ ÏÛÉÂËÉÒÅÛÅÎÉÑ ÚÄÒÁ×ÏÇÏ ÓÍÙÓÌÁ Ï ÎÁÌÉÞÉÉ ÐÒÑÍÏÊ (ÏÂÒÁÔÎÏÊ) Ó×ÑÚÉ ÍÅÖÄÕ ÐÒÉÚÎÁËÁÍÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑÞÉÓÌÏ k− , (k+ ), ËÏÔÏÒÏÅ ÍÏÖÎÏ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÉÒÏ×ÁÔØ ËÁË ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÎÁÐÒÁÓÎÏÇÏ ÏÔËÁÚÁ ÏÔÇÉÐÏÔÅÚÙ Ï ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÐÒÉÚÎÁËÏ×.16á.ç.

äØÑÞËÏ×: ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÒÙ§ 10.óÌÕÞÁÊÎÙÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ É ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅʧ 10.1.äÉÓËÒÅÔÎÁÑ ÍÏÄÅÌØòÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÕÞÁÊÎÙÊ ÏÐÙÔ, ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÁÑ ÍÏÄÅÌØ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ = {!} É ÎÁÂÏÒÏÍ ÞÉÓÅÌPr{!}; 0 ≤ Pr{!} ≤ 1;X!Pr{!} = 1;Ñ×ÌÑÀÝÉÈÓÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÑÍÉ ÜÔÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ.ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. óÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÏÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ×ÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ = (!), ÏÐÒÅÄÅÌ£ÎÎÁÑ ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÑÈ ! ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á = {!}.ðÒÉÍÅÒ. (óÌÕÞÁÊÎÙÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ × ÍÏÄÅÌÉ (n; p)-ÉÓÐÙÔÁÎÉÊ âÅÒÎÕÌÌÉ.) ðÕÓÔØ Ä×ÏÉÞÎÙÅ (ÉÚ 1 É 0) ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ! = (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍÉ ÓÏÂÙÔÉÑÍÉ ÄÌÑ ÍÏÄÅÌÉ (n; p)-ÉÓÐÙÔÁÎÉÊ âÅÒÎÕÌÌÉ.

üÔÏÔ ÓÌÕÞÁÊÎÙÊ ÏÐÙÔ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÚ n ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÉÓÐÙÔÁÎÉÊ Ó Ä×ÕÍÑ ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ ÉÓÈÏÄÁÍÉ × i-ÔÏÍ,i = 1; 2; : : : ; n, ÉÓÐÙÔÁÎÉÉ: ÕÓÐÅÈÏÍ ÉÌÉ ÎÅÕÄÁÞÅÊ. õÓÐÅÈ × ËÁÖÄÏÍ ÉÓÐÙÔÁÎÉÉ ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÓÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ p, 0 < p < 1, É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ 1, Á ÎÅÕÄÁÞÁ ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔ Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ 1 − p É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ 0. óÏÇÌÁÓÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ,×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÇÏ ÓÏÂÙÔÉÑ ! = (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) ÚÁÄÁ£ÔÓÑ ËÁË ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÉÓÈÏÄÏ×, ÏÔÎÏÓÑÝÉÈÓÑ Ë ÒÁÚÎÙÍ ÉÓÐÙÔÁÎÉÑÍ:Pr{!} = Pr{(x1 ; x2 ; : : : ; xn )} = Pr{x1 } · Pr{x2 } · : : : · Pr{xn };ÇÄÅ Pr{1} = p, Á Pr{0} = 1 − p. ÷×ÅÄ£Í Ä×ÏÉÞÎÙÅ ÓÌÕÞÁÊÎÙÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ i = i (!), ËÁÖÄÁÑÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÏÖÅÔ ÐÒÉÎÑÔØ ÏÄÎÏ ÉÚ Ä×ÕÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ 1 ÉÌÉ 0:½1; ÅÓÌÉ × i-ÏÍ ÉÓÐÙÔÁÎÉÉ ÂÙÌ ÕÓÐÅÈ,i = i (!) = 0; ÅÓÌÉ × i-ÏÍ ÉÓÐÙÔÁÎÉÉ ÂÙÌÁ ÎÅÕÄÁÞÁ, i = 1; 2; : : : ; nÁ ÔÁËÖÅ ÓÌÕÞÁÊÎÕÀ ×ÅÌÉÞÉÎÕ Sn = Sn (!), ÎÁÚÙ×ÁÅÍÕÀ ÞÉÓÌÏÍ ÕÓÐÅÈÏ× × n ÉÓÐÙÔÁÎÉÑÈ,ËÏÔÏÒÁÑ ÍÏÖÅÔ ÐÒÉÎÑÔØ ÏÄÎÏ ÉÚ n + 1 ÃÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ {0; 1; : : : ; n}:Sn = Sn (!) = k; ÅÓÌÉ × n ÉÓÐÙÔÁÎÉÑÈ ÐÒÏÉÚÏÛÌÏ k ÕÓÐÅÈÏ×; k = 0; 1; : : : ; n:äÌÑ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÓÌÕÞÁÑ n = 3 ÜÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÔÓÑ ÔÁÂÌÉÃÅÊ:! = (x1 ; x2 ; x3 )Pr{!}1 = 1 (!) 2 = 2 (!) 3 = 3 (!) S3 = S3 (!)3! = (0; 0; 0)(1 − p)0000! = (0; 0; 1)p(1 − p)200112! = (0; 1; 0)p(1 − p)0101,! = (0; 1; 1)p2 (1 − p)01122! = (1; 0; 0)p(1 − p)1001! = (1; 0; 1)p2 (1 − p)10122! = (1; 1; 0)p (1 − p)1102! = (1; 1; 1)p3111317á.ç.

