Ответы на билеты (1119878), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Êàæäàÿ ïåðåìåííàÿ ïîïàäàåò ïîä ñâîþ ôóíêöèþ è äëÿ òîæäåñòâåííîãî âûïîëíåíèÿ óðàâíåíèé Ã-ß íåîáõîäèìî, ÷òîáû êàæäàÿ èç ôóíêöèé áûëà ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé. À èìåííî, ñèñòåìà óðàâíåíèé:∂Wkfk q k ,= αk∂qkÒàêæå åñòü äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå íà ñâÿçü ìåæäó ïîñòîÿííûìè:H(α1 , ..., αs ) = H0Ðàçðåøèâ ýòó ñèñòåìó îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíûõ, íàéäåì ïî îïðåäåëåíèþäåéñòâèÿ è èìïóëüñîâ:∂Wk= pk∂qkÒåïåðü ââåäåì íîâûå ïåðåìåííûå è ïåðåéäåì ê íîâûì ïåðåìåííûì.H Ïî1ñêîëüêó ïî óñëîâèþ ó íàñ p ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ââåäåì Ij = 2πpj dqj ,ãäå èíòåãðàëû áåðóòüñÿ ïî ïîëíûì ïåðèîäàì.
Ýòè âåëè÷èíû ìû íàçîâåìïåðåìåííûìè äåéñòâèÿ. Î÷åâèäíî:I1∂WjIj =dqj = Ij (α1 , ..., αs )2π∂qjÍàì íåîáõîäèìî ðàçðåøèòü ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî αk = αk (I1 , .., Is ).ÏÐîäåëàâ ýòî, ïîñòàâëÿåì ýòè ïåðåìåííûå â èñõîäíóþ ñèñòåìó:S = S(q1 , ..., qs , I1 , ..., Is )38Ýòî äåéñòâèå ìîæíî èñïîëüçîâàòü â êà÷åñòâå ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè îòñòàðûõ êîîðäèíàò è íîâûõ èìïóëüñîâ è ïîëó÷èòü:∂S∂S= pi ,= ϕi∂qk∂IkÂåëè÷èíû ϕi ñîîòâåòòñâóþò íîâûì êîîðäèíàòàì, ñâÿçàííûì ñ íîâûìè èìïóëüñàìè. Îíè íàçûâàþòñÿ óãëîâûìè ïåðåìåííûìè. Âåðíåìñÿ æå ê óðàâíåíèþ Ã-ß:H(I1 , ..., Is ) = H0Òî åñòü ãàìèëüòîíèàí â íîâûõ ïåðåìåííûõ çàâèñèò òîëüêî îò èìïóëüñîâ,òî åñòü âñå êîîðäèíàòû öèêëè÷åñêèå, à çíà÷èò:∂H∂H= 0, ϕ̇i =I˙i = −∂ ϕ̇i∂IiÎòêóäà òóò æå ñëåäóåò:∂Ht∂IiÏðè ýòîì ÷àñòîòà, êîòîðàÿ ñîîòâåòñòâóåò èõ èçìåíåíèþ åñòü íè ÷òî èíîå,êàê ÷àñòîòà èçìåíåíèÿ èìïóëüñà.
 ñàìîì äåëå:III∂2S∂∂S∂Ij∂ϕidqj =dqj =dqj ≡ 2π= 2πδij∆ϕi =∂qj∂qj ∂Ii∂Ii∂qj∂Iiϕi = ϕi0 +Ñ äðóãîé ñòîðîíû:∆ϕi =∂HTi∂Ii×.ò.ä.Âîïîñ 42Ïpèâåäèòå äîêàçàòåëüñòâî òåîpåìû Ëèóâèëëÿ.Ñíà÷àëà ñôîðìóëèðóåì å¼: ôàçîâûé îáúåì àíñàìáëÿ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì ñ îáîáùåííî-ïîåòíöèàëüíûìè ñèëàìè, ãîëîíîìíûìè èäåàëüíûìè ñâÿçÿìè, à òàêæå îòñóòñòâèåì äèññèïàöèè, ñîõðàíÿåòñÿ.Ðàññìîòðèì ôàçîâûé îáúåì ñèñòåìû â äâà áëèçêèõ ìîìåíòà âðåìåíè.Ïîñêîëüêó ðåàëüíîå äâèæåíèå àíñàìáëåé ïîä÷èíåíî óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ,òî êîíå÷íûå êîîðäèíàòû áóäóò âûðàæàòüñÿ ÷åðåç íà÷àëüíûå êîîðäèíàòû. òàêîì ñëó÷àå, äëÿ íîâîãî ôàçîâîãî îáúåìà ìîæíî çàïèñàòü:IΓ = Dδq01 δq02 ...δq0s δp01 δp0sIΓ0 =δq01 δq02 ...δq0s δp01 δp0sD - ÿêîáèàí ïåðåõîäà îò ñòàðûõ (q0 , p0 ) êîîðäèíàò ê íîâûì (q, p).
