Ответы на билеты (1119878), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Îíè, î÷åâèäíî, äîëæíû áûòü ñîñòàâëåíû òîëüêî èç a ψ è ïàðàìåòðîâñèñòåìû.Ïðèìåð àäèàáàòè÷åñêîãî èíâàðèàíòà: ðàññìîòðèì ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê ñ ìåäëåííî ìåíÿþùåéñÿ äëèííîé íèòè:L=ml2 (τ ) 2 1ϕ̇ − mgl(τ )ϕ222c(τ ) = ml2 (τ ), ω02 (τ ) =g=> a2 l3/2 = constl(τ )Ýòî è áóäåò àäèàáàòè÷åñêèì èíâàðèàíòîì. Èç çàïèñàííîãî âûøå.Âîïðîñ 33Íàéäèòå âûpàæåíèå äëÿ ýôôåêòèâíîé ïîòåíöèàëüíîé ýíåpãèè¾ìåäëåííîãî¿ îäíîìåðíîãî äâèæåíèÿ ñèñòåìû ïpè íàëè÷èèâûñîêî÷àñòîòíûõ âîçìóùåíèé.Îïÿòü ïóíêò íà òåîðèþ âîçìóùåíèé. Ïîñëåäíèé, áëàãî. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó ñ äèññèïàöèåé è ïîòåíöèàëüíûìè ñèëàìè:mq̈ = −∂U+ Q(q, t)∂qRTÏðåäïîëàãàþòñÿ ìàëûìè îòêëîíåíèÿ ξ = q − q; q(t) = T1 0 q(t + τ )dτÒîãäà, ïîäñòàâèâ ξ â èñõîäíîå óðàâíåíèå, ðàñêëàäûâàÿ âñå ïî ξ êàê ïîìàëûì âîçìóùåíèÿì:mξ¨ + mq̈ = −∂∂2∂QU − 2 U ξ + Q(q, t) +ξ∂q∂q∂qïîñëå óñðåäíåíèÿ ïî ïåðèîäó, ìû ïîëó÷èì:mq̈ = −∂U∂Q+<,ξ >∂q∂q32Òîãäà, â ïåðâîì ïîðÿäêå ìàëîñòè:mξ¨ = Q(q, t)Ïðè÷åì q ïîëàãàåòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé.
 òàêîìñëó÷àå ìîæíî ïðîèíR1Qdtòåãðèðîâàòü âûðàæåíèå âûøå è ïîëó÷èòü: ξ˙ = mZZ∂Qd∂∂Q˙ξ= (ξQdt) − ξdt∂qdt∂q∂qÓñðåäíåíèå ïî÷åìó-òî óáèâàåò ñðåäíåå ñëàãàåìîå è äàåò:ZZZ∂1∂Q1∂QdtQdt >= −<ξ>= − <<( Qdt)2 >∂qm∂q2m∂qÝòà øòóêà áóäåò èäòè äîáàâêîé ê îñíîâíûì ïîòåíöèàëàì ÷åðåç ñâîéêâàäðàò.  ñàìîì äåëå:Z∂1mξ¨ = − Uef f , U )ef f = U +< ( Qdt)2 >∂q2mÂîïðîñ 34Ïîëó÷èòå êàíîíè÷åñêèå ópàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà äëÿ ñèñòåìû ñ sñòåïåíÿìè ñâîáîäû ïpè íàëè÷èè äèññèïàòèâíûõ ñèë, èñõîäÿ èçëàãpàíæåâîé ôîpìû ópàâíåíèé äâèæåíèÿ.Ïîñêîëüêó ýòà åðåñü ñ òåîðèåé âîçìóùåíèÿ íàêîíåö-òî êîí÷èëàñü, ìîæíî ïðèñòóïèòü ê íîðìàëüíûì çàäà÷êàì. Íàïðèìåð, ýòîé.
