Ответы на билеты, страница 4

Äèôôåðåíöèàëüíîå ñå÷åíè ðàññåÿíèÿ åñòü îòíîøåíèå ÷èñëà ðàññåÿâøèõñÿ â óãîë dΩ ÷àñòèö ê îáùåìó èõ ÷èñëó. Èçíà÷àëüíî âñå ÷àñòèöûëåòÿò ìîíîõðîìàòè÷åñêèì ðàçðåæåííûì ïó÷êîì â îäíîì íàïðàâëåíèè, àîòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà òîëüêî ñâîèìè ïðèöåëüíûìè ïàðàìåòðàìè.  çàâèñèìîñòè îò ïðèöåëüíûõ ïàðàìåòðîâ ÷àñòèö, èç-çà àêñèàëüíîé ñèììåòðèè,âñå ÷àñòèöû â óçêîì êîëüöå íà èçíà÷àëüíîé áåñêîíå÷íî óäàëåííîé ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé èõ íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ, ðàññåþòñÿ â òàêîå æåóçêîå "êîëüöî"íà ïîâåðõíîñòè ñôåðû.

Ïðè ýòîì çàäà÷ó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü òîëüêî â îäíîé ïëîñêîñòè. Êàê ìû óæå ïîëó÷àëè, óãîë ðàññåÿíèÿ äëÿîòòàëêèâàþùåãî ïîòåíöèàëà:19sχ = 2arctgmα2α= 2arctg2EL20L0rµ2EÏðè ýòîì èõ ìîìåíò èìïóëüñà L = dµv , ãäå d - èõ ïðèöåëüíûé ïàðàìåòð.2E = µv2  òàêîì ñëó÷àå:αχ = 2arctgµdvrµα= 2arctg2Eµdv 2v - ñêîðîñòü êâàçè÷àñòèöû íà ìèíóñ áåñêîíå÷íîñòè. Ñêîëüêî ÷àñòèö ðàññåèâàåòñÿ â òåëåñíûé óãîë?dσ = ρdddΨ =N=> N = IddddΨIÄëÿ ñëó÷àÿ ðàññåÿíèÿ èç êîëüöà:dσ = 2πddddχdχÎñòàëîñü òîëüêî íàéòè, êàê d2 çàâèñèò îò χ. Ýòî ìû æóå ïî÷òè ïîëó÷èëè÷óòü âûøå.

Ðàñêðûâàÿ àðêòàíãåíñ:αχαχα2χ2=tg=>d=ctg=>d=ctg 2 =>µdv 22µv 22µ2 v 42α2χ −1 1α2 1 sin χdd2= 2 4 2ctg= 2 4χ2dχµ v2 sin 2 2µ v 2 sin4 χ2Ïîäñòàâëÿÿ ýòî îáðàòíî:dσ = 2π dχα2µv 22sin χ=sin4 χ2α2µv 22dΩsin4 χ2×.ò.ï. Çàïèøåì ýòî æå ñîîòíîøåíèå ÷åðåç ýíåðãèþ, ïðèîáðåòåííóþ ïåðâîíà÷àëüíî ïîêîèâøèìèñÿ ÷àñòèöàìè:E=dσ =α2µv 2p021 χ 2χ2p22=2p sinsin2 =>=2m22m22m2224π d(sin2 χ2 )=sin4 χ2α2µv 22 α 2 2π dE4π d m2p22E2 =vm2 E 2m2 E2p2Âîïðîñ 19Ïîëó÷èòå ôîðìóëó äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî ýôôåêòèâíîãî ñå÷åíèÿðàññåÿíèÿ æåñòêèõ ñôåð.−Ïîòåíöèàë æåñòêèõ óïðóãèõ ñôåð - ýòî U (|→r |) = 0, r < 2a, U (r) =+∞, r ≤ 2a.

Äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ:20+∞Zχ=π−22aÎ÷åâèäíî, d =áåðåòñÿ, äàâàÿ:L0µpµ2E=Z ∞L0d dρ2 dρr µρq=π+2L202a21−µ E − 2µρ2√L0 .2µEχ = π − 2arcsind2ρ2Ýòîò èíòåãðàë ñóòü àðêñèíóñ è ïðåêðàñíîπ χdχ= 2a cos, d = 2a sin−2a222Ïîñäòàâëÿÿ ýòî â ôîðìóëó äëÿ ñå÷åíèÿ ðàññåÿíèÿ:d 2a cos χ2dσ = πdχ2χχ 1dχ = π4a2 2 cos (sin ) dχ = a2 2π sin χdχ = a2 dΩ22 2Òî åñòü ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ âîîáùå íèêàê íå çàâèñèò îò óãëîâ, òî åñòü ðàññåÿíèå ðàâíîâåðîÿòíî âî âñå âîçìîæíûå óãëû.

Ýòî, ïðàâäà, â ñèñòåìå öåíòðàèíåðöèè.Âîïðîñ 20Íàéäèòå êîìïîíåíòû óãëîâîé ñêîpîñòè òâåpäîãî òåëà êàê ôóíêöèèóãëîâ Ýéëåpà è èõ ïpîèçâîäíûõ ïî âpåìåíè.Äëÿ òâåðäîãî òåëà íóæíî ôèêñèðîâàòü òðè òî÷êè, ÷òîáû îäíîçíà÷íîôèêñèðîâàòü åãî. Äëÿ ôèêñàöèè òðåõ òî÷åê â ïðîñòðàíñòâå íóæíî 3 + 2 +1 êîîðäèíàòà, òî åñòü 3 + 3. 3 Ïðîñòðàíñòâåííûõ ìû ñåé÷àñ ðàññìàòðèâòàü íå áóäåì, à âîò îñòàâøèåñÿ 3 âûáåðåì â ôîðìå òàê íàçûâàåìûõ óãëîâýéëåðà. Ýòî òðè óãëà, ïîñëåäîâàòåëüíûå ïîâîðîòû íà êîòîðûå ñîâìåùàþòïîâåðíóòîå òåëî ñ íåïîâåðíóòîé(âûáîðîì íà÷àëà îòñ÷åòà óãëîâ) ñèñòåìîéêîîðäèíàò. Ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò, êîòîðîå îòâå÷àåò ïîâîðîòó íà òðèóãëà ýéëåðà äàåòñÿ íåâúåáåííîé ìàòðèöåé, êîòîðàÿ, îäíàêî, èìååò ïðîñòóþñòðóêòóðó:cos α cos γ − sin α sin γ cos β − cos α sin γ − sin α cos γ cos βsin α sin β sin α cos γ + cos α sin γ cos β − sin α sin γ + cos α cos β cos γ − cos α sin β sin β sin γsin β cos γcos βÝòî - ìàòðèöà ïîâîðîòà a(α, β, γ).

Åñëè óãëû ìåíÿþòñÿ âî âðåìåíè, ïðè÷åì ìåäëåííî, òî ìàòðèöó ìîæíî ðàçëîæèòü îòíîñèòåëüíî íóëåâîãî ïîâîðîòà. Òîãäà: a = I + 1 + 2 + 3 , ãäå ïîñëåäíèå òðè ñëàãàåìûõ - ïîíÿòíîêàêèå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå. Ðàññìîòðèì, êàê áåñêîíå÷íî ìàëûå ïîâîðîòûâëèÿþò íà îðòû ñèñòåìû. Êàæäûé òîêîé ïîâîðîò ìîæíî çàäàòü êàê âåêòîðñ ìîäóëåì ðàâíîì ïðèðàùåíèþ ïîâîðîòà, à íàïðàâëåíèåì - îñüþ âðàùåíèÿ.Î÷åâèäíî, ÷òî ïðèðàùåíèå íåêîòîðîãî âåêòîðà âñåãäà áóäåò ïåðïåíäåêóëÿðíî ïëîñêîñòè, âêëþ÷àåùåé åãî è îñü ïîâîðîòà.  òàêîì ñëó÷àå ìîæíî−−−çàïèñàòü: d→n = [d→χ ×→n]Ïðè ýòîì, òàê êàê ìû ïðåíåáðåãàåì áåñêîíå÷íî ìàëûìè âûñøèõ ïîðÿäêîâ, òî ðåçóëüòàò äâóõ ïîâîðîòîâ íå áóäåò òðåáîâàòü ïåðåñòàíîâêè âåêòîðíûõ ïðîèçâåäåíèé ïðè èçìåíåíèè ïîðÿäêà îïâîðîòîâ, à çíà÷èò - íå áóäåò çàâèñåòü îò èõ ïîðÿäêà.