äØÑÞËÏ×: ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÒÙæÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ÚÁÐÉÓÉ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ ËÁË ÆÕÎËÃÉÊ ÏÔ ! = (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ:i = i (!) = i ((x1 ; x2 ; : : : ; xn )) = xi ; i = 1; 2; : : : ; n;Sn = Sn (!) = Sn ((x1 ; x2 ; : : : ; xn )) =nXi=1xi =nXi=1i :ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÞÅÒÅÚ a1 ; a2 ; : : : ; aK , K = 1; 2; : : :.ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ K = 1 ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ = c, ÇÄÅ c = a1 , Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÏÊ (ÎÅÓÌÕÞÁÊÎÏÊ) ×ÅÌÉÞÉÎÏÊ.

úÎÁÞÅÎÉÑ a1 ; a2 ; : : : ; aK ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÌÀÂÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ, ËÁËÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍÉ, ÔÁË É ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÙÍÉ. ðÒÉ K ≥ 2 ÄÌÑ ÏÐÒÅÄÅÌ£ÎÎÏÓÔÉ, ÎÅ ÎÁÒÕÛÁÑ ÏÂÝÎÏÓÔÉ, ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ a1 < a2 < · · · < aK . ðÕÓÔØ qk , k = 1; 2; : : : ; K , ÅÓÔØ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÓÏÂÙÔÉÑ { = ak }, Ô.Å.KXqk = Pr{ = ak }; ÇÄÅk=1qk = 1:ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2. òÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÑ q(x) ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ x, −∞ ≤ x ≤ ∞, ×ÉÄÁ:½ÅÓÌÉ x = ak , k = 1; 2; : : : ; K ,q(x) def= q0k; ; ÄÌÑÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ x, −∞ ≤ x ≤ ∞,ôÁËÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ q(x) ÎÁÚÏ×ÅÍ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÏÊ.íÙ ÂÕÄÅÍ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ËÒÁÔËÕÀ ÚÁÐÉÓØ ÄÁÎÎÏÇÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ: ∼ q(x) =½qk ; ÅÓÌÉ x = ak , k = 1; 2; : : : ; K ,0; ÄÌÑ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ x.(1)ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÎÅÓÌÕÞÁÊÎÏÊ (ÄÅÔÅÒÍÉÎÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ) ×ÅÌÉÞÉÎÙ = c ÔÁËÁÑ ÚÁÐÉÓØ ÉÍÅÅÔ×ÉĽ1; ÅÓÌÉ x = c,c ∼ q(x) = 0; ÄÌÑ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ x.äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ x, −∞ ≤ x ≤ ∞, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑq(x) = Pr{ = x} ≥ 0 ÉXxq(x) =KXk=1qk = 1:(2)ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ −∞ ≤ a < b ≤ ∞ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÓÏÂÙÔÉÑPr{a ≤ ≤ b} =PXx : a≤x≤bq(x):(3)úÁÐÉÓØ ÐÏÄ ÚÎÁËÏÍ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÂÅÒ£ÔÓÑ ÐÏ ×ÓÅÍ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÍ ÞÉÓÌÁÍx ÔÁËÉÍ, ÞÔÏ a ≤ x ≤ b.ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 3.

