Ответы на билеты, страница 5

Ýòè óãëû íà ñôåðå, à êîíåöâîë÷êà îïèñûâàåò íà ñôåðå öèêëîèäîïîäîáíûå òðàåêòîðèè, ê ñîæàëåíèÞ.íåïåðåäàâàåìûå â ïå÷àòíîì âèäå.Âîïðîñ 2525. Íàéäèòå îáùåå påøåíèå ópàâíåíèé äâèæåíèÿ êîíñåpâàòèâíîéñèñòåìû â ìàëîé îêpåñòíîñòè ïîëîæåíèÿ pàâíîâåñèÿ. Ïpè êàêèõóñëîâèÿõ ñèñòåìà áóäåò âñå âðåìÿ îñòàâàòüñÿ â ýòîé îêpåñòíîñòè?Ðàññìîòðèì îáùèé âèä ëàãðàíæèàíà êîíñåðâàòèâíîé ñèñòåìû:L = a(q)ij q̇i q̇j − U (q)Ïðåäïîëîæèì íàëè÷èå óñòîé÷èâîãî ïîëîæåíèÿ: 5U = 0, ðåàëèçóþùåãîñÿ ïðè q0 è ðàçëîæèì ïîòåíöèàë â ðÿä ïî q − q0 äî âòîðîãî ÷ëåíà âêëþ÷èòåëüíî. Ïåðåéäåì òåïåðü ê êîîðäèíàòàì ξ = q − q0 .

Ñ òîé æå ñòåïåíü25òî÷íîñòè ìîæíî çàìåíèòü è êèíåòè÷åñêóþ ôîðìó å¼ çíà÷åíèåì â òî÷êå ðàâíîâåñèÿ:∂2ξi ξjL = a(ξ0 )ij ξ˙i ξ˙j −U (ξ0 )∂ξi ∂ξj2Ýòà øòóêà ïðèâîäèò ê ñëåäóþùèì óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ:Xa(ξ0 )ij ξ¨i +iX ∂ 2 U (ξ0 ) ξii∂ξi ∂ξj 2=0 òàêîì ñëó÷àå, ïðîñëåæèâàÿñâÿçüêîëåáàíèé, óäîáíî ñäå ñ óðàâíåíèåìëàòü çàìåíó: ξi = Re Ai eiωt , ξ¨i = Re −Ai ω 2 eiωt :X 1 ∂ 2 U (ξ0 )− ω 2 a(ξ0 )ij Ai = 02 ∂ξi ∂ξjiÎ÷åâèäíî, ÷òî ýòî ñèñòåìà àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Èìååì s óðàâíåíèéè s íåèçâåñòíûõ âåêòîðîâ Ai . Îíà áóäåò èìåòü íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå òîãäà, êîãäà å¼ îïðåäåëèòåëü ðàâåí íóëþ.

Ýòî äàåò íàì õàðàêòåðèñòè÷åñêîåóðàâíåíèå íà îïðåäåëåíèå ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò ωi . Ýòè ÷àñòîòû, î÷åâèäíîèç ëèíåéíîé àëãåáðû. áóäóò âåùåñòâåííûìè. Ïóñòü âñå ωi ðàçëè÷íû. Òîãäàó íàñ òîëüêî îäíî óðàâíåíèå áóäåò ñëåäñòâèåì îñòàëüíûõ è ðåøåíèå äàåòñÿíàì ïî ôîðìóëàì êðàìåðà èëè êàê-íèáóäü åùå: Aµi = cµ ∆µi , ãäå èíäåêñ µíóìåðóåò ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, à Delta - Äîïîëíèòåëüíûé ìèíîð ê i-îéñòðîêå è s-îìó ñòîëáöó. Îáùåå ðåøåíèå áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé ñóïåðïîçèöèþ âñåõ ïîëó÷åííûõ òàêèì îáðàçîì ðåøåíèé, à èìåííî:ξi =sX∆µi Re[cµ eiωµ t ]µ=1Çíà÷èò, ñèñòåìà áóäåò íàõîäèòüñÿ âáëèçè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ïðè ëþáîì t, à íå òîëüêî ïðè ðàññìàòðâèàåìîì, åñëè ωµ2 ≥ 0 äëÿ âñåú µ.