Ðàññìîòðèì çàìåíó ϕi = ϕ(q, q̇, t). Òàêóþ, ÷òîáû ÿêîáèàí ïåðåõîäà ê íåé îò ïåðåìåííûõ(q, q̇) áûë îòëè÷åí îò íóëÿ. Ñ ïîìîùüþ ïîñëåäíåãî ìû ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ:q̇i = fi (q, ϕ, t) â äîïîëíåíèå ê óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ. òî åñòü ìû ïîëó÷èì2s óðàâíåíèé 1 ïîðÿäêà, âìåñòî s óðàâíåíèé 2 ïîðÿäêà, ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íûõ èñõîäíûì. Íàèáîëåå ôèçè÷íî â êà÷åñòâå òàêîé ôóíêöèè áðàòüîáîùåííûé èìïóëüñ íàøåé ñèñòåìû:ϕi = pi =∂L= pi (q, q̇, t)∂ q̇i2Ïîñêîëüêó ÿêîáèàí ïåðåõîäà â äàííîì ñëó÷àå: | ∂ q̇∂i ∂Lq̇j | - îñòàòîê êèíåòè÷åñêîé ôîðìû, òî îí ïî îïðåäåëåíèþ ïîñëåäíåé ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåí.Äàâàéòå ïîêàæåì, ÷òî íóæíûå íàì îáðàòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ q̇ = q̇(q, p, t)òàêæå ìîãóò áûòü ïðåäñòàëâåíû êàê ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëåæàíäðà. Äëÿ ýòîãîðàññìîòðèì ëàãðàíæèàí:dL(q, q̇(q, p, t), t) =d[pk q̇k − L] = −åì:∂L∂Ldqk + pk dq̇k +dt∂qk∂t∂∂LLdqk + q̇k dpk −dt ≡ dH∂qk∂tÏðèðàâíèâàÿ êîýýôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ äèôôèðåíöèàëàõ, ïîëó÷à-∂H∂L ∂H∂H∂L=−,= q̇k ,=−∂qk∂qk ∂pk∂t∂t33òå:Òîãäà, èñêëþ÷àÿ èç óðàâíåíèé ëàãðàíæà åãî ïðîèçâîäíóþ ïî êîîðäèíà-∂H+ Qk∂qk∂Hq̇k =∂pk×òî íàì è òðåáîâàëîñü íàéòè.
Ýòè óðàâíåíèÿ íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìèÃàìèëüòîíà â êàíîíè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ.ṗk = −Âîïðîñ 35Ïðèâåäèòå âûâîä êàíîíè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà èç âàðèàöèîííîãîïðèíöèïà.Ïîñòóëèðóåì ôóíêöèîíàë:F = pk q̇k − H, ãäå H - ôóíêöèÿ ãàìèëüòîíà.
Ñâÿæåì ñ íèì äåéñòâèå:Z t2Z t2 ∂F∂F∂Fδqk +δ q̇k +δpk dtS=F dt => δS =∂qk∂ q̇k∂pkt1t1Ðàñêðûâàÿ ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå, èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå F :Z t2 ∂H∂Hd(pk δqk ) − (pk +)δqk + (qk −)δpk dtδS =dt∂qk∂pkt1Ïðåäïîëîæèâ, ÷òî íà÷àëüíàÿ è êîíå÷íàÿ âàðèàöèè ñèñèòåìû íåèçåñòíû,òî åñòü δqk îáíóëÿåòñÿ íà ãðàíèöàõ, ìîæíî, èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, ïðèâåñòèâàðèàöèþ äåéñòâèÿ ê âèäó:Z t2 ∂H∂HδS =δpk − pk +δqk dtqk −∂pk∂qkt1À ýòî, â ñèëó íåçàâèñèìîñòè âàðèàöèé, êàê ðàç ïðèâîäèò ê êàíîíè÷åñêèìóðàâíåíèÿì ãàìèëüòîíà.Âîïðîñ 3636. Ïpèâåäèòå îïpåäåëåíèå ñêîáîê Ïóàññîíà.
Äîêàæèòå òåîpåìó Ïóàññîíà.Îïðåäåëåíèå ñêîáîê ïóàññîíà:[f, g] =∂f ∂g∂f ∂g−∂qk ∂pk∂pk ∂qkÄîêàæåì ñâîéñòâî ñêîáîê ïóàññîíà:f = f (q, p, t) =>d∂f d ∂ff = [f, H] +Q +dt∂pk k∂t ñàìîì äåëå:d∂f ∂H∂ff=+dt∂qk ∂pk∂pk∂H∂f∂f∂f−+ Qk += [f, H] +Qk +∂qk∂t∂pk∂t34dϕ =?×.ò.ä. Ïîêàæåì òåîðåìó ïóàñîíà. Ïóñòü ϕ = [f, g].