 òàêîì ñëó÷àå, äëÿ áåñêîíå÷íî ìàëûõ ïîâîðîòîâ âî→−→− −−−êðóã òðåõ ðàçëè÷íûõ îñåé:d→χ = d Ω = {dΩ1 , dΩ2 , dΩ3 } => d→r = [d Ω × →r ].21→−−Ââåäåì ïîíÿòèå óãëîâîé ñêîðîñòè: →ω = ddtΩ . Òîãäà, î÷åâèäíî:→−−−v = [→ω ×→r]Ïðè ýòîì áóäåò óìåñòíî ïðèâåñòè ðàçëîæåíèå ω ïî óãëàì Ýéëåðà ÷åðåçîðòû èñõîäíîé ñèñòåìû. ω1 = γ̇, ω2 = β̇, ω3 = α̇ωx0 = γ̇ sin α sin β + β̇ cos αωy0 = γ̇ cos α sin β − β̇ sin αωz0 = γ̇ cos β + α̇ωx = β̇ cos γ + α̇ sin β sin γωy = β̇ sin γ − α̇ sin β cos γωz = γ̇ + α̇ cos βÂîïðîñ 21Ïðèâåäèòå âûâîä ôóíêöèè Ëàãðàíæà òâåðäîãî òåëà, ïðèíèìàÿ âêà÷åñòâå îáîáùåííûõ êîîðäèíàò äåêàðòîâû êîîðäèíàòû öåíòðà ìàññòåëà è óãëû Ýéëåðà.Ðàññìîòðèì òâåðäîå òåëî êàê ñîâîêóïíîñòü òî÷å÷íûõ ìàññ.

Ýòî äîïóùåíèå ìîæíî áóäåò ïîòîì çàìåíèòü íà èíòåãðèðîâàíèå, â ñèëó ëèíåéíîñòèóðàâíåíèé, íèêàêîé êà÷åñòâåííîé ðàçíèöû íå áóäåò. Èòàê, êîîðäèíàòà ëþ−−−−−−−−áîé òî÷êè òâåðäîãî òåëà: →r = →rm+→r 0 => →v = →vm+→v 0 + [→ω ×→r 0 ].→−0Ïîñêîëüêó òåëî - òâåðäîå, òî v = 0, è ìû ìîæåì ïðîäîëæàòü ïîäñòàíîâêóâ èñõîíûå óðàâíåíèÿ:X miX mi−−−−L=vi2 =(→vm+→v 0i + [→ω ×→r 0i ])2 =22ii2vm=X mi2i−+→vmX+X mi v 0 2i2i→−−−v 0i + [→vm×→ω]=2+X mii22−mi →v 0i +iX miiX miiXi2vm+0−−(ω 2 ri2 − (→ω,→r 0i )2 )+Xi−−(ω ri − (→ω,→r 0i )2 ) +20−−−mi (→v m [→ω ×→r 0i ]) =2X−−−mi (→v m [→ω ×→r 0i ])iÏîñëåäíþþ ñóììó ìîæíî ïðîòàùèòü âíóòðü âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèå−−−è ïîëó÷èòü âìåñòî íåå m(→v m [→ω ×→r m ]).

ñîîòâåòñòâåííî, 0, òàê êàê â ñìåøàííîì ïðîèâçåäåíèè ìîæíî ïåðåñòàâèòü ñêîáêè. Âòîðîå æå ñëàãàåìîå ìûïðåîáðàçóåì, âûòàùèì èç ω 2 = δik ωi ωk . Òî æå ñàìîå èç ñêàëÿðíîãî. Îñòàíåòñÿ îêíñòðóêöèÿ:X mi 02(riαδαβ − x0iα x0iβ ) = Iαβ2iÏîñëåäíèé îáúåêò íàçûâàåòñÿ òåíçîðîì èíåðöèè ñèñòåìû. Èòîãîâûé âèäôóíêöèè ëàãðàíæà:m 2−−v +→ω T Ib→ω2 mÓãëû Ýéëåðà âõîäÿò ñþäà ÷åðåç ñêîðîñòè âðàùåíèÿ.L=22Âîïðîñ 22Ïðèâåäèòå ôîpìóëû ïpåîápàçîâàíèÿ òåíçîpà èíåpöèè òâåpäîãî òåëà ïpèïîâîpîòàõ è ïàpàëëåëüíûõ ïåpåíîñàõ êîîpäèíàòíûõ îñåé.

Ïîêàæèòå,êàêèì îáðàçîì òåíçîp èíåpöèè òâåðäîãî òåëà ïðèâîäèòñÿ ê ãëàâíûìîñÿì èíåpöèè.−−−Ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå: →r0=→r +→a:X mi−−−−−−0Iαβ=(→rα+→a )2 δαβ − (→r +→a )iα (→r +→a )iβ =2i= Iαβ +X mii2 X mi−−a2 δαβ − aα aβ +(2(→r ,→a )δαβ − rα aβ − aα rβ ) =2im − →m 2(a δαβ − aα bβ ) + (2(→r m, −a )δαβ − rmα aβ − aα rmβ )22Åñëè èñõîäíî íà÷àëî êîîðäèíàò ó íàñ áûëû â ö.ì., òî ïîñëåäíÿÿ ñêîáêàèñ÷åçàåò, îñòàåòñÿ òîëüêî ïåðâàÿ.Ïðè ïîâîðîòàõ îñè êîîðäèíàò òåíçîð èíåðöèè ïðåîáðàçóåòñÿ, êàê è ëþáîé äðóãîé òåíçîð, ñ ïîìîùüþ ìàòðèö ïîâîðîòà:Iαβ +Iαβ = Aαk Ikj AβjÃëàâíûìè îñÿìè èíåðöèè íàçûâàþòñÿ òàêèå îñè, â êîòîðûõ òåíçîð èíåðöèè èìååò äèàãîíàëüíûé âèä. ×Òîáû ïðèâåñòè åãî ê íèì, íåîáõîäèìî: íàéòè êàêîå-íèáóäü ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå, åñëè âñå òðè îäèíàêîâûå, òî ìîæíîâçÿòü ëþáîé îðòîãîíàëüíûé áàçèñ, òåíçîð èíåðöèè è òàê áóäåò äèàãîíàëåí.Èíà÷å íàéäåòñÿ îäíî îòëè÷íîå: òîãäà ìû íàéäåì ñîáñòâåííûé âåêòîð, ñîîòâåòñòâóþùèé ýòîì ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ è ñîâìåñòèì îäíó èç íàøèõîñåé ñ ýòèì âåêòîðîì.