Åñëè õîòÿáû äëÿ êàêîé-òî ýòî óñëîâèå íå âûïîëíèòñÿ, òî ìû ïîëó÷èì ðàñõîäÿùèåñÿ âîâðåìåíè ðåøåíèÿ. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ÷àñòîòû óäîâëåòâîðÿëè ýòîìó óñëîâèþ,2(ξ0 )áûëà ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîéäîñòàòî÷íî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ∂∂ξUi ∂ξjêâàäðàòè÷íîé ôîðìîé.  ýòîì ñëó÷àå ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ áóäåò èìåòüèçîëèðîâàííûé ìèíèìóì.Âîïðîñ 26Ïpåîápàçóéòå ôóíêöèþ è ópàâíåíèÿ Ëàãpàíæà ñèñòåìû ñ ìíîãèìèñòåïåíÿìè ñâîáîäû â ïpèáëèæåíèè ëèíåéíûõ êîëåáàíèé ê íîpìàëüíûìêîîpäèíàòàì.Ëàãðàíæèàí íàøåé ñèñòåìû òàêîéP æå, êàê è â ïðåäûäùåì ñëó÷àå. Ìûñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííûõ ξi = µ ∆µi θµ => äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèèïîëó÷àåì âûðàæåíèå âèäà:T =01 X1Xaij ∆µi ∆µj θµ θν =εµµ0 θ̇µ θ̇µ022 µν0ijµµÏîêàæåì, ÷òî ìàòðèöà εµµ0 ÿâëÿåòñÿ äèàãîíàëüíîé.

 ñàìîì äåëå, äëÿäâóõ ðàçíûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé èç óðàâíåíèé Ëàãðàíæà:26(02U ∆µi ∆µj∂ij02∂ijU ∆µi ∆µj0= ωµ2 aij ∆µi ∆µj0= ωµ2 0 aij ∆µi ∆µjÂû÷èòàÿ îäíî èç äðóãîãî, ïîëó÷àåì:(ωµ2 − ωµ2 0 )εµµ0 = 0Äëÿ ðàçëè÷íûõ êîðíåé, î÷åâèäíî, ìû ïîëó÷èì íåîáõîäèìóþ íàì äèàãîíàëüíîñòü. Ðàç ε äèàãîíàëüíî, òî âûðàæåíèå äëÿ T :T =1Xεµµ θ̇µ22 µÂ òî æå âðåìÿ ïîòåíöèàë:1X 21 2∂ij U ξi ξj =∂ U ∆µi ∆νj θν θµ22 µν ijÇäåñü îïÿòü âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèÿìè Ëàãðàíæà:1X 21X 21X 2∂ij U ∆µi ∆νj θν θµ =ωµ εµν θν θµ =ω εµµ θµ22 µν2 µν2 µ µÈòîãîâûé Ëàãðàíæèàí:L=1Xεµµ θ̇µ2 − ωµ2 θµ22 µÓðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà äàäóò:θ̈µ + ωµ2 θµ2 = 0Òî åñòü óðàâíåíèÿ ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà.

Äëÿ íåãî θµ = aµ cos(ωµ t +ϕµ ).Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå áóäåò èìåòü êðàòíûåêîðíè, íàì íå óäàñòüñÿ òàê õîðîøî ïðîâåðíóòü çàìåíó êîðäèíàò.  òàêîìñëó÷àå åñòü ñïîñîá âûêðóòèòüñÿ - íåìíîãî èçìåíèòü a è U , ÷òîáû êðàòíûåêîðíè èñ÷åçëè, è ïåðåéòè îáðàòíî ïðåäåëüíûì ïåðåõîäîì.Âîïðîñ 27 ïpèáëèæåíèè ëèíåéíûõ êîëåáàíèé íàéäèòå îáùåå påøåíèå ópàâíåíèéäâèæåíèÿ ñèñòåìû ÷àñòèö ñ s ñòåïåíÿìè ñâîáîäû ïpè íàëè÷èèäèññèïàòèâíûõ ñèë.Îïÿòü òîò æå ñàìûé Ãàìèëüòîíèàí, íî òåïðåü óæå ñ äèññèïàòèâíûìèñèëàìè, âõîäÿùèìè â óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ.