Òåïåðüÿñíî, ÷òî ÷òî äëÿ èçó÷åíèÿ ïîâåäåíèÿ ôàçîâîãî îáúåìà íàäî ïîíÿòü, êàêñåáÿ âåäåò ÿêîáèàí. Èòàê, â äâà áëèçêèõ ìîìåíòà âðåìåíè:qi = qi0 + q̇i0 ∆t; pi = pi0 + ṗi0 ∆t39Òîãäà ìû ìîæåì ïåðåïèñàòü ýëåìåíòû ÿêîáèàíà:∂qj∂ q̇j0∂qj∂ q̇j0= δij +∆t,=∆t,∂q0i∂qi0∂p0i∂pi0∂pj∂ ṗj0∂pj∂ ṗj0=∆t,= δij +∆t∂q0i∂qi0∂p0i∂qp0Îòêóäà ñëåäóåò òî÷íîå è ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ÿêîáèàíà:s X∂ q̇i0∂ ṗi0D(t0 ) = 1, D(t0 + ∆t) = 1 ++∆t∂qi0∂pi0i=1Òî åñòü ó÷èòûâàþòñÿ òîëüêî ÷ëåíû ñ ïåðâîé ñòåïíåü ìëàîñòè ïî ∆t, êîòîðûå îáðàçóþòñÿ ëèøü èç äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ. È, ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó,èìååì:s X∂ ṗi0∂ q̇i0+Ḋ(t0 ) =∂qi0∂pi0i=1Òàê êàê äâèæåíèå íàøåãî àíñàìáëÿ ïîä÷èíåíî óðàâíåíèÿì Ãàìèëüòîíà, òî:∂ q̇j0∂ ∂H∂ ṗj0∂==−+Qd∂qj0∂qj0 ∂pj0∂pj0∂pj0 j îòñóòñòâèå äèññèïàöèè:∂ ṗi0∂ q̇i0+= 0 => Ḋ = 0∂qi0∂pi0È ôàçîâûé îáúåì ñîõðàíÿåòñÿ.
×.ò.ä.Âîïðîñ 43Ïpèâåäèòå âûâîä ópàâíåíèÿ íåïpåpûâíîñòè.Çàïèøåì îïðåäåëåíèÿ äëÿ ïëîòíîñòè ìíîæåñòâà òî÷å÷íûõ ÷àñòèö:−ρ(→r , t) =N1 X1mi = →−∆(→r ) i=1∆−rZ XN−−mi δ(→r −→r i (t))dV∆ j=1Âîçüìåì ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè îò ýòîãî âûðàæåíèÿ è ó÷òåì, ÷òî:−−−→r i (t)) = −→v i ∂∂δÒÎãäà:→−rZ X∂ρ∂ 1→−=− →v i mi δdV∂t∂−r ∆ ∆→−∂∂t δ( rÏðîèçâîäíàÿ äåéñòâóåò òîëüêî íà delta- ôóíêöèþ.  òàêîì ñëó÷àå äëÿ ëþáîãî ìîìíåòà âðåìåíè ìîæíî ïðîèçâåñòè ñóììèðîâàíèå, ïåðåéäÿ ê ñêîðîñòèöåíòðà ìàññ:X→−−−v i mi = →v mm = →v m ρ∆VÏîäñòàâëÿÿ ýòî â èíòåãðàë âûøå:∂ρ−+ div(ρ→v)=0∂t40Ýòî è åñòü óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè.  ðÿäå ñëó÷àå, ïåðåíåáðåãàÿ èçìåíåíèåì ïëîòíîñòè ïî êîîðäèíàòå:∂ρ →−+−v ∇ρ = −ρdiv→v∂tÂîïðîñ 47Ñôîðìóëèðóéòå óñëîâèÿ ïðèìåíèìîñòè ïðèáëèæåíèÿ èäåàëüíîéæèäêîñòè è èäåàëüíîãî ãàçà.