æÕÎËÃÉÑ F (t) ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ t, −∞ ≤ t ≤ ∞, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑÆÕÎËÃÉÅÊ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ (ÉÌÉ, ËÒÁÔËÏ, ∼ F (t)), ÅÓÌÉ18á.ç. äØÑÞËÏ×: ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÒÙ0; q1 ; q1 + q2 ;:::Pki=1 qi ;:P: :K −1 q ; i=1 iÅÓÌÉ t ≤ a1 ,ÅÓÌÉ a1 < t ≤ a2 ,ÅÓÌÉ a2 < t ≤ a3 ,X::::::defF (t) = Pr{ < t} =q(x) =ÅÓÌÉak < t ≤ ak+1 , k = 1; 2; : : : ; K − 1,x : x<t::::::ÅÓÌÉ aK −1 < t ≤ aK ,1;ÅÓÌÉ t > aK .(4)æÕÎËÃÉÑ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ F (t) ÅÓÔØ ÓÔÕÐÅÎÞÁÔÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ, ÍÅÎÑÀÝÁÑ Ó×ÏÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ × ÔÏÞËÁÈ,ÓÏ×ÐÁÄÁÀÝÉÈ ÓÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ a1 < a2 < : : : < aK ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ .÷ ÒÅÁÌØÎÙÈ ÎÁÕÞÎÙÈ ÏÐÙÔÁÈ ÃÅÌØÀ ÜËcÐÅÒÉÍÅÎÔÁÔÏÒÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏÌÕÞÅÎÉÅ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÉÏ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÍ 1 ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ (1) ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ (ÐÒÉÚÎÁËÁ) ÎÁÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÏÐÙÔÏ× Ó n ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍÉ ÉÓÐÙÔÕÅÍÙÍÉ, ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈÏÎ ÒÅÇÉÓÔÒÉÒÕÅÔ ÏÄÎÏ ÉÚ {a1 ; a2 ; : : : ; aK } ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ .ðÕÓÔØ n(ak ), { ÚÁÒÅÇÉÓÔÒÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ × n ÏÐÙÔÁÈÞÉÓÌÏ ÉÓÐÙÔÕÅÍÙÈ, Õ ËÏÔÏÒÙÈ ÐÒÉÚÎÁËPK = ak .

ðÒÉ ÜÔÏÍ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, 0 ≤ n(ak ) ≤ n É k=1 n(ak ) = n. åÓÌÉ K ¿ n, ÔÏ × ÐÒÉÎÃÉÐÅÍÏÖÎÏ ÐÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÞÁÓÔÏÔÎÙÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅÍ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉn(ak );k = 1; 2; : : : ; K:näÌÑ ÍÎÏÇÉÈ ÄÒÕÇÉÈ ÐÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÈ ÓÉÔÕÁÃÉÊ (ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ËÏÇÄÁ K > n) ÔÁËÏÅ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ. öÅÌÁÔÅÌØÎÏ ÐÏÜÔÏÍÕ ÏÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÏ×ÁÔØ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ (1) ÎÅÓËÏÌØËÉÍÉ ÞÉÓÌÏ×ÙÍÉ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÏÃÅÎÉ×ÁÔØ ÜËcÐÅÒÉÍÅÎÔÁÌØÎÏ. óÅÊÞÁÓ ÍÙ ÚÁÊÍ£ÍÓÑ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÍ ××ÅÄÅÎÉÅÍ Ä×ÕÈ ×ÁÖÎÅÊÛÉÈ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ×,Ó×ÏÊÓÔ×Á ËÏÔÏÒÙÈ ÂÕÄÕÔ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÙ × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ.ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 4. þÉÓÌÁqk = Pr{ = ak } ≈M def=Xxx · q(x) =KXk=1ak · qk ; D def=Xx(x − M )2 · q(x) =KXk=1(ak − M )2 · qk (5)ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÏÖÉÄÁÎÉÅÍ (ÓÒÅÄÎÉÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ) É ÄÉÓÐÅÒÓÉÅÊ (ÓÒÅÄÎÉÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ Ë×ÁÄÒÁÔÁ ÏÔËÌÏÎÅÎÉÊ ÏÔ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÖÉÄÁÎÉÑ) ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ Ó ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ (1).√ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÄÉÓÐÅÒÓÉÑ D ≥ 0.

