Ответы на билеты (1119878)
Текст из файла
Âîïðîñ 1Èíâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèé Íüþòîíà îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèéÃàëèëåÿ, óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû îòíîñèòåëüíîïðåîáðàçîâàíèé ëîðåíöà ïðåîáðàçîâàíèõ ãàëèëåÿ, äëÿ èíåðöèàëüíîé ÑÎ S è ÑÎ S', äâèæóùåé−ñÿ îòíîñèòåëüíî S ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ →v 0 , à òàêæå äëÿ ïðîèçâîëüíîé→−òî÷êè ïðîñòðàíñòâà ñ ðàäèóñ âåêòîðîì r â ñèñòåìå S:→−−−r0+→r S0 = →rÎáûêíîâåííîå âåêòîðíîå òîæäåñòâî.  ñèëó èíâàðèàíòíîñòè ìàëûõ ýëåìåíòîâ âðåìåíè â ðàçíûõ ÑÎ, ìû ìîæåì âçÿòü îäíó è òó æå ïðîèçâîäíóþïî âðåìåíè îò îáåèõ ÷àñòåé. Òîãäà:→−−−v0+→v0=→vÈëè Ãàëèëååâñêèé çàêîí ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé.
Ñîãëàñíî ïðèíöèïó îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ, âñå ÿâëåíèÿ ïðîòåêàþò îäèíàêîâî â ðàçíûõ èíåðöèàëüíûõ ÑÎ. Ïîñêîëüêó S', î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ èíåðöèàëüíîé, òî â íåé ðàáîòàåòòîò æå çàêîí→−0−F = m→a0Äèôôåðåíöèðóÿ çàêîí ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé åùå ðàç, â ñèëó èíåðöèàëüíîñòè S':→−−a0 =→a→−→−0À çíà÷èò, èç óðàâíåíèÿ âûøå: F = F À ðàç âñå âåëè÷èíû îäèíàêîâû,òî îäèíàêîâû áóäóò è ñàìè óðàâíåíèÿ.Äëÿ ñëó÷àÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèÿìè Ëàãðàíæà âòîðîãî ðîäà:d ∂∂L(x, ẋ, t) −L(x, ẋ, t) = Fiddt ∂ ẋi∂xiÂâåäåì çàìåíó êîîðäèíàò x = x(q, t) ñ òðåáîâàíèåì ñóùåñòâîâàíèÿ îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ: q = q(x, t).
Òàæêå íàì ïîíàäîáÿòñÿ î÷åâèäíûå ñîPN ∂xPN ∂q∂∂q̇i + ∂tẋi + ∂tîòíîøåíèÿ: ẋ = i=1 ∂qx, è àíàëîãè÷íûå èì: q̇ = i=1 ∂xq.ii0Îáîçíà÷èì: L (q, q̇, t) = L(x(q, t), ẋ(q, t), t). Òîãäà, ïåðåïèñûâàåì óðàâíåíèÿËàãðàíæà: Xn N ∂L0 ∂ q̇j∂L0 ∂qj∂L0 ∂ q̇jd X ∂L0 ∂qj+−+= Fiddt j=1 ∂qj ∂ ẋi∂ q̇j ∂ ẋi∂q∂x∂q̇∂xjijij=1Î÷åâèäíî, â ñèëó