Задача 9. Спектр водорода. Изотопический сдвиг двух первых линий серий Бальмера водорода и дейтерия. (Задачи атомного практикума)

Московский государственный университетимени М.В. ЛомоносоваМосковский государственный университетимени М.В. ЛомоносоваНаучно_исследовательский институтядерной физики имени Д.В.СкобельцынаНаучно_исследовательский институтядерной физики имени Д.В.СкобельцынаАтомный практикумАтомный практикумИщенко С.В. ,Красильников С. С.,Красильникова Н.А. , Смирнов А. В.Спектр атома водородаЛабораторная работа № 5Изотопический сдвигСпектр атома водородаЛабораторная работа № 5Изотопический сдвигЛабораторная работа № 9Лабораторная работа № 9УНЦ ДОМосква20050Под редакциейКрасильникова С. С.УНЦ ДОМосква20051СПЕКТР АТОМА ВОДОРОДАУДКББКВведениеИщенко С.В. , Красильников С. С., Красильникова Н.А. ,Смирнов А. В. Спектр атома водорода. Изотопическийсдвиг.

Лабораторные работы № 5,9./Под редакцией Красильникова С.С..Учебное пособие.М.:Издательский отдел УНЦ ДО,2005.-50 с.ISBN 5-211-03287Лабораторная работа из цикла «Атомный практикум» физического факультета МГУ по общему курсу «Атомная физика».Для студентов физического факультета МГУ.Под редакцией КрасильниковаС.С.ISBN 5-211-03287©©Ищенко С.В. , Красильников С. С.,Красильникова Н.А. , Смирнов А. В.Московский государственныйуниверситет, 20052Спектр атома водорода всегда привлекал внимание исследователей своей относительной простотой. Наиболее удивительным обстоятельством были целые числа в эмпирическойформуле Бальмера для волновых чисел ν nn ' в спектральныхсериях атома водорода 11 =R−(1)2n2n n' λ n n'n'где R - постоянная Ридберга, n и n ' целые числа ; n ' = n + i ,ν=1i = 1,2,3... номер линии в серии начиная с головной линии, имеющей наибольшую (в серии) длину волны.

После открытия электрона и ядра атома задача об атоме водорода стала принципиальной задачей физики атома, ибо атом водорода являетсяединственным в природе атомом о котором можно сказатьточно: в этом атоме один электрон движется в кулоновскомполе одного положительного ядра, зависимость потенциалаот расстояния r до ядра точно известна e/r . Именно в силуэтого обстоятельства спектр излучения атома водорода сталэффективным полигоном для испытания различных физическихмоделей и теорий, начиная с атома Бора и первых попыток квантовой механики и кончая современной квантовой электродинамикой.Бор в своей полуклассической теории объяснил формулуБальмера ценой введения правила квантования момента импульса атома, постулатов о стационарных состояниях атома ичастоте излучения при переходах между ними.Учет движения ядра в атоме позволил с большой точностью вычислить постоянную Ридберга в формуле Бальмера ипоказал, что различные изотопы должны иметь спектральныелинии, отличающиеся по длине волны - изотопический сдвиг.Развитие экспериментальной техники позволило обнаружить тонкую структуру спектральных линий атома водорода.Она была объяснена учетом релятивистской зависимости массыэлектрона от его скорости и введением принципиально новойхарактеристики электрона - собственного момента импульса3(спина) и собственного (спинового) магнитного момента.

Теория тонкой структуры вводит в задачу новый вид взаимодействия - спин-орбитальное взаимодействие и приводит к одинаковой энергии электрона в состояниях с одинаковыми главнымквантовым числом n и квантовым числом полного момента импульса j.Однако, Лэмб и Ризерфорд показали, что уровень2 s 1/ 2 смещен вверх (имеет более высокую энергию) относительно уровня2 p 1/ 2 . Этот «лэмбовский сдвиг» обусловленвзаимодействием электрона с вакуумом. Вакуум, согласно современным представлениям, соответствует такому квантовомусостоянию материи, в котором отсутствуют реальные частицы иэлектромагнитные кванты. Это состояние описывается такимобразом, что пространство оказывается заполненным виртуальными (еще не рожденными) частицами и «нулевыми колебаниями» электромагнитного поля.

Взаимодействием с ними и обусловлен лэмбовский сдвиг.Сверхтонкая структура спектральных линий обусловлена взаимодействием полного (суммы спинового и орбитального) магнитного момента электрона с магнитным моментом ядра.Наконец, конечный размер протона и связанное с нимотклонение от закона Кулона, приводит к еще более мелкомасштабному сдвигу уровней энергии атома. Перечисленные взаимодействия приводят к расщеплению спектральных линий следующих порядков величин (в порядке перечисления):λ :λиз .сдв .: ∆λ тонк .стр .: ∆λ лэмб .

:здесьm-массаэлектрона,M-2,массапротона,α = e / hc = 1 / 1372- постоянная тонкой структуры, определяющая иерархию взаимодействий и расщеплений в атоме.В лабораторных работах № 5 и № 9 исследуются :4№ 9 - изотопический сдвиг на линияхHα и H β .Спектральные серии.Спектральная серия возникает при разрешенных излучательных квантовых переходах с различных возбужденных уровней энергии n’ на один и тот же конечный уровень n (n < n ’ ) исходится к границе серии при n ' → ∞ . Теория Бора (см.

[1] ,§ 107) дает следующее выражение для частоты спектральнойлинии атома водорода:hω n ' → n = E n ' − E n =m e 4  11−2 h 2  n 2n' 2(2)h - постоянная Планка, ωn '→n - циклическая частота излучения; E , E - верхний и нижний уровни энергии; m, e - массагдеn'nи заряд электрона. Для каждой спектральной серии число n, определяющее нижний уровень серии, постоянно, а число n ' , определяющее верхний уровень, равно n ' = n + i, i = 1,2,3...- номер линии в серии. Переходам на различные нижние уровни соответствуют различные спектральные серии:: ∆λ сверх.тонк .: ∆ λ кон . разм . ≈mmm: α 2: α 3: α 2: α 2 ≈1 :MMM № 5 - одна из спектральных серий атома водорода - серия Бальмера и тонкая структура ее головной линии Hα .n = 1 - серия Лаймана;n = 2 - серия Бальмера;n = 3 - серия Пашена;n = 4 - серия Брэкетта;n = 5 - серия Пфунда;n = 6 - серия Хэмфри;n = 7 - серия Хансена-Стронга;Величина5Ry =me42h2,(3)1λ ni= R Di ( n ) ; 1D i ( n ) = n−2,(n + i ) 2 1(4)имеющая размерность энергии, носит название «ридберг» (вчесть шведского спектроскописта Ридберга) и равна Ry = 13,6эВ; это энергия перехода с самого нижнего уровня n = 1 на уровни n → ∞ - энергия связи электрона в атоме водорода.

Спектроскопическая постоянная Ридберга R связана с энергией Ryследующим образомполучим выражение для отношения двух длин, не содержащеепостоянной Ридберга:Эмпирическое значение постоянной Ридберга для атома водо-Рассматривая левую часть соотношения (5) как функцию непрерывной переменной n, приходим к выводу - номер нижнегоуровня n есть корень уравнения F (n) = 0 для любой парыRy = 2 π h c R.–1рода есть R = 109677 см . Как видно из (2) все спектральныесерии атома водорода имеют одинаковую структуру - головнаялиния в серии ( i = 1 ) имеет наибольшую (в этой серии) длинуволны 11=R− n 2 (n + 1) 2λг1линии сходятся к конечному пределу при;i →∞:1λ∞=Rn.2λ ni 'λni−Di( n )D i' ( n )= F ii ' ( n ) = 0.(5)ii'спектральных линий i , i ' одной серии. Уравнения (5) могут бытьрешены численно, графически и т.д. После определения номеранижнего уровня постоянная Ридберга вычисляется по формуле(4) :R=1λ ni D i (n );i = 1,2 ,3...Вид спектральной серии изображен на рис.

1.Рис.1. Вид спектральной серии атома водорода.Важной задачей эксперимента является установлениеномера нижнего уровня - n. Методика эмпирического определения номера нижнего уровня следующая. Записав формулуБальмера (2) в виде62. Тонкая структура энергетических уровней атомаводорода.Тонкую структуру энергетических уровней атома водорода порождают два физических ( релятивистских ) фактора.1. Релятивистский эффект зависимости массы электронаот скорости его движения вокруг атомного ядра.2. Взаимодействие собственного магнитного моментаэлектрона с магнитным полем, индуцируемым в системе координат электрона при его движении в электростатическом поле ядра.Последний фактор, связанный со спином электрона и егоорбитальным движением также обладает релятивистской природой.При расчете энергетического спектра атома с помощьюуравнения Шредингера эти факторы нельзя учесть, посколькуоно не удовлетворяет требованиям теории относительности.Поэтому при помощи уравнения Шредингера нельзя описать7тонкую структуру энергетического спектра атома.

Энергетический спектр атома и его тонкую структуру можно рассчитать спомощью уравнения Дирака - квантовомеханического уравнения,учитывающего требования специальной теории относительности. Можно поступить иначе и воспользоваться менее строгим,но физически более наглядным способом - рассмотрением энергетических поправок к уровням энергии атома водорода, обусловленных каждым из указанных выше факторов.

В наших условиях предпочтительнее второй путь.Влияние релятивистского эффекта на энергетическиесостояния атома было впервые рассмотрено Зоммерфельдом(1916 г.). Полная энергия E электрона в атоме равна суммекинетической и потенциальной энергий :E = U( r ) + W ;(6)кинетическая энергия W равна ( p - импульс электрона):W =m0 cПри22 p1+ m c 0 − m0 c 2.(7)v << c (или p << m c 2 ) соотношение (7) можно0представить в видеW = W0 −здесь1 W02 m0 c 2,(8)00электрона; в этом приближении полная энергия электрона ватоме может быть записана в виде;1 W02 m0 c8peлятивистского эффекта. Обратим внимание на знак второгочлена в соотношениях (8) и (9) oн всегда отрицательный !Релятивистскую энергетическую поправку к энергии ввыражении (9)W0 2−,(10)2 m0 c 2используя равенствоE = U (r ) + W , запишем в виде002(E0 −U ( r ))δ U( r ) = −2.(11)2 m0 cЭту поправку можно трактовать как добавочное взаимодействиерелятивистской природы, описываемое потенциалом (11).