Ïîëó÷èòå â ýòîì ïðèáëèæåíèè óðàâíåíèåÝéëåðà.Èäåàëüíîé æèäêîñòüþ íàçûâàåòñÿ òàêàÿ ñïëîøíàÿ ñðåäà, â êîòîðîé ïðèëþáîé äåôîðìàöèè è ñêîðîñòè äåôîðìàöèè êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ ïðåíåáðåæèìî ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ íîðìàëüíûìè, à âñå íîðìàëüíûå íàïðÿæåíèÿ îäèíàêîâû. Ìîäåëü èäåàëüíîé æèäêîñòè ïðèìåíèìà êî ìíîãèì çàäà÷àìñ ïðåíåáðåæèìî ìàëîé âÿçêîñòüþ ïðè óñëîâèè õîðîøåé îáòåêàåìîñòè òåë âðïèãðàíè÷íûõ ñëîÿõ. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè:dρdt−+ ρdiv→v−d→ρ dtvρ dedtdsdt====0→−−gradp + ρ f−−ρdiv→v0Èõ äîïîëíÿþò äâà óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ: êàëîðè÷åñêîå è òåðìè÷åñêîå:e = e(ρ, T ), p = p(ρ, T )Âòîðîé èç óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ñâåðõó è íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ýéëåðà.Åãî èñõîäíûé âàðèàíò - óðàâíåíèå èçìåíåíèÿ èìïóëüñà:ρ∂vi∂Pik=+ ρfi∂t∂xkÏåðåõîä èç íåãî îáðàòíî ïð èóñëîâèè íåñæèìàåìîñòè æèäêîñòè è îäèíàêîâîñòè íîðìàëüíûõ íàïðÿæåíèé ñîâåðøåííî î÷åâèäåí.Âîïðîñ 48Ïîëó÷èòå èíòåãðàë Áåðíóëëè äëÿ ñòàöèîíàðíîãî äâèæåíèÿ èäåàëüíîéæèäêîñòè.Ýòî èíòåãðàë äëÿ èçýíòðîïè÷åñêèõ òå÷åíèé, òî åñòü òå÷åíèé ñ ïîñòîÿííîé ýíòðîïèåé.
Çàïèøåì óðàâíåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè:d v2∂ue1 ∂p 1 dp+ ue =+−dt 2∂tρ ∂tρ dtÄëÿ ñëó÷àÿ ñòàöèîíàðíûõ ñèëîâûõ ïîëåé:d v2+ ue + h = 0dt 2òóò ìû óáèëè âñå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíû è âîñïîëüçîâàëèñü îïðåäåëåíèåìýíòàëüïèè: dh = dpρ . Ýòî è äàåò íàì èíòåãðàëë Áåðíóëëè:v2+ ue + h = const241Âîïðîñ 49Ïîëó÷èòå èíòåãðàë Ëàãðàíæà-Êîøè äëÿ áåçâèõðåâîãî äâèæåíèÿèäåàëüíîé æèäêîñòè.Ïðåæäå âñåãî, äëÿ íàøåãî ñëó÷àÿ ðàññìîòðèì óðàâíåíèå Ýéëåðà:d→−v = −grad(h + ue )dtÇäåñü ó÷òåíà ïîòåíöèàëüíîñòü îáúåìíûõ ñèë, à òàêæå îïðååäåëåíèå ýíòàëüïèè.
Ïîêîìïîíåíòíî:∂vi∂vi∂+vj = −(h + ue )∂t∂xj∂xi−Òåïåðü âîñïîëüçóåìñÿ ïîòåíöèàëüíîñòüþ òå÷åíèÿ è ââåäåì →v = −gradϕ:∂ 2 ϕ ∂ϕ∂∂ ∂ϕ+=−(h + ue )∂t ∂xi∂xj ∂xi ∂xj∂xi∂ϕ v 2∂e+h+u +=0∂xi∂t2Îòêóäà ñëåäóåò èíòåãðàë ÊÎøè:∂ϕ v 2++ h + ue = f (t)∂t2Ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ f îäèíàêîâà äëÿ ëþáîé òî÷êè ñðåäû.Âîïðîñ 50Ïðèâåäèòå âûâîä óðàâíåíèÿ Íàâüå-Ñòîêñà.Ïðåîáðàçóåì òåíçîð äàâëåíèé ê âèäó pαβ = pδαβ − σαβ , ãäå σ - òåíçîðêàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé. Ïîñëåäíèå âîçíèêàþò èç-çà íåñîîòâåòòñâèå ñêîðñîòåé è ðàçíûõ ñëîåâ æèäêîñòè.
Çíà÷èò, îíè äîëæíû çàâèñåòü îò ãðàäèåíòîâ ýòèõ ñêîðîñòåé. Ìû ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàø òåíçõîð çàâèñèò òîëüêî îòíèõ è ðàçëîæèì åãî ïî íèì â ðÿä òåéëîðà äî ëèíåéíûõ ÷ëåíîâ. Òåíçîð ñèììåòðè÷åí, à çíà÷èò áóäåò çàâèñåòü îò ñèììåòðè÷íûõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèéýòèõ ãðàäèåíòîâ. Êàê îíè ìîãóò âûãëÿäåòü? Òåíçîð ãðàäèåíòîâ ñêîðîñòåéìîæíî ðàçëîæèòü íà ñèììåòðè÷íûé, àíòèñèììåòðè÷íûé è äèàãîíàëüíûéñëåäóþùèì îáðàçîì(êàê è ëþáîé äðóãîé òåíçîð, êîíå÷íî æå):∂vi1 ∂vi∂vj2 ∂vk1 ∂vi∂vj1 ∂vk=+− δij+−+ δij∂xj2 ∂xj∂xi3 ∂xk2 ∂xj∂xi3 ∂xkíàñ èíòåðåñóåò ïåðâàÿ ñèììåòðè÷íàÿ êîìïîíåíòà ñ íóëåâûì ñëåäîì.
Ïîýòîìó:∂vi∂vj2 ∂vk∂vkσij = ν+− δij+ τ δij∂xj∂xi3 ∂xk∂xkν - ñäâèãîâàÿ âÿçêîñòü, τ - îáúåìíàÿ âÿçêîñòü. Òîãäà óðàâíåíèå ñîõðàíåíèÿèìïóëüñà ïðèìåò âèä: ∂vi∂∂∂∂vi∂vj2 ∂vk∂vkρ+ vkvi = −p+ρfi +ν+− δij+ τ δij∂t∂xk∂xi∂xj∂xj∂xi3 ∂xk∂xk42Äëÿ ïîñòîÿíûõ çíà÷åíèé âÿçêîñòè óðàâíåíèå ìîæåò áûòü çàïèñàíî ââåêòîðíîì âèäå:→−∂ν−−−−ρ+ (→v ∇) →v = −∇p + ρ f + ν∆→v + ( + τ )∇(div→v)∂t3À ýòî è åñòü óðàâíåíèå Íàâüå-Ñòîêñà.Âîïðîñ 51Ïðèâåäèòå ïîëíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé ãèäðîäèíàìèêè.∂ρ−+ div(→v ρ) = 0∂t→−ν∂−−−−+ (→v ∇) →v = −∇p + ρ f + ν∆→v + ( + τ )∇(div→v)ρ∂t3∂∂qi∂vi→−+ ( v ∇) e + Pijρ+=0∂t∂xj∂xi∂vi∂vj2 ∂vk∂vkPij = pδij − ν+− δij+ τ δij∂xj∂xi3 ∂xk∂xk→−q = −æ∇TÓðàâíåíèå Íåïðåðûâíîñòè, óðàâíåíèå Íàâüå-Ñòîêñà, Óðàâíåíèå áàëàíñàýíåðãèè, îïðåäåëåíèè òåíçîðà íàïðÿæåíèé è óðàâíåíèå Ôóðüå.43.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
