А.А. Васильева, Д.В. Гальцов - Математические дополнения к курсу квантовой механики

Математические дополнения к курсуквантовой механикиА. А. ВасильеваД. В. ГальцовАннотацияВ этом тексте собраны основные математические утверждения, используемые в квантовой механике, которые необходимы для более глубокого понимания ее математического аппарата. В нем можнонайти сведения из теории неограниченных операторов в гильбертовом пространстве, строгие решениянекоторых стандартных задач, а также ссылки на математическую литературу для дальнейшего изучения. Изложение следует курсу, читаемому одним из авторов на механико-математическом факультетеМГУ (Д. В. Гальцов, Теоретическая физика для студентов-математиков, ч.

2; М.:МГУ, 2003).c А. А. Васильеваc Д. В. ГальцовМосква, 2006Содержание1 Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве и связьникой.1.1 Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве . . . . . . . .1.2 Проекторнозначные меры и спектральная теорема . . .

. . . . . . . . . .1.3 Основные принципы квантовой механики . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4 Спектральная теорема фон Неймана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5 Определение операторов с помощью квадратичныхформ . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6 Принцип минимакса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.7 Оснащение гильбертова пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.8 Представления . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .с квантовой меха................................................44689................................................101212152 Одновременная измеримость и соотношениенеопределенностей173 Картины Гейзенберга и Шредингера194 Теория рассеяния225 Одномерное движение5.1 Достаточные условия самосопряженности оператора Шредингера . . . .

. . . . . . . . .5.2 Гармонический осциллятор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.3 Решение спектральной задачи для одномерного оператора Шредингера (общая схема)5.4 Свободная частица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .5.5 Движение на полупрямой и на отрезке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.6 Потенциальная стенка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.7 Способы задания операторов Штурма–Лиувилля с сингулярными потенциалами . . . .5.8 Регулярность обобщенных собственных функцийоператора Штурма–Лиувилля .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.9 Общий вид собственных функций одномерного уравнения Шредингера . . . . . . . . .5.10 Решения Йоста . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .5.11 Отсутствие сингулярного спектра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.12 Задание волновых операторов в случае быстро убывающих потенциалов . . . . . . . . .5.13 Периодический потенциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.14 Когерентные состояния для гармонического осциллятора . . . . . . . .

. . . . . . . . . ......................2323252727283034.....................373942434548506 Трехмерные задачи6.1 Достаточные условия самосопряженности оператора Шредингера . . . . . .6.2 Разделение переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .6.3 Орбитальный момент количества движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.4 Представления SU (2) и спиновый момент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.5 Вспомогательные утверждения об операторе Штурма–Лиувилля в L2 (R+ ) .6.6 Движение в центральном поле .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.7 Кулоново поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.8 Симметрия SO(4) для кулонова поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.9 Рассеяние . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.10 Состояния непрерывного спектра в случае кулоновского поля . . . . . . . .....................................................................................................54545556595963656768737 Квантование по Бору–Зоммерфельду7.1 Основные понятия . . . . . . . . . . . . . .

.7.2 Условно-периодическое движение . . . . . .7.3 Правила квантования Бора–Зоммерфельда7.4 Схема доказательства правил квантования7.5 Квантование орбит в атоме водорода . . . ..................................................................................................................................................7474757676788 Теория возмущений8.1 Регулярная теория возмущений .

. . .8.2 Асимптотическая теория возмущений8.3 Концентрация спектра . . . . . . . . .8.4 Квантовые переходы . . . . . . . . . .8.5 Рассеяние в борновском приближении.................................................................................................................................................797981828486...............29 Квантовая статистика9.1 Операторы со следом .

. . . . . . . . . . . . . . . .9.2 Матрица плотности . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.3 Равновесные состояния для эргодических систем,близких к неэргодическим . . . . . . . . . . . . . .9.4 Принцип максимума энтропии . . . . . . . . . . . .87. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . 87. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9210 Дополнение 1: Основные понятия из функционального анализа10.1 Общая топология . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.2 Теория меры и интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.3 Линейные нормированные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . .10.4 Обобщенные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.5 Задачи выпуклого программирования. . . .

. . . . . . . . . . . . . . .......................................................................93939496989911 Дополнение 2: Группы и алгебры Ли11.1 Непрерывные группы . . . . . . . . . .11.2 Алгебры Ли . . . . . . . . . .

. . . . .11.3 Классификация алгебр и групп Ли . .11.4 Представления . . . . . . . . . . . . . .........................................................100100101103104................12 Список литературы.........................................................10731Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве исвязь с квантовой механикой.В этой главе вводится понятие самосопряженного оператора, приводятся условия самосопряженности,способы построения самосопряженных операторов и две формы спектральной теоремы: в терминах проекторнозначной меры и в терминах обобщенного преобразования Фурье. Формулируются основные принципы квантовой механики (в соответствии с [23]).

Вводится понятие обобщенных собственных векторов,с помощью которых осуществляется обобщенное преобразование Фурье.1.1Неограниченные операторы в гильбертовом пространствеВсюду через H обозначается сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство над полем C соскалярным произведением h·, ·i, линейным по правому аргументу.1Определение 1.1. Пусть D(T ) ⊂ H — всюду плотное линейное подмногообразие. Оператором на гильбертовом пространстве H называется линейное отображение T : D(T ) → H.

Множество D(T ) называется областью определения оператора T .Пример. Пусть H = L2 (I), где I ⊂ R — промежуток. Рассмотрим оператор T f (x) = f ′ (x) с областьюопределения D(T ) = C0∞ (I). Тогда оператор T является неограниченным. В самом деле, пусть [a, b] ⊂ I,a < ã < b̃ < b. Пусть η — бесконечно гладкая функция, η|I\[a, b] ≡ 0, η|[ã, b̃] ≡ 1. Положим ϕn (x) =η(x) sin nx. Тогда последовательность {kϕn kL2 (I) } ограничена, а {kϕ′n kL2 (I) } неограничена.Если оператор ограничен, то его можно однозначно продолжить по непрерывности на все гильбертовопространство. Если оператор неограниченный, то область определения выбирается, вообще говоря, неоднозначно.

В частности, в предыдущем примере в качестве D(T ) можно также взять W21 (I) или W̊21 (I). Всвязи с этим возникают понятия расширения и замыкания оператора.Определение 1.2. Пусть T1 и T — операторы в H. Оператор T1 называется расширением оператораT , если D(T1 ) ⊃ D(T ) и T1 |D(T ) = T .Графиком Γ(T ) линейного оператора T называется множество пар{(ϕ, T ϕ)| ϕ ∈ D(T )} ⊂ H × H.В качестве скалярного произведения в H × H беретсяh(ϕ1 , ψ1 ), (ϕ2 , ψ2 )i = hϕ1 , ϕ2 i + hψ1 , ψ2 i.Оператор T называется замкнутым, если Γ(T ) — замкнутое подмножество в H × H. Оператор T замыкаем, если он имеет замкнутое расширение. Каждый замыкаемый оператор имеет наименьшее замкнутоерасширение, называемое замыканием и обозначаемое T .Заметим, что если оператор ограничен, то его замыкание совпадает с продолжением по непрерывностина все гильбертово пространство.Найдем замыкание оператора дифференцирования в H = L2 [a, b], с областью определения D(T ) =C0∞ (a, b).