Ìû áóäåì çàïèñûâàòü äèññèïàòèâíûå ñèëû ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ðåëåÿ: D = 21 dij (q1 , .., qs )q̇i q̇j . Òîãäàóðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà ïðèìóò âèä, ñ ó÷åòîì ðàññóæäåíèé âûøå:d ∂∂∂L−L=−Ddt ∂ q̇j∂qj∂ q̇j27×òî ýêâèâàëåíòíî ñèñòåìå óðàâíåíèé:XXX2aij q̈i +dij q̇i +∂ijU q̇j = 0iiiÂñå ýòî â ïðåäïîëîæåíèè íàõîæäåíèÿ ìèíèìóìà ïîòåíöèàëà â 0 îáîáùåííûõ êîîðäèíàò è âáëèçè íåãî.

Âñå ôóíêöèè áåðóòüñÿ â ýòîé òî÷êå, åñëèïîòåíöèàë â äðóãîì ìåñòå, ñäâèíóòü åãî íå ñîñòàâëÿåò òðóäà. Ýòî óðàâíåíèå óæå íå åñòü óðàâíåíèå íà ãðàìîíè÷åñêèå îñöèëëÿòîðû, Îäíàêî ìîæíîâîñïîëüçîâàòüñÿ òåì æå ïðåîáðàçîâàíèåì: qk = Re[Ak e−iωt ]. Òîãäà óðàâíåíèÿ ñòàíîâÿòñÿ:2aij (−ω 2 ) − iωdij + ∂ijU Ai = 0Ýòî ëàãåáðàè÷åñêàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé. Ðàâåíñòâî íóëþ å¼ îïðåäåëèòåëÿ äàåò íàì õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ÷èñëà, îïðåäåëÿþùèå åå ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿ. Çàòåì ïî íèì îïðåäåëÿþòñÿ àìïëèòóäû Ai . Îòìåòèì, ÷òî â ñèëóâåùåñòâåííîñòè êîýôôèöèåíòîâ, åñëè ωk - êîìïëåêñíûé êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, òî è ωk∗ - òîæå áóäåò åãî êîðíåì. Òîãäà îáùåå ðåøåíèåìîæíî çàïèñàòü â âèäå:iX h∗qi (t) =Re ∆i (ωµ )ck e−iωk t + c∗k Deltai (ωµ∗ )eiωk tkÂîïðîñ 2828. Íàéäèòå îáùåå ðåøåíèå äëÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ñèñòåìû ñ sñòåïåíÿìè ñâîáîäû ïîä äåéñòâèåì ïåðèîäè÷åñêîé âíåøíåé ñèëû, àòàêæå äèññèïàòèâíûõ ñèë.Òà æå ñàìàÿ çàäà÷à, íî òåïåðü â ïðàâîé ÷àñòèé óðàâíåíèé ëàãðàíæàïîÿâèòñÿ îáîáùåííàÿ ñèëà: Qj .

 òàêîì ñëó÷àå ìû óæå íàøëè â ïðîøëîìïóíêòå ðåøåíèå îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ, îñòàëîñü íàéòè ÷àñòíîå ðåøåíèåíåîäíîðîäíîãî. Äëÿ ýòîãî ïðèäåòñÿ ðàçëîæèòü âíåøíþþ ñèëó â ðÿä ôóðüå:Qj (t) =Xn−iΩntQnj e22π, Qkj =,Ω =TTZTQj (t)eikΩt dt0Íà ïîñòîÿííóþ ñîñòàâëÿþùóþ ìîæíî ïîëîæèòü áîëò, òàê êàê îíà ëåãêîâàðüèðóåòñÿ Pñäâèãîì ìèíèìóìà ïîòåíöèàëà.