íåçàâèñèìîñòè q îò ẋ, ÷òî∂ q̇j∂ ẋi=∂qj∂xi∂qj∂ ẋi= 0, îäíîâðåìåííî:èç çàïèñàííûõ âûøå ñîîòíîøåíèé. Òîãäà: XnN Xd ∂L0 ∂qj∂L0 ∂qj∂L0 ∂ q̇j−+= Fiddt∂q̇∂x∂q∂x∂q̇∂xjijijij=1j=11Ðàñêðûâàÿ ïîëíóþ ïðîèçâîäíóþ íà ïåðâîì ñëàãàåìîì: d ∂L0 ∂qj∂qj d ∂L0∂L0 ∂ q̇j=+dt ∂ q̇j ∂xi∂xi dt ∂ q̇j∂ q̇j ∂xiÏîäñòàâëÿÿ ýòî îáîðàòíî è ãðóïïèðóÿ ñëàãàåìûå, ïîëó÷àåì: X 0N N X∂qjd ∂L0 ∂L0∂L∂L0∂ q̇j−+−= Fid∂xdt∂q̇∂q∂x∂q̇∂q̇ijjijjj=1j=1Âòîðàÿ ãðóïïà ñëàãàåìûõ ñîêðàùàåòñÿ, à äëÿ ïåðâîé îñòàåòñÿ:N Xd ∂L0 ∂L0∂qj−= Fid∂xdt∂q̇∂qijjj=1×òîáû èçáàâèòüñÿ îò íåíóæíîé ñóììû â ëåâîé ÷àñòè, ïåðåïèøåì óðàâ0∂qj∂L0íåíèå. Ââåäåì âåêòîð F d = Fid , âåêòîð: A = ddt ∂L∂ q̇j − ∂qj è ìàòðèöó B = ∂xiÒîãäà óðàâíåíèå âûøå ïåðåïèñûâàåòñÿ êàê:BA = FÄîìíîæèâ íà îáðàòíóþ ê B ìàòðèöó B −1 =∂xi∂qj :Nd ∂L0 ∂L0 X ∂xi d−=Fi ≡ Qdjdt ∂ q̇j∂qj∂qji=1×òî è òðåáîâàëîñü ïîêàçàòü.
Ïðåîáðàçîâàíèå Ëîðåíöà, î÷åâèäíî, îòíîñèòñÿ ê êëàññó òàêèõ ïðåîáðàçîâàíèé.  ñàìîì äåëå, âî-ïåðâûõ, ó íåãî åñòüîáðàòíîå, à âî-âòîðûõ, ñòàðûå êîîðäèíàòû âûðàæàþòñÿ òîëüêî ÷åðåç íîâûåè âðåìÿ.Âîïðîñ 2Ïðèâåäèòå âûâîä çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ Ýíåðãèè, Èìïóëüñà, Ìîìåíòàèìïóëüñà ó ÷àñòèöû â ðåëÿòèâèñòñêîé è íåðåëÿòèâèñòñêîé ìåõàíèêå.Ñôîðìóëèðóéòå óñëîâèÿ, êîòîðûì äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ñèëû.1) Çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà. È â ðåëÿòèâèñòñêîé, è â îáû÷íîé ìåõàíè→−−̇êå óðàâíåíèå âûãëÿäèò êàê: →p = F .  òàêîì ñëó÷àå, ðàññìîòðèì ñêàëÿðíîå−ïðîèçâåäåíèå íà ëþáîå íàïðàâëåíèå →n:→− −d →−(−p ,→n ) = (F , →n)dtÎòñþäà î÷åâèäíîå óñëîâèå íà ñîõðàíåíèå ïðîåêöèè èìïóëüñà íà ëþáóþîñü n: Fn = 0, ãäå Fn - ñóììà âñåõ ñèë.2) Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà âûòàùèì â ñëåäóþùåì âèäå:→−d →−−−−[−r ×→p ] = [→v ×→p ] + [→r × F]dt×òî â ðåëÿòèâèñòñêîé, ÷òî â íåðåëÿòèâèñòñêîé ìåõàíèêå, èìïóëüñ ñîíàïðàâëåí ñ âåêòîðîì ñêîðîñòè.