Òîãäà dtdd ∂f ∂gd∂g ∂fϕ=−=dtdt ∂qk ∂pkdt ∂qk ∂pk ∂f d ∂gd ∂g ∂f∂g d ∂fd ∂f ∂g+−−==dt ∂qk ∂pk∂qk dt ∂pkdt ∂qk ∂pk∂qk dt ∂pk= [f˙, g] + [f, ġ]×.ò.ä. Ýòî ïðèâîäèò íàñ ê óòâåðæäåíèþ î òîì, ÷òî åñëè f è g - èíòåãðàëûäâèæåíèÿ, òî è èõ ñêîáêà ïóàññîíà - èíòåãðàë äâèæåíèÿ.Âîïðîñ 38Ïîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî êàíîíè÷åñêîãî ïpåîápàçîâàíèÿ ñóùåñòâóåòïpîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ. Ïîëó÷èòå ôîpìóëû êàíîíè÷åñêèõ ïpåîápàçîâàíèéâ òåðìèíàõ ÷åòûpåõ âîçìîæíûõ òèïîâ ïpîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé.Êàêîå ïðåîáðàçîâàíèå íàçûâàåòñÿ êàíîíè÷åñêèì? Òî, êîòîðîå íå ìåíÿåòâèä óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà. Òî åñòü ýòî ïåðåõîä Q = Q(q, p, t), P = P (q, p, t) :0∂H 0Qk = ∂H∂Pk , Pk = − ∂Qk . Êàê ñâÿçàòü ýòè äâà ïðåîáðàçîâàíèÿ? Âåäü îíè ïðèâîäÿò, â îáùåì-òî, ê ðàçíûì ãàìèëüòîíèàíàì? Îêàçûâàåòñÿ, èõ ìîæíî ñâÿçàòü ÷åðåç èíâàðèàíòû Ïóàíêàðå-Êàðòàíà, êîòîðûå ìû òóò âûâîäèòü íåáóäåì.
Ñóòü èõ â ôîðìóëå:XXδΦ1 (q, Q, t) = −Pk δQk +pk δqk + (H 0 − H)δtkkÎ÷åâèäíî ñîïîñòàâëåíèå ïðèâîäèò ê:∂Φ1∂Φ∂Φ1= −Pk ,= pk ,= H0 − H∂Qk∂qk∂tÊàê ïîëó÷àòü ôîðìóëû êàíîíè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé îñòàëüíûõ òèïîâ?Èõ ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè ñâÿçàíû ïðåîáðàçîâàíèÿìè ëåæàíäðà, à èìåííî:XΦ2 (p, Q, t) = Φ1 −pk qkkΦ3 (q, P, t) = Φ1 +XPk QkkΦ4 (p, Q, t) = Φ1 −Xkpk qk +XPk QkkÎòêóäà ñîîòíîøåíèÿ íà èõ âàðèàöèè, à çíà÷èò è íà ïðåîáðàçîâàíèÿñëåäóþò î÷åâèäíûì îáðàçîì. Óáåäèìñÿ òåïåðü, ÷òî ÿêîáèàí êàíîíè÷åñêîãîïðåîáðàçîâàíèÿ ðàâåí 1.
À èìåííî:∂(Q, P ) ∂(q, p)∂(Q, P )=/∂(q, p)∂(q, P ) ∂(q, P )35Èç âèäà äëÿ ìàòðèöû îáåèõ ÿêîáèàíîâ(áîëüøîé äèàãîíàëüíûé êóñîê èçåäèíè÷åê ãäå íàäî), ñëåäóåò, ÷òî:∂(Q, P )∂Q ∂(q, p)∂p=;=∂(q, P )∂q ∂(q, P )∂PÄëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ âòîðîé ôóíêöèè(à ýòî ðàçëæåíèå ÿêîáèàíîâ äëÿíåå), ìû òðåáîâàëè ñóùåñòâîâàíèå è ïîëó÷àëè ðàâåíñòâî òàêèõ ÿêîáèàíîâêàê ñìåøàííûõ ïðîèçâîäíûõ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè. ×.ò.ï.Âîïðîñ 39Ïpèâåäèòå âûâîä ópàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè è äîêàçàòåëüñòâîòåîpåìû ßêîáè.Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè - óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, êîòîðûå çàìåíÿþò óðàâíåíèÿ ëàãðàíæà.
Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå âèäà:∂S∂S∂S+ H(q1 , ..., qs ,, ...,, t) = 0∂t∂q1∂qsÝòî è åñòü óðàâíåíèå ãàìèëüòîíà-ÿêîáè, à S = S(q, α, t0 , t) - åãî ïîëíûéèíòåãðàë, îíî æå äåéñòâèå, òóò ïðåäñòàâëåííîå â ôîðìå, çàâèñÿùåé îò s ïåðåìåííûõ è s ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ. Ïîêàæåì ïðåæäå âñåãî, ÷òî óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè â ñàìîì äåëå ýêâèâàëåíòíû óðàâíåíèÿì Ëàãðàíæàâòîðîãî ðîäà. Èñõîäíîå óðàâíåíèå âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâåííî, ïîýòîìó ìûìîæåì åãî ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü. Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ñíà÷àëà ïî ïàðàìåòðàì:X ∂∂2∂2S+HS=0∂t∂αk∂pj ∂αk ∂qjjÍî, êàê ìû çíàåì:∂H∂pk= q̇k , àX ∂2∂2d ∂S=S+S q̇j = 0dt ∂αk∂t∂αk∂αk ∂qjjÏîñêîëüêó ñìåøàííûå ïðîèçâîäíûå íèãäå íå ðàâíû íóëþ, òî ñèñòåìûäîëæíû èìåòü òîæäåñòâåííî ðàâíûå êîðíè, à èìåííî:q̇k =∂H∂pkÄèôôåðåíöèðóÿ òåïåðü òîæäåñòâî ïî êîîðäèíàòàì:X ∂H ∂ 2 S∂2S∂H++=0∂t∂qk∂p∂qq∂qjj kkj òî æå âðåìÿ:ddt∂S∂qk=X ∂2S∂2S+q̇j∂t∂qk∂qk ∂qjj∂HÊàê ìû óýå íàøëè ∂p= q̇k , à ïîñêîëüêó äåéñòâèå - ïîòåíöèàë ïîëÿkd∂Hèìïóëüñîâ, òî èìååì îêîí÷àòåëüíî: dtpk = − ∂qk36À ýòî äîêàçûâàåò òåîðåìó ßêîáè, òî åñòü ïîêàçûâàåò, ÷òî ëþáîé ïîëíûéèíòåãðàë óðàâíåíèé Ã-ß èíäóöèðóåò ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà.
Âûâåñòè ñàìî óðàâíåíèÿ ìîæíî ñëåäóþùèì îáðàçîì. Èç îïðåäåëåíèÿî÷åâèäíî:dS∂S X ∂S∂S X=L=+q˙j =+pj q˙j = Lst∂t∂qj∂tjjÂîò îíî è âûâåëîñü.Âîïðîñ 40Ñôîpìóëèpóéòå ìåòîä pàçäåëåíèÿ ïåpåìåííûõ â ópàâíåíèèÃàìèëüòîíà-ßêîáè è åãî îñîáåííîñòè äëÿ êîíñåpâàòèâíûõ ñèñòåì.Ïðîäåìîíñòðèðóéòå ýôôåêòèâíîñòü ýòîãî ìåòîäà íà ïðèìåðå.Ðàññìîòðèì ïðåæäå âñåãî ãàìèëüòîíèàí îïðåäåëåííîãî âèäà:H = H(q1 , ..., qm , p1, ..., pm , f1 (qm+1 , pm+1 ), ..., fs−m (qs , ps ))Òî åñòü ãàìèëüòîíèàí çàâèñèò îò ïîñëåäíèõ êîîðäèíàò-èìïóëüñîâ òîëüêî÷åðåç ôóíêöèè.