Òîãäà îñòàíåòñÿ äèàãîíàëèçîâàòü òîëüêî ìàòðèöó 2íà 2. Äëÿ íåå äåëàåì òîò æå ôîêóñ, òîëüêî äëÿ îãðàíè÷åíèÿ çàäà÷è íà ïëîñêîñòü, ïåðïåíäåêóëÿðíóþ íîâîé îñè. Íàõîäèì íîâîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå,åñëè äâà ðàçëè÷íûõ - ñîïîñòàâëÿåì îñè ñ íèìè, èíà÷å - áåðåì ëþáóþ ïàðóîðòàãîíàëüíûõ.  èòîãå ïîëó÷èì äèàãîíàëèçîâàííûé òåíçîð èíåðöèè.Âîïðîñ 2323. Ïpèâåäèòå âûâîä ópàâíåíèé Ýéëåpà äâèæåíèÿ òâåpäîãî òåëà ñ îäíîéíåïîäâèæíîé òî÷êîé. Íàéäèòå ÷àñòîòó ïpåöåññèè ñâîáîäíîãîñèììåòpè÷íîãî òâåpäîãî òåëà.Åñëè ó òåëà åñòü íåïîäâèæíàÿ òî÷êà, óäîáíî ñ ýòîé òî÷êîé ñîâìåñòèòüíà÷àëî êîîðäèíàò.

Äëÿ òàêîãîïîñ÷èòàåì ìîìåíò èìïóëüñà:X−−−−−L=mi [(→r0+→r 0i ) × (→v 0 + [→ω ×→r 0 ])] =i−−mi [→r0×→v 0] +X−−−mi [→r 0 × [→ω ×→r 0 ]] +X=Xi+X−−mi [→r 0i × →v 0 ]+iii23−−−mi [→r 0i × [→ω ×→r 0 ]] =−−−−−−−0= L0 + m[rm×→v 0] + →ω m(→r 0, →r 0m ) − →r 0m m(→r 0, →ω )+XX0−−−−+→ωmi ri2 −mi →r 0i (→r 0i , →ω) =ii−Ïîñëåäíèå äâå ñóììû åñòü íè ÷òî èíîå, êàê Ib→ω äëÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè, âû÷èñëåíûõ îòíîñèòåëüíî òî÷êè 0. Ñîâìåñòèì íà÷àëî îòñ÷åòà ñ êàêèì-ëèáîïîëîæåíèåì òî÷êè 0. Ïîñêîëüêó îíà ïîêîèòñÿ, òî îäíîâðåìåííî êîîðäèíàòíûå è ñîêðîñòíûå ñîñòàâëÿþùèå îáíóëÿòñÿ.  òàêîì ñëó÷àå,. ìîæíî çàïèñàòü:−L = L0 + Ib→ωÅñëè ìû âîçüìåì ïðîèçâîäíóþ îò ýòîãî, òî ïåðâîå ñëàãàåìîå óáüåòñÿ îáìîìåíò ñèë, äåéñòâóþùèõ íà âñå òåëî.