×àñòíîå ðåøåíèå áóäåì èñêàòüâ âèäó: ξj = n Anj e−inΩt , îòêóäà íåçàìåäëèòåëüíî:2(−Ω2 n2 aij − inΩdij + ∂ijU )Anj = QnjÑèñòåìà àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, êîòîðàÿ ðàçðåøèìà âñåãäà, åñëè å¼îïðåäåëèòåëü îòëè÷åí îò íóëÿ, íàïðèìåð, ïî ôîðìóëàì Êðàìåðà:Anj =∆i∆Çäåñü ∆ - îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû âûøå, à ∆ - îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû, ïîëó÷åííîé èç èñõîäíîé çàìåíîé i- ãî ñòîëáöà íà Qnj .

Çàòåì èç ýòîãî ñîáèðàåòñÿèñõîäíîå ðåøåíèå.Âîïðîñ 3028Ìåòîäîì Êpûëîâà-Áîãîëþáîâà ïîëó÷èòå ôîpìóëû ïåpâîãî ïpèáëèæåíèÿäëÿ àñèìïòîòè÷åñêèõ påøåíèé ópàâíåíèé äâèæåíèÿ ñèñòåì, áëèçêèõ êëèíåéíûì.Âîò ýòî ïîëíàÿ æîïà, à ïî ñóòè - òåîðèÿ âîçìóùåíèé.

Ìû ðàññìàòðèâàåì îñíîâíîå, ëèíåéíîå êîëåáàíèå ñèñòåìû êàê îñíîâíîå ñîñòîÿíèå, à âñåíåëèíåéíîñòè ïèõàåì â âîçìóùåííûå. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå êîëåáàíèé:˙ξ¨ + ω02 ξ = εQ(ξ, ξ)Ïðè ε = 0, ìû èìååì íà ðóêàõ îáû÷íûå ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ ïîñòîÿííîé àìïëèòóäàé è ëèíåéíî ìåíÿþùåéñÿ ôàçîé: ξ = A cos ψ . ×òîáû íàéòèïîïðàâêè, êîòîðûå âíîñèò íàëè÷èå íåëèíåéíîñòè, ðàçëîæèì âñå â ðÿäû ïîñòåïåíÿì ε:ξ = A cos ψ + εξ1 (a, ψ) + ε2 ξ2 (a, ξ)ȧ = 0 + εf1 (a) + ...ψ̇ = ω0 + εω1 (A) + ...Ðåøàåì çàäà÷ó:∂ξ1∂ξ1ȧ + εψ̇ =ξ˙ = −ψ̇a sin ψ + ȧ cos ψ + ε∂a∂ψ= −(ω0 + εω1 )a sin ψ + εf1 cos ψ + ε∂ξ1ψ̇∂ψÀíàëîãè÷íî:ξ¨ = −aω02 cos ψ − aεω0 ω1 cos ψ − ω0 εf1 sin ψ − aεω0 ω1 cos ψ−−εω0 f1 sin ψ + ε∂ 2 ξ1 2ω∂ψ 2 02∂ ξ1ξ¨ = −aω02 cos ψ − 2aεω0 ω1 cos ψ − 2εω0 f1 sin ψ + εω02∂ψ 2 2∂ ξ1ξ¨ + ω02 ξ = εω02+ ξ1 − 2aω0 ω1 ε cos ψ − 2ω0 εf1 sin ψ∂ψ 2Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî òîé æå òåîðèè âîçìóùåíèé:˙ = εQ(a cos ψ, −aω0 sin ψ) + ...εQ(ξ, ξ)Ñîïîñòàâëÿÿ îáà âûðàæåíèÿ, èìååì: 2f11ω1∂ ξ1+ ξ1 = 2 a cos ψ + 2 sin ψ + 2 Q(a cos ψ, −aω0 sin ψ)2∂ψω0ω0ω0Íåòðóäíà çàìåòèòü, ÷òî ñïðàâà ñòîèò ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ïî ψ .