Òîãäà ïåðâîå ñëàãàåìîå ñïðàâà èñ÷åçíåò.ṗi = Fi =>2Îñòàíåòñÿ òîëüêî ìîìåíò ñèë. Îòêóäà î÷åâèäíî óñëîâèå íà ìîìåíò âûòåêàåò òàêæå, êàê èç óñëîâèÿ íà èìïóëüñ.3)Çàêîí ñîõðàíåíèÿ Ýíåðãèè:−−̇Ė = (→v ,→p) ýòî ìîæíî ïîâåðèòü, à ìîæíî óáåäèòüñÿ ðóêàìè:d m 2−−̇−−̇(→v ,→p ) = m(→v ,→v)=vdt 2v v̇−−̇−−̇(→v ,→p ) = γm (→v ,→v ) + γ 2 v 2 2 = mγ 3 [v v̇]cPP−−̇Ïîñëåäíèé ïåðåõîä ñäåëàí â ñèëó: (→v ,→v) =ẋi ẍi = v ddt v = v 21 2vẋi ẍi .Ïðè ýòîì ìîùíîñòü:d1 3v v̇2E = mc − γ −2 2dt2cÒî åñòü òî æå ñàìîå è â ðåëÿòèâèñêîé ìåõàíèêå.  îáîèõ ñëó÷àÿõ:→−−Ė = (→v,F)Ðàçëîæèì ñèëó íà ïîòåíöèàëüíóþ, äèññèïàòèâíóþ è ãîðîñêîïè÷åñêóþ ñîñòàâëÿþùèå F = F g + F d − 5U .
 òàêîì ñëó÷àå:−→→−−−Ė = (→v , F d ) − (→v , 5)UÏðè ýòîì, îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî ïîëíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïîòåíöèàëà→−−∂U + (→v , 5U ), ÷òî ïîçâîëÿåò çàìåíèòü:ddt U=∂t−→d∂−(E + U ) = U + (→v , F d)dt∂tÀ çíà÷èò, ïîëíàÿ ýíåðãèÿ áóäåò ñîõðàíÿòüñÿ â îòñóòñòâèå äèññèïàòèâíûõñèë è â êîíñåðâàòèâíûõ ïîëÿõ.Âîïðîñ 3Ñ÷èòàÿ èçâåñòíûìè çàîêíû êåïëåðà, ïîëó÷èòå âûðàæåíèå äëÿ ñèëû,äåéñòâóþùåé ñî ñòîðîíû ñèëîâîãî öåíòðà íà ÷àñòèöóÈç çàêîíîâ Êåïëåðà ñëåäóåò, ÷òî ñåêòîðàëüíàÿ ñêîðîñòü ïîñòîÿííà.  òî−−̇−r ×→r ].
 ïîëÿðíûõæå âðåìÿ, ÷òî òàêîå ñåêòîðàëüíàÿ ñêîðîñòü? Ýòî →σ = 12 [→→−̇→−→−→−→−→−dêîîðäèíàòàõ: r = dt (r e r ) = ṙ e r + rϕ̇ e ϕ => σ = σ e z = 12 r2 ϕ̇ = const =0σ0 => ϕ̇ = 2σr2Äëÿ âòîðîé ïðîèçâîäíîé êîîðäèíàòû:−1 d 2 →→−̈−−−−r = [r̈→e r + ṙϕ̇→e ϕ ] + [ṙϕ̇ + rϕ̈] →e ϕ − rϕ̇2 →e r = r̈ − rϕ̇2 →er+r ϕ̇ −eϕr dtÏîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå äëÿ ϕ̇:34σ 2 −1 d→−̈−r = r̈ − 30 →er+[2σ0 ] →eϕrr dtÀ òåïåðü âûðàçèì ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè ṙ =2− (2σr20 )d 1d2 ϕ r2drdϕ ϕ̇= −2σ0 ddϕ 1r => r̈ =îòêóäà24σ→−̈r = − 20rd2 1 1 →−+erd2 ϕ r rÄëÿ òðàåêòîðèé ïëàíåò â âèäå ýëëèïñîâ: r =òåïåðü, îêîí÷àòåëüíî:ρ1+ cos ϕ , =q1−b2a2 , ρ=b2a11d2 14σ 2−̈= + cos ϕ, 2= − cos ϕ => →r = − 20rρ rrρrd ϕr→−−̈→−Èç çàêîíà Íüþòîíà: F = m→r = mαr 2 e r , à èç 3 çàêîíà Íüþòîíà î÷åâèäíî,÷òî òî÷íî òàêæå äîëæíà âûëåçàòü èç âûðàæåíèÿ è ìàññà âòîðîãî òåëà.→−−2→erÇíà÷èò, îêîí÷àòåëüíî: F = γ m1rM2×òî è òðåáîâàëîñü ïîêàçàòü.
Ïî æåëàíèþ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ èçâåñòíûìè èç Êóëîíà ôèíòèôëþøêàìè è ïîêàçàòü åùå, ÷òî ïîòåíöèàë îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëåí ïåðâîé ñòåïåíè ðàäèóñà, è âûïîëíÿåòñÿ èçâåñòíîå èçìàêñâåëëà óðàâíåíèå î äèâåðãåíöèè íàïðÿæåííîñòè ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ,íî ìû íå áóäåì ñòðàäàòü òàêîé ôèãíåé íàìåðåííî.Âîïðîñ 4Ïîêàæèòå, ÷òî îáùåå âûðàæåíèå äëÿ ñèëû Ëîðåíöà ìîæåò áûòüïîëó÷åíî èç óðàâíåíèé Ëàãðàíæà äëÿ îáîáùåííî-ïîòåíöèàëüíûõ ñèëâìåñòå ñ ïåðâîé ïàðîé óðàâíåíèé ÌàêñâåëëàÐàññìîòðèì óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà âòîðîãî ðîäà:d ∂∂L−L=0dt ∂ q̇i∂qiÀ òàêæå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ:d ∂∂→−̇p i = Fil =L0 −L0dt ∂ q̇i∂qiÂû÷èòàÿ îäíî èç âòîðîãî è ââîäÿ îáîçíà÷åíèÿ: U (q, q̇, t) = L − L0 :Fil ==NXj=1∂d ∂U−U=dt ∂ q̇i∂qiNX ∂2∂2∂2∂U q̈j +U q̇j +U−U = Fil (q, q̇, t)∂ q̇i ∂ q̇j∂q∂q̇∂t∂q̇∂qjiiij=1Ïîñêîëüêó ñèëà ëîðåíöà çàâèñèò òîëüêî îò ïåðâûõ ïðîèçâîäíûõ êîðäèíàò, òî ïåðâûå ñìåøàííûå ïðîèçâîäíûå äîëæíû îáðàùàòüñÿ â íóëü òîæäåñòâåííî.
Ýòî çíà÷èò, ÷òî îáîáùåííûé ïîòåíöèàë U áóäåò ëèøü ëèíåéíîé4ôîðìîé îò ñêîðîñòåé:U (q, q̇, t) = V (q, t) +NXaj (q, t)q̇jj=1Ïîäñòàíîâêîé â âûðàæåíèå âûøå èìååì:NXj=1q̇j∂ai∂∂ai+−U = Fil (q, q̇, t)∂qj∂t∂qiÍåòðóäíî âèäåòü ãðóïèðîâêó ñëàãàåìûõ:NXj=1q̇j∂ai∂aj∂ai∂−+−V = Fil (q, q̇, t)∂qj∂qi∂t∂qiÎ÷åâèäíî òàêæå, ÷òî â ïåðâûõ ñêîáêàõ ñòîèò íà ñàìîì äåëå ñîîòâåòñòâóþùàÿ êîìïîíåíòà ðîòîðà, à çíà÷èò, ìîæíî íàïèñàòü, èñïîëüçóÿ äâàíåäîñòàþùèõ óðàâíåíèÿ:ih→−∂−→−̇−a − gradV = F lq × rot→a + →∂t→−−Ââîäÿ îáîçíà÷åíèÿ: V = eϕ, →a = ec A , q = r, q̇ = v :→−i−→−e h→1 ∂→−v × rot A + e −gradϕ +A = Flcc ∂t×òî è åñòü âûðàæåíèå äëÿ ñèëû Ëîðåíöà â íóýíîì íàì âèäå.
Îñòàëîñüïîëó÷èòü äâà íåäîñòàþùèõ óðàâíåíèÿ ìàêñâåëëà. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:→−− →−→−1 ∂→E = −gradϕ +A , B = rot A =>c ∂t→−divB = div rot A ≡ 0→−−1 ∂1 ∂→rotE = −rot gradϕ +rot A =Bc ∂tc ∂t×òî è òðåáîâàëîñü ïîìîãàòü.Âîïðîñ 5Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà îïðåäåëåíà ñ òî÷íîñòüþ äî ïîëíîéïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò ïðîèçâîëüíîé ñêàëÿðíîé ôóíêöèè êîîðäèíàòè âðåìåíè. Óñòàíîâèòå ñâÿçü òàêèõ ïðåîáðàçîâàíèé Ëàãðàíæà ñêàëèáðîâî÷íûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ïîòåíöèàëîâ ýëåìêòðîìàãíèòíîãîïîëÿ ñàìîì äåëå, ðàññìîòðèì äâà ëàãðàíæèàíà, ïðèâîäÿùèõ ê îäèíì è òåìæå óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ:d ∂∂d ∂∂L1 −L1 = 0,L2 −L2 = 0dt ∂ q̇i∂qidt ∂ q̇i∂qiÂû÷èòàÿ îäíî èç äðóãîãî:5d ∂∂∆L −∆L = 0dt ∂ q̇i∂qiÐàñêðûâàÿ ïîëíóþ ïðîèçâîäíóþ, îêîí÷àòåëüíî:NXj=1NX∂2∂∂2∂2q̈j ∆L +q˙j ∆L +∆L −∆L = 0∂ q̇i ∂ q̇j∂q∂q̇∂t∂q̇∂qjiiij=1Íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé íà âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ íàêëàäûâàòüñÿ íå ìîæåò,ïîýòîìó ìû äîëæíû ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ïåðâîå ñëàãàåìîå îáíóëÿëîñü òîæäåñòâåííî.
Ýòî ïðèâåäåò ê òîìó, ÷òî ∆L áóäåò ëèøü ëèíåéíîé ôîðìîé ïîñêîðîñòè. Àíàëîãè÷íî 4 âîïðîñû, îáîçíà÷èì:X∆L = α(q, t) +q̇i βi (q, t)NNXX∂∂∂∂q˙j βi + βi −α−βj = 0q̇j∂qj∂t∂qi∂qij=1j=1NXq˙jj=1∂∂∂∂βi −βj + βi −α=0∂qj∂qi∂t∂qiÝòî âûðàæåíèå äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ äëÿ âñåõ ñêîðîñòåé, à çíà÷èò, íóæíî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû è ïåðâàÿ ñêîáêà òîæäåñòâåííî îáíóëÿëîñü. Òî åñòü:rotβ = 0 => β = gradf (q, t) =>∂∂f (q, t) − α(q, t) = 0∂qi ∂t∂Çíà÷èò, íàì äîñòàòî÷íî ïîòåðáîâàòü: α(q, t) = ∂tf (q, t) + γ(t).
Èç-çà ïðîèçâîëüíîñòè ôóíêöèè f ïîñëåäíþþ íåèçâåñòíóþ ôóíêöèþ ìîæíî çàãíàòüïîä äèôôåðåíöèàë è ïîëó÷èòü îêîí÷àòåëüíî:N∆L =X∂∂df (q, t) +q̇kf (q, t) = f (q, t)∂t∂qkdtk=1×òî è òðåáîâàëîñü ïîêàçàòü. Òî åñòü ìû ìîæåì ïðèáàâëÿòü ïîëíóþ ïðîâçîäíóþ îò ëþáîé ôóíêöèè ëèøü êîîðäèíàò è âðåìåíè, ïðè ýòîì áåç ïîòåðè âèäà óðàâíåíèé äâèæåíèÿ. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îáëåã÷åíèÿ çàïèñè ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîòåíöèàëîâ.  ñàìîì äåëå, ïóñòü åñòüËàãðàíæèàí ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ:N− −̇e →eXL1 = L0 + ( A , →q ) − eϕ = L0 +q̇k Ak − eϕcck=1Ïðèìíåèì ê íåìó êàëèáðîâî÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå è ñãðóïïèðóåì ñëàãàåìûå:N1 ∂eX∂L2 = L0 − e ϕ −f +q̇k Ak +fc ∂tc∂qkk=16→−→−∂f, A 0 = A + gradfÂèäíà î÷åâèäíàÿ çàìåíà: ϕ0 = ϕ − 1c ∂tÍåïîñðåäñòâåííéî ïðîâåðêîé ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïðè ýòîì íàïðÿæåííîñòè ïîëåé íå ìåíÿþòñÿ, ÷òî è äîëæíî áû òüâ ñîîòâåòòñâèè ñ èíâàðèàíòíîñòüþ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ.Âîïðîñ 6Èññëåäóéòå îäíîìåðíîå äâèæåíèå â êîíñåðâàòèâíîì ïîëå. Ïîëó÷èòåôîðìóëó äëÿ ïåðèîäà íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé.