Îñòàíåòñÿ, â ïðåäïîëîæåíèè ãëàâíûõîñåé èíåðöèè:d−ω + [ω × Iω] =>L̇ = Ib →dtMx = I1 ω̇1 + ω3 ω2 (I3 − I2 )My = I2 ω̇2 + ω3 ω1 (I1 − I3 )Mz = I3 ω̇3 + ω1 ω2 (I2 − I1 )Åñëè íàø âîë÷îê ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî îñè z, òîãäà I1 = I2 =>I3 ω̇3 = 0 ïðè óñëîâèè îòñóòñòâèÿ ìîìåíòîâ âíåøíèõ ñèë. Çíà÷èò ω3 = const.Ðåøåíèå äëÿ äâóõ äðóãèõ óðàâíåíèå óäîáíîé íàéòè, çàïèñàâ ω = ω1 + iω2 ,îòêóäà ñðàçó ýå ñëåäóåò:(1ω̇1 = − I3I−Iω3 ω21I3 −I1ω̇2 =I1 ω3 ω1ω̇ =I3 − I1ω3 iω = Ωiω => ω(t) = AeiΩt , ω12 + ω22 = constI1×àñòîòà Ω - ÷àñòîòà ïðåöåññèè.Âîïðîñ 24.Èññëåäóéòå äâèæåíèå òÿæåëîãî ñèììåòpè÷íîãî âîë÷êà ñ îäíîéíåïîäâèæíîé òî÷êîé.Çàïèøåì Ëàãðàíæèàí ýòîé øòóêè ñ íà÷àëîì êîðäèíàò, ñîâìåùåííûì ñíåïîäâèæíîé òî÷êîé:1m 2−−−v0 + m(→v , [→ω ×→r m ]) + Iαβ ωα ωβ − U22Ïîñêîëüêó ìû ñêðåïëåíû ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé, à òåíçîð èíåðöèè ñèììåòðè÷åí ïî äâóìÿ ãëàâíûì îñÿì, òî, çàïèñûâàÿ âñå â ïîñëåäíèõ:L=L=11I1 (ωx2 + ωy2 ) + I3 ω32 − mgl cos θ2224Ãäå, êàê ìû óæå ïîëó÷àëè: ωx =ω = yωz =ϕ̇ sin θ sin ψ + θ̇ cos ψϕ̇ sin θ cos ψ − θ̇ sin ψϕ̇ cos θ + ψ̇Ïîäñòàíîâêà â ëàãðàíæèàí äàåò:L=11I1 (ϕ̇2 sin2 θ + θ̇2 ) + I3 (ϕ̇ cos θ + ψ̇)2 − mgl cos θ22Î÷åâèäíî, ÷òî öèêëè÷åñêèìè ÿâëÿþòñÿ óãëû ψ è ϕ, â òî æå âðåìÿ ñîõðàíÿåòñÿ è ïîëíàÿ ýíåðãèÿ, òàê êàê ïîòåíöèàë êîíñåðâàòèâåí.

 òàêîì ñëó÷àå,äëÿ èìïóëüñîâ ïîëó÷àåì:pψ = I3 (ϕ̇ cos θ + ψ̇) = constpϕ = I1 ϕ̇ sin2 θ + cos θpψ = constE=1 21I1 (ϕ̇2 sin2 θ + θ̇2 ) +p + mgl cos θ = const22I3 ψp −p cos θψÈç âòîðîãî ðàâåíñòâà âûòàñêèâàåì: ϕ̇ = ϕI1 sin. Ââîäèì çàìåíó cos θ =2θ˙ξ, − sin θθ̇ = ξ è ïîäñòàâëÿåì âñå âû âûðàæåíèå äëÿ ýíåðãèè:E0 =I12pϕ − pψ ξI1 (1 − ξ 2 )2+p2ψI1 ξ˙2+mglξ=E−2 1 − ξ22I3Ýòî íåòðóäíî ñâåñòè ê ñëåäóþùåìó ñîîòíîøåíèþ: 02˙ξ 2 = (1 − ξ 2 ) 2E − 2mgl ξ − (pϕ − pψ ξ)I1I1I12Íåòðóäíî óâèäåòü äàëüíåéøåå ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ è ïîëó÷åíèå çàêîíà èçìåíåíèÿ ξ âî âðåìåíè. Ôóíêöèÿ ñïðàâà, êàê è ëþáîé äðóãîé ìíîãîë÷åí3 ñòåïåíè èìååò 3 íóëÿ. Ñàìûé ïðàâûé èç íèõ íåôèçè÷åí, à âîò äâà ïî îáåñòîðîíû îò íóëÿ íàñ èíòåðåñóþò. Ìåæäó íèìè ðåàëèçóåòñÿ êàê ðàç ðàçðåøåííàÿ îáëàñòü çíà÷åíèé ýòîãî ïîëèíîìà, à ñàìè íóëè îïðåäåëÿþò äâà óãëàθ1 .θ2 , è âñÿ äèíàìèêà ðïîèõñîäèò ìåæäó íèìè.