þÉÓÌÏ def= D , ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔÓ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØÀ , ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÒÅÄÎÅË×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÍ ÏÔËÌÏÎÅÎÉÅÍ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ .úÁÍÅÞÁÎÉÅ. åÓÌÉ ÞÉÓÌÁ a1 < a2 < · · · < aK Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ , ÔÏ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÖÉÄÁÎÉÑ M ËÁË ÓÒÅÄÎÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ Ó×ÑÚÁÎÁ Ó ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍÉ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍÉ a1 ≤ M ≤ aK .1 îÁÐÒÉÍÅÒ,ÏÂÙÞÎÏ ÜËÓÐÅÒÉÍÅÎÔÁÔÏÒ ÚÎÁÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {a1 ; a2 ; : : : ; aK } ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ , ÎÏ ÎÅÚÎÁÅÔ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ qk = Pr{ = ak }, k = 1; 2; : : : ; K , Ó ËÏÔÏÒÙÍÉ ÐÒÉÚÎÁË ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ÜÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ.19á.ç.

äØÑÞËÏ×: ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÉÍÅÒÙðÒÉÍÅÒ. (íÏÄÅÌØ (n; p)-ÉÓÐÙÔÁÎÉÊ âÅÒÎÕÌÌÉ.) òÁÚÌÉÞÎÙÅ ÓÌÕÞÁÊÎÙÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ i , i =1; 2; : : : ; n, ËÏÔÏÒÙÅ × ÜÔÏÊ ÍÏÄÅÌÉ ÒÅÇÉÓÔÒÉÒÕÀÔ ÕÓÐÅÈÉ - ÎÅÕÄÁÞÉ × n ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÉÓÐÙÔÙÎÉÑÈ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÉÍÅÀÔ ÏÄÎÏ É ÔÏ ÖÅ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ: 1 − p;ÅÓÌÉ x = 0,ÅÓÌÉ x = 1,ÄÌÑ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ x, −∞ ≤ x ≤ ∞,i ∼ q(x) =  p;0;ÉÌÉ 0;ÅÓÌÉ t ≤ 0,1−p;ÅÓÌÉ 0 < t ≤ 1,i ∼ F (t) = Pr{i < t} = 1;ÅÓÌÉ t > 1.çÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ F (t) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ÎÅÕÂÙ×ÁÀÝÅÊ ÓÔÕÐÅÎÞÁÔÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ, ËÏÔÏÒÁÑ ÍÅÎÑÅÔ Ó×ÏÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÐÒÉ t = 0 É ÐÒÉ t = 1.

íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÖÉÄÁÎÉÅKXMi =k=1ak · qk = 0 · (1 − p) + 1 · p = p;Á ÄÉÓÐÅÒÓÉÑDi =KXk=1(ak − Mi )2 · qk = (0 − p)2 · (1 − p) + (1 − p)2 · p = p(1 − p)[p + (1 − p)] = p(1 − p):þÉÓÌÏ ÕÓÐÅÈÏ× × n ÉÓÐÙÔÁÎÉÑÈSn ∼ q(x) =½ ¡n¢ xn− x ;x p (1 − p)0;íÏÖÎÏ ÔÁËÖÅ ÎÁÐÉÓÁÔØ, ÞÔÏ Sn;0PF (t) = Pr{Sn < t} = 1;∼ÅÓÌÉ x = 0; 1; : : : ; n,ÄÌÑ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ x, −∞ ≤ x ≤ ∞.F (t), ÇÄÅ ÆÕÎËÃÉÑ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑk ¡n¢pi (1 − p)n−i ;i=0 iÅÓÌÉ t ≤ 0,ÅÓÌÉ k < t ≤ k + 1, k = 0; 1; : : : ; n − 1,ÅÓÌÉ t > n.äÌÑ ÌÀÂÙÈ ÃÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ 0 ≤ a ≤ b ≤ n ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÓÏÂÙÔÉÑPr{a ≤ Sn ≤ b} =b à !Xni=aipi (1 − p)n−i :óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÖÉÄÁÎÉÑ É ÄÉÓÐÅÒÓÉÉ ÞÉÓÌÁ ÕÓÐÅÈÏ× × ÍÏÄÅÌÉ (n; p)-ÉÓÐÙÔÁÎÉÊ âÅÒÎÕÌÌÉ:MSn =DSn =nXi=0nXi=0à !i·n ip (1 − p)n−i = np;ià !(i − np)2 ·n ip (1 − p)n−i = np(1 − p):i20á.ç.