Íàéäèòå ôóíêöèþËàãðàíæà äëÿ îäíîìðåíîãî ôèíèòíîãî äâèæåíèÿ ÷àñòèöû âî âíåøíåìïîëå â ïðèáëèæåíèè ëèíåéíûõ êîëåáàíèé, ëèíåéíîå óðàâíåíèå äâèæåíèÿïðè íàëè÷èè äèññèïàòèâíîé ñèëû, ïðîïîðöèîíàëüíîé ñêîðîñòè è îáùååðåøåíèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ. îäíîìåðíîì êîíñåðâàòèâíîì ïîëå ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ïðèíèìàþò âèä:m 2ẋ − U (x)2 ýòî óðàâíåíèå íå âõîäèò ÿâíî âðåìÿ, à çíà÷èò èíòåãðàëîì äâèæåíèÿáóäåò ÿâëÿòüñÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû ÷àñòèö. Òî åñòü:r2m 2[E0 − U (x)]E = const = E0 = ẋ + U (x) <=> ẋ = ±2mL(x, ẋ, t) =Zdxx(t)±x0q2m= t − t0[E0 − U (x)]Ôèíèòíîå äâèæåíèå ïîäðàçóìåâàåò òî÷êè ïîâîðîòà.
Òîãäà, äëÿ ïåðèîäàèìååòñÿ î÷åâäèíîå âûðàæåíèå:Z x2dxqT =22x1m [E0 − U (x)] îáùåì âèäå ýòó áàéäó ðåøèòü íå óäàñòñÿ, òàê ÷òî ìû âîñïîëüçóåìñÿ ðïèáëèæåíèåì ëèíåéíûõ êîëåáàíèé, à èìåííî, ðàçëîæèì U (x) â ðÿä âîêðåñòíîñòè ýêñòðåìóìà ïîòåíöèàëà, â íàøåì ñëó÷àå - ìèíèìóìà. Òîãäà:U (x) = Umin + (x − x0 )U 0 (x0 ) +(x − x0 )2 00(x − x0 )2 00U (x0 ) = Umin +U (x0 )22Ïîäñòàíîâêà ýòîãî âûðàæåíèÿ â ôóíêöèþ Ëàãðàíæà äàåò, ñ îïóñêàíèåìêîíñòàíòû:m(x − x0 )2 00L(x, ẋ, t) = ẋ2 −U (x0 )22Òåïåðü ñäåëàåì çàìåíó êîîðäèíàò q = x−x0 , çàïèøåì óðàâíåíèå Ëàãðàíæà ñ äèññèïàòèâíîé ñèëîé âî âíåøíåì ïîëå Uext (x, t):mq̈ + qU 00 (x0 ) +∂Uext = F d = −k q̇ <=>∂qmq̈ + k q̇ + U 00 (x0 )q = −7∂Uext (q, t)∂qÏðåäïîëîæèì, ÷òî âíåøíåå ïîëå ìåíÿåòñÿ ñëàáî, è åãî ïðîèçâîäíóþ ìîæíîçàìåíèòü ñâîèì çíà÷åíèåì â ìèíèìóìå ïîòåíöèàëà.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