Òîãäà Íàì ñëåäóåò óêîðîòèòü äåéñòâèå ñëåäóþùèì îáðàçîì:S = W (q1 , ..., qm , α1 , ...., αs , t) +sXWj (qj , α1 , ..., αs )j=m+1∂S∂S= ∂q∂k Wj , k > m; ∂q=Òåïåðü íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ∂qkkÒîãäà çàïèøåì äëÿ íèõ óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè:∂∂qk W, k< m;∂W∂W∂W∂Wm+1∂Ws+ H(q1 , ..., qm ,, ...,, f1 (qm+1 ,), ..., fk−m (qs ,)) = 0∂t∂q1∂qm∂qm+1∂qsÅñëè íàøå äåéñòâèå ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì èíòåãðàëîì, òî îíî äîëæíî îáðàùàòü ýòî óðàâíåíèå â òîæäåñòâî ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿ qm+k .
Îäíàêî îíèâõîäÿò òîëüêî ïîä àðãóìåíò ôóíêöèé fk . Çíà÷èò, ñàìè ýòè ôóíêöèè íåäîëæíû çàâèñåòü îò èçìåíåíèÿ ýòèõ ïåðåìåíííûõ, òî åñòü áûòü êîíñòàíòàìè.  òàêîì ñëó÷àå ìû ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé:∂W∂W∂W+ H(q1 , ..., qm ,, ...,, αm+1 , ..., αs ) = 0∂t∂q1∂qm∂Wm+k) = αm+kfk (qm+k ,∂qm+kÈç êîòîðûõ ïîñëåäíèå óðàâíåíèÿ ïðîñòî îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå.
Ðàññìàòðèâàåìûé ñëó÷àé ðàçäåëÿþùèõñÿ ïåðåìåííûõ âêëþ÷àåò âñåáÿ òàêæå è ñëó÷àé öèêëè÷åñêèõ êîîðäèíàò. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ïîëîæèòü fj = pj , òî çàâèñèìîñòè îò qj íå áóäåò, à âñå ðàññóæäåíèÿ îñòàíóòüñÿâ ñèëå. Î÷åâèäíî, ÷òîáû äîáèòü óðàâíåíèå, íåîáõîäèìî ñíîâà ïðèìåíèòü êíåìó òåîðåìó ÿêîáè óæå äëÿ óêîðî÷åííîãî äåéñòâèÿ. Îòâåòû äàþòñÿ:∂Wj∂S∂W= pk , k = 1, m;= pj , j = m + 1, s, βj =∂qk∂qj∂αj×.ò.ï.37Âîïðîñ 41Ââåäèòå ïåpåìåííûå ¾äåéñòâèå-óãîë¿ äëÿ ñèñòåìû, ñîâåpøàþùåéóñëîâíî-ïåpèîäè÷åñêîå äâèæåíèå. Ñôîpìóëèpóéòå, îñíîâàííûé íà ýòèõïåðåìåííûõ, ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò êîëåáàíèé ñèñòåìûñ s ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.Ðàññìîòðèì ñèñòåìó, ÿâëÿþùóþñÿ îáîáùåííî-êîíñåðâàòèâíîé, è õîòÿ áûîäèí íàáîð êàíîíè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ ðàçäåëÿåòñÿ, ïðè÷åì, ëèáî êàæäàÿ èçïåðåìåííûõ ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé âðåìåíè ñ îäèíàêîâûì ïåðèîäîì, ëèáî êàæäûé èìïóëüñ ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé êîîðäèíàòû, íå ÿâëÿþùåéñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé âðåìåíè.
Äâèæåíèå ïåðâîãîòèïà íàçûâàþò - ëèáðàöèåé, à âòîðîãî òèïà - âðàùåíèåì.Äëÿ ðàññìòàðèâàåìûõ ñèñòåì äåéñòâèå ïîëíîñòüþ ðàçäåëÿåòñÿ, òàê êàêîíî åùå è íå çàâèñèò îò âðåìåíè, òî åñòü:XS(qi , pi ) =Wj (qj , α)jÓðàâíåíèÿ æå ÃÀìèëüòîíà-ßêîáè ïðèíèìàþò âèä: ∂S∂S, ..., fs qs ,= H0H f1 q1 ,∂q1∂qsÏîäñòàíîâêîé ïîëó÷àåì òîîò æå ðåçóëüòàò, ÷òî è â ìåòîæå ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