Çíà÷èò, è ñëåâà òîæå äîëæíà áûòü òàêàÿ ôóíêöèÿ. ÎÒëè÷íî. Òåïåðü ðàñêëàäûâàåì âñå â ðÿäû ôóðüå.XQ(a cos ψ, −aω0 sin ψ) =[αn (a) sin nψ + βn (a) cos nψ]n29ξ1 =X[γn sin nψ + νn cos ψn]nÏîäñòàâèâ èõ â èñõîäíîå óðàâíåíèå è ïðèðàâíÿâ íóæíûå íàì êîýôôèöèåíòû:ν0 (a) =αn (a)βn (a)β0 (a), γn (a) =, νn (a) =222ω0(1 − n )ω0(1 − n2 )ω02Îòêóäàξ = a cos ψ +∞εβ0 (a)ε X 1+{αn (a) sin nψ + βn (a) cos nψ}ω02ω02 n=2 1 − n2Äëÿ n = 1:ω1 (a) = −ȧ(t) =β1 (a)α1 (a), f1 (a) = −=>2aω02ω0εβn (a)−εα1 (a), ψ̇(t) = ω0 −2ω02aω0Îòñþäà íàõîäÿòñÿ a è ψ â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè.

Ïðè ýòîì ñîõðàíÿòüâñå ñëàãàåìûå, ñîäåðæàùèå ε íå èìååò ñìûñëà, òàê êàê çà âðåìåíà ïîðÿäêàε ýòè ñëàãàåìûå äàäóò ïîãðåøíîñòü ïîðÿäêà , à íå 2 .  òàêîì ñëó÷àå ìûîñòàâèì òîëüêî:ξ = a cos ψ, ȧ =−εα1 (a) ˙εβ1 (a), psi = ω0 −2ω02aω0Äëÿ êîíñåðâàòèâíîé ñèñòåìû Q = Q(ξ) :ȧ = 0, a = const => ψ = ω0 t −εβ1 (a)t => ξ = a cos(ψ + ψ0 )2aω0Âîïðîñ 31Èññëåäóéòå àâòîêîëåáàíèÿ íà ïðèìåðå ìàÿòíèêà ñ âðàùàþùåéñÿìóôòîé ïîäâåñà ïðè íàëè÷èè ñóõîãî òðåíèÿ (ìàÿòíèê Ôðîóäà).Çäåñü íàì ïðèïîìíèòñÿ ìåòîä êðûëîâà-áîãîëþáîâà.

Çàïèøåì óðàâíåíèåäâèæåíèÿ äëÿ óêàçàííîãî ìàÿòíèêà:I θ̈ = −mgl sin θ − lθ̇λ + f (Ω − θ̇)Ïðè íåêîòîðûõ çíà÷åíèÿõ Ω äîëæíî áûòü âîçìîæíî ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ,à èìåííî:f (Ω)sin θeq =; θ̇ = 0, θ̈ = 0mglÎòñþäà íåèçáåæíî òðåáóåòñÿ f (Ω) < mgl. Ðàçëîæèì óðàâíåíèÿ â ðÿä ïîîòêëîíåíèþ ξ = θ − θeq :˙ +I ξ¨ = −mgl sin θeq − mgl cos θeq ξ + mgl 12 sin θeq ξ 2 + mgl 61 cos θeq ξ 3 − lξλ23f (Ω) − f 0 (Ω)ξ˙ + f 00 (Ω) ξ̇ − f 000 (ω) ξ̇2630Ïðåäïîëîæèì äîïîëíèòåëüíî, ÷òî ìû íàõîäèìñÿ â îêðåñòíîñòè òî÷êèïåðåãèáà ôóíêöèè f <=> f 00 = 0.

Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:ω02 =mgllλf 000cos θeq , æ1 = − , æ2 =II6Iω2ω2˙ξ¨ + ω02 ξ = 0 tan θeq ξ 2 + 0 ξ 3 + æ1 ξ˙ − æ2 ξ˙3 = εQ(ξ, ξ)26Çäåñü ìû è ïðèìåíèì íàø ìåòîä. Ïî Ê-Á:εQ(a cos ψ, −aω0 sin ψ) =ω2ω02tan θeq a2 cos2 ψ + 0 a3 cos3 ψ − æ1 aω0 sin ψ+26+æ2 a3 ω03 sin3 ψÝòî äàåò ïåðâûå òðè ãàðìîíèêè ïî ψ . Ñîîòâåòñòâåííî, ðàçëîæåíèå îáîáùåííîé ñèëû â ðÿä ôóðüå èìååò ñëåäóþùèå ïåðâûå êîìïîíåíòû:3εα1 (a) = −aωæ1 − a3 æ2 ω034εβ1 (a) =ω03 a38Ïîäñòàíîâêà æå äàåò:ȧ =aæ121−3 æ2 2 2a ω04 æ1a2 ω0216Îòêóäà ìû ìîæåì óêàçàòü àâòîêîëåáàòåëüíûé ðåæèì:ψ̇ = ω0 −ȧ = 0 <=> a2 =4 æ1 −2ω3 æ2 0Âîïðîñ 32Ïîëó÷èòå ôîpìóëû ïåpâîãî ïpèáëèæåíèÿ ìåòîäà Êpûëîâà-Áîãîëþáîâàäëÿ íåëèíåéíûõ ñèñòåì ñ ìåäëåííî ìåíÿþùèìèñÿ ïàpàìåòpàìè.Ïpèâåäèòå ïpèìåpû àäèàáàòè÷åñêèõ èíâàpèàíòîâ.Ýòè ñèñòåìû îòëè÷àþòñÿ îò ðàññìîòðåííûõ òåì, ÷òî îíè ïàðàìåòðè÷åñêèå. Ââåäåì â ñèñòåìå ìåäëåííîå âðåìÿ τ = εt è çàïèøåì å¼ ëàãðàíæèàíâ âèäå:11c(τ )ξ˙2 − k(τ )ξ 2 + εχ(ξ, τ )22Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà ïðèìóò âèä:L=d˙ + k(τ )ξ − ε ∂ χ(ξ, τ ) = εQ(ξ, ξ,˙ t)(c(τ )ξ)dt∂ξÇàãíàâ ïîòåíöèàë χ â îáîáùåííûå ñèëû, ïîëó÷àåì:31˙ ω 2 (τ ) = k(τ )˙ t) − ε 1 dc ξ,ξ¨ + ω02 (τ )ξ = εQ(ξ, ξ,0c(τ ) dτc(τ )Ðåøåíèå îïÿòü èùåòñÿ ìåòîäîì Ê-Á.

Âñå óòâåðæäåíèÿ ñîõðàíÿþò ñâîþñèëó, îäíàêî â âûðàæåíèÿõ ïîÿâëÿþòñÿ ëèøíèå ñëàãàåìûå. Ýòî êðèòè÷íîäëÿ ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ:d2ω0 εf1 + εα1 + εac dτ (ωc) = 02aω0 εω1 + εβ1 = 0Îòêóäà íàõîäÿòñÿ:(ȧ =ψ̇ =εα1d− 2ωεa0 c dτ(ωc) = 0− 2ω0εβ1ω(τ ) − 2aω0 (τ )d îòñóòñòâèå äèññèïàòèâíûõ ñèë: ȧ = − 2ωεa0 c dτ(ωc) => a2 ω0 c = const.Àäèàáàòè÷åñêèìè èíâàðèàíòàìè íàçûâàþòñÿ âåëè÷èíû, êîòîðûå ìåíÿþòñÿ ìåäëåííî äàæå îòíîñèòåëüíî ìåäëåííî ìåíÿþùèõñÿ ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû.