Ответы на билеты, страница 2

Òîãäà, íåòðóäíî âèäåòüâ ëåâîéóðàâíåíèå êîëåáàíèéè ïîíÿòü åãî îáùåå ðåøåíèå: q(t) = ÷àñòèqq0000k22U (x0 )U (x0 )kke− 2m t A expt + B exp − 4mt2 −4m2 −mmÏîëàãàÿ, ÷òî òóò åñòü õîòü êàêèå-òî êîëåáàíèÿ, ìû ïîòðåáóåì U 00 (x) >qU 00 (x)U 00 (x0 )k2kk2èââåäåìîáîçíà÷åíèå− 4m= ω02 . Òîãäà,2 = Ω, 2m = γ,4mmmîáùåå ðåøåíèå íàøåãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ äàåòñÿ:q(t) = e−γt (A0 sin[Ωt] + B 0 cos[Ωt])Îòñàëîñü íàéòè ÷àñòíîå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ. Äëÿ íåãîìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäîì ïðåîáðàçîâàíèé Ôóðüå. Ââåäåì îáîçíà÷å1 ∂íèå: − m∂q U (q, t)|q=0 ≡ Q(t):Z +∞Z +∞1−iωtdωq(ω)eq(t) =, q(ω) =dtq(t)eiωt2π −∞−∞Z +∞Z +∞1−iωtQ(t) =dωQ(ω)e, Q(ω) =dtQ(t)eiωt2π −∞−∞Ïîäñòàâëÿÿ ýòî â èñõîäíîå óðàâíåíèå:q(ω)(−ω 2 ) − 2γiωq(ω) + ω02 q(ω) = Q(ω) <=> q(ω) =12πq(t) =Z+∞=−∞+∞Z12π−ω 2−∞Z+∞−∞Q(ω)=>−ω 2 − 2iγω + ω02Q(ω)dωe−iωt =− 2iγω + ω020dωeiω(t −t)Q(t0 )dt02−ω − 2iγω + ω02iω(t0 −t)1dωeÎáîçâàâ G(t, t0 ) = 2π, ïðèäåì ê èçâåñòíîé ôîðìóëå äëÿ−∞ −ω 2 −2iγω+ω02÷àñòíîãî ðåøåíèÿ ÷åðåç ôóíêöèþ Ãðèíà:Z +∞G(t, t0 )Q(t0 )dt0q(t) =R +∞−∞ßâíûé âèä ôóíêöèè ãðèíà ïîëó÷àåòñÿ, åñëè ðóêàìè âçÿòü è íàéòè åå èíòåãðàë ÷åðåç âû÷åòû.

Îí èìååò äâà ïðîñòûõ ïîëþñà â òî÷êàõ −iγ −Ω, −iγ +Ω. ×òîáû âçÿòü èíòåãðàë ñ ïîìîùüþ âû÷åòîâ, íóæíî äëÿ ðàçíûõ t − t0 âûáèðàòü êîíòóð ëèáî ñâåðõó, ëèáî ñíèçó, ÷òîáû áûë ïðàâèëüíûé çíàêî â ïîêàçàòåëå ýêñïîíåíòû. Åñëè t0 −t > 0, òî îáõîäèòü ìû áóäåì ñïîëîæèòåëüíîéìíèìîé ÷àòñüþ, òî åñòü ñâåðõó. Òîãäà íóæåí âû÷åò íè â îäíîì èç ïîëþñîâ,òî åñòü ïî òåîðåìå êîøè èíòåãðàë çàíóëèòüñÿ. À âîò åñëè t − t0 > 0, Òî íàìíóæíû îáà ïîëþñà è ôîðìóëû äàþò:ihiω1 (t0 −t)iω2 (t0 −t)e−esin(Ω(t − t0 )) −γ(t−t0 )2πi=eG(t, t0 ) =2πω1 − ω2Ω8Âîçâðàùàÿ ýòî îáðàòíî â íàøó ôîðìóëó:Z t00 sin(Ω(t − t ))q(t) =Q(t0 )e−γ(t−t )dt0Ω−∞Îñòàíåòñÿ òîëüêî âçÿòü èíòåãðàë.Âîïðîñ 7Ïðèâåäèòå âûâîä óðàâíåíèé, îïðåäåëÿþùèõ èçìåíåíèå ñî âðåìåíåìèìïóëüñà, ìîìåíòà èìïóëüñà è ýíåðãèè ñèñòåìû âçàèìîäåéñòâóþùèõ÷àñòèö, íàõîäÿùèõñÿ âî âíåøíåì ïîëå ïðè íàëè÷èè äèññèïàòèâíûõ ñèë.Ïîëó÷èòå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òåëà ñ ïåðåìåííîé ìàññîé.1)Ðàññìîòðèì ñèñòåìó n âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö, êîòîðûå íàõîäÿòñÿê òîìó æå âî âíåøíåì ïîëå è ïîäâåðæåíû äèññèïàòèâíûì ñèëàì.

Òîãäà:−−̇L(→q α, →q α , t) =nnnXXX2m→−→−→−−˙| q |alpha −Uαβ (| q α − q β |) −Uαext (→q α)2α=1α=1α,β=1À òàêæå ìíîæåñòâîì äèññèïàòèâíûõ ñèë Fαd , êîòîðûå ó÷òóòñÿ â óðàâíåíèÿõäâèæåíèÿ. Äëÿ òàêîé ñèñòåìû ñóììàðíîå èçìåíåíèå èìïóëüñà ñóòü:nnnXXX−∂∂d→→−̇−−−−P =pα =Uαβ (|→q α−→q β |) −Uαext (→q α ) + Fαd dt∂q∂qααα=1α=1β=1Ïðè ðàñêðûòèè ñêîáîê ïåðâóþ äâîéíóþ ñóììó ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå(áëàãîäàðÿ ñèììåòðèè çàìåíû α < − > β ):nXαβ=1n ∂∂1 X∂−−Uαβ (|→q α−→q β |) =Uαβ +Uαβ = 0∂qα2∂qα∂qβαβ=1Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî î÷åâèäíî, òàê êàê çíàêè ó ðàçíûõ α è β ïîä àðãóìåíòîì ðàçíûå. Çíà÷èò, ïåðâàÿ ñóììà ñàìà ñåáÿ ñõëîïûâàåò, è îñòàåòñÿ òîëüêîâíåøíèå ïîëÿ è âíåøíèå ñèëû.

Òàêèì îáðàçîì, ïîëíûé èìïóëüñ ñèñòåìûáóäåò ñîõðàíÿòüñÿ, åñëè ñóììà âñåõ âíåøíèõ ñèë(ïîòåíöèàëüíûõ â òîì ÷èñëå) ðàâíà íóëþ, ÷òî âûðàçèòñÿ â íóëå ñïðàâà.2) Ìîìåíò èìïóëüñà ñèòåìû åñòü ñóììà ìîìåíòîâ îòäåëüíûõ åå ñëàãàåìûõ. Çàïèøåì ýòî â âèäå:nnnXXXd →d−−̇−−−̇L=[−q α×→p α] =[→q α×→p α] +[→q α×→p α]dtdtα=1α=1α=1Ïîñëåäíÿÿ ñóììà çàìåíÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ, Ïåðâàÿ æåãðóïïà ñëàãàåìûõ îáíóëÿåòñÿ â ñèëó êîëëèíåàðíîñòè èìïóëüñà è ñêîðîñòè:n∂ X∂ ext →→−̇−−pα =−Uαβ (|→q α−→q β |) −U (−q α ) + Fαd∂qα∂qα αβ=19−−(→q −→q )αβ i0Îòìåòèì, ÷òî ∂q∂αi Uαβ = Uαβ. ÊÎãäà ìû áóäåì âåêòîðíî ïåðåìíî−−|→q α −→q β|æàòü êîîðäèíàòû ñ äèâåðãåíöèÿìè, òî ìû ïîëó÷èì ìíîæåñòâî ñëàãàåìûõâèäà:nXαβ=1=n ∂1 X∂∂qαkUαβ =qαkUαβ + qβkUαβ =∂qαj2∂qαj∂qβjαβ=1nn∂1 Xqαj − qβj1 X0(qαk − qβk )Uαβ =(qαk − qβk ) Uαβ−−2∂qαj2|→q α−→q β|αβ=1αβ=1Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ýòî ñëàãàåìîå ñèììåòðî÷íî ïî k è j , è åãî ïàðà ââåêòîðíîì ïðîèçâåäåíèè åãî ñàìîãî óáüåò.

 èòîãå îñòàíåòñÿ: Xn nXd∂ ext →−→−dL=Uα ( q α ) + Fαqα× −≡Mαdt∂qαα=1α=1Òî åñòü èçìåííåèå ìîìåíò èìïóëüñà ðàâíî ìîìåíòó âñåõ âíåøíèõ ñèë(ïîòåíöèàëüíûõèëè äèññèïàòèâíûõ). ×.ò.ï.3) Çàïèøåì ýíåðãèþ ñèñòåìû:H=nnnX1 X1X−−−Uαβ (|→q α−→q β |) +Uαext (→q α , t)mα q̇α2 +2 i=12α=1αβ=1Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç óðàâíåíèé äâæèåíèÿ:!#" nd∂Ld X →−̇−L =H=qα →dtdt α=1∂ −̇qα!!nnXX∂Ld ∂Ld→−̈→−̇q α, →=+q α,− L=−̇→−̇dt ∂ q αdt∂qαα=1α=1!!nn nXXX∂Ld ∂L∂L∂Ld→−̈→−̇→−̇=q α, →+q,−+q,− L=αα→−→−−̇→−̇dt ∂ q α ∂ q αdt∂qα∂qαα=1α=1α=1=n ∂LX→−̇q α , Fαd −∂tα=1Òàêèì îáðàçîì,Ḣ =nn X∂ X ext →→−̇Uα (−q α , t)q α , Fαd −∂tα=1α=1×òî è òðåáîâàëîñü. Êàê âèäíî, åñëè âíåøíèå ïîëÿ íå çàâèñÿò îò âðåìåíè,òî åñòü ÿâëÿþòñÿ êîíñåðâàòèâíûìè, à ìîùíîñòü äèññèïàòèâíûõ ñèë ðàâíàíóëþ(òî åñòü îíè îòñóòñòâóþò), òîãäà ýíåðãèÿ â ñèñòåìå ñîõðàíÿåòñÿ.4) Âûâîäó ðàâíåíèÿ ìåùåðñêîãî.

Ðàññìîòðèì èìïóëüñ ñèñòåìû â äâàáëèçêèõ ìîìåíòà âðåìåíè:→−−−−−−p (t) = m(t)→v (t); →p (t + dt) = (m(t) − dm)(→v + d→v ) + dm→v110−−−−d→p = m(t)d→v + dm(→v1 − →v)−−→−d→pd→vdm →−−−−= m(t)+(−v1 − →v ) = F = 0 => x Åñëè →v1 − →v = −→u = const :dtdtdtdmm−−−−−d→v =→u=> →v (t) − →v0=→u lnmm0Âîïðîñ 8Ïðèâåäèòå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû î âèðèàëå äëÿ ñèñòåìû ÷àñòèö ñïàðíûì ïîòåíöèàëîì âçàèìîäåéñòâèÿ, çàâèñÿùèì òîëüêî îòðàññòîÿíèé ìåæäó ÷àñòèöàìè, è, â ÷àñòíîñòè, äëÿ ÷àñòèö ñêóëîíîâñêèì âçàèìîäåéñòâèåì.Ýòî òåîðåìà î ñîîòíîøåíèÿõ ìåæäó ñðåäíèìè çíà÷åíèÿìè ïîëíîé êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ñèñòåìû è ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿ å¼ ÷àñòåé.

Âîçüìåìïîëó÷åííîå íàìè óðàâíåíèå äâèæåíèÿ:n∂ Xd→−−−pα =−Uαβ (|→q α−→q β |) + Fαddt∂qαβ=1−Äîìíîæèì ýòî ñêàëÿðíî íà →q α è ïðîñóììèðóåì ïî âñåì α: Xnn nXXd→d →−−→−→−−̇−pα =( q α, p α) −(→q α,q ,→p)=dtdtα=1α=1α=1 Xn n →−−X→− q α−→qβ→−→−0+q α , F dα ==−q α , Uαβ →−→−| q α − q β|α=1αβ=1=−n nX→− 1 X 0 →−→−Uαβ |−q α−→q β| +q α , F dα2α=1αβ=1Äàâàéòå òåïåðü ïîñ÷èòàåì ñðåäíåå çíà÷åíèå îò:Znnd X →1 τ d X →−−(−q α, →p α ) = lim(−q α, →p α ) dt =τ →∞ τ 0 dtdt α=1α=1" n#nX1 X →−→−→−→−= lim( q (τ )α , p (τ )α ) −( q (0)α , p (0)α ) = 0τ →∞ τα=1α=1Pn −̇ →À çíà÷èò, óñðåäíÿÿ âûðàæåíèå âûøå, ïîëüçóÿñü α=1 →q ,−p = 2Ek :−2E k = −nX →− 1 X →−−0 +|−q α−→q β |Uαβn →q α , F dα2α=1αβ=1Âèðèàë êëàóçèóñà:Ek =n X→− 1 X →−→−0 − 1n|−q α−→q β |Uαβq α , F dα42 α=1αβ=111Äëÿ îäíîðîäíûõ ñòåïåíè n ïîòåíöèàëîâ, â ñèëó óðàâíåíèÿ Ýéëåðà íàíèõ:dft = nfdt−−0|→q α−→q β |Uαβ= nUαβPnÏðè ýòîì ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ: Uin = 21 αβ=1 Uαβ =>nEk =→− n1 X →−Uin +q α , F dα22 α=1È äëÿ îòñóòñòâèÿ äèññèïàòèâíûõ ñèë ïðîñòî E k =ýòî ïðîñòî E k = − 12 U ×.ò.ï.n2 Uin .Äëÿ êóëîíàÂîïðîñ  9Ñ÷èòàÿ çàäàííûìè óðàâíåíèÿ ãîëîíîìíûõ èäåàëüíûõ ñâÿçåé, ïðèâåäèòåâûâîä óðàâíåíèé Ëàãðàíæà ñ ðåàêöèÿìè ñâÿçåé (1-ãî ðîäà); ïîëó÷èòåóðàâíåíèå äëÿ èçìåíåíèÿ ïîëíîé ýíåðãèè ñèñòåìû ïðè íàëè÷èè ñâÿçåé.−Èòàê, ïóñêàé ó íàñ åñòü k ñâÿçåé, òàêèõ, ÷òî óðàâííåèÿ ñâÿçè f (→ri ) = 0,òî åñòü îíè íå çàâèñÿò îò ñêîðîñòåé ÷àñòèö, à òàêæå ðàáîòà èõ ñèë ðåàêöèéíà âèðòóàëüíûõ ïåðåìåùåíèÿõ(íà ïåðåìåùåíèÿõ.

ðàçðåøåííûõ óðàâíåíèÿìè ñâÿçåé ïðè ôèêñèðîâàííîì âðåìåíè) ðàâíà íóëþ. Âèðòóàëüíîå ïåðåìåùåíèå ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ôîðìóëå:−5f δ →r =0−→ −Ðàâåíñòâî íóëþ ðàáîòû ñèë ðåàêöèè åñòü: Ri , δ →r = 0. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ íàì èçâåñòíû â ôîðìå:→−−̈m→r = F ext +kX→−Rii=1Ââåäåì k ïîñòîÿííûõ λk :NkXX→−→−Ri −λα 5 i fαi=1!−δ→r =0α=1Ýòî 3N óðàâíåíèé íà âàðèàöèè êîîðäèíàò, èç êîòîðûõ k äîëæíû áûòüçàâèñèìûìè. Ýòè óðàâíåíèÿ ìîæíî óïðîñòèòü, ïîäîáðàâ êîýôôèöèåíòû λiòàê, ÷òîáû êîýôôèöèåíòû ïðè çàâèñèìûõ âàðèàöèÿõ îáðàùàëèñü â íîëü.Äëÿ âñåõ îñòàëüíûõ íåçàâèñèìûõ âàðèàöèé íåîáõîäèìî îäíîâðåìåííî îáðàùåíèå â íóëü êîýôôèöèåíòîâ ïðè íèõ, ÷òî ïðèâåäåò íàñ ê óðàâíåíèÿì íàR:kkXX→−→−→−→−−̈R =λα 5 i fα => m→r = F ext +λα 5 i fα , ∀α : fα = 0α=1α=112Ýòî è åñòü óðàâíåíèÿ ëàãðàíæà 1 ðîäà ñî ñâÿçÿìè.

Èçìåíåíèå ïîëíîéýíåðãèè ïðè íàëè÷èè ñâÿçåé ïîñ÷èòàåì ñëåäóþùèì îáðàçîì:Ė = −NNX− d→→−→∂ ext X →U+F −vi+R−vi∂ti=1i=1Êîòîðîå îòëè÷àåòñÿ îò îáû÷íîãî óðàâíåíèÿ íà ìîùíîñòü òîëüêî òðåòüèìñëàãàåìûì -ðàáîòîé ñèûë ñâÿçåé. Ýòî ñëàãàåìîå ìîæí îïðåîáðàçîâàòü, èñïîëüçóÿ ìíîæèòåëè Ëàãðàíæà:!NkNkXXXX→−→−→∂d−→−fα − fαR vi=λα5 i fα v i =λαdt∂tα=1α=1i=1i=1Ïîëíàÿ ïðîèçâîäíàÿ óðàâíåíèÿ ñâÿçè çàíóëèòñÿ, òàê êàê ïîëíîå ïðèðàùåíèå âñåãäà â òî÷íîñòè ðàâíî íóëþ.

À âîò îñòàíåòñÿ ñëàãàåìîå ñ ÷àñòíîéïðîèçâîäíîé, à çíà÷èò:Ė = −NkX− d→∂∂ ext X →U+F −vi−λα fα∂t∂tα=1i=1Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî òåïåðü íàì ïîòðåáîâàëîñü åùå îäíî óñëîâèå: óñëîâèå ñòàöèîíàðíîñòè ñâÿçåé. Ñ íèì ýíåðãèÿ áóäåò ñîõðàíÿòüñÿ.Âîïðîñ 1010. Ïðèâåäèòå âûâîä óðàâíåíèé Ëàãðàíæà äëÿ ñèñòåìû N ÷àñòèö ñ sñòåïåíÿìè ñâîáîäû èç óðàâíåíèé Äàëàìáåðà.Óðàâíåíèÿ Äàëàìáåðà:N X→−−̈−F i − mi →r δ→r = 0, ∀α : fα = 0i=1Ýòî óðàâíåíèå ïîëó÷àåòñÿ, êîãäà ìû áåðåì óðàâíåíèå äâæèåíèÿ ñî ñâÿçÿìè, äîìíîæàåì åãî ñêàëÿðíî íà âèðòóàëüíîå ïåðåìåùåíèå è ïîëüçóåìñÿèäåàëüíîñòüþ ñâÿçåé. Ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé ñâÿçåé ìîæíî èñêëþ÷èòü kêîîðäèíàò, è îñòàâèòü òîëüêî 3N − k = s. Îáçîâåì èõ qi , i = 1, s.

Ïðè ýòîìâèðòóàëüíûå ïåðåìåùåíèÿ âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàìè:−δ→ri=s−X∂→rik=1∂qkδqk òî æå âðåìÿ:s−d X ∂→rd ∂→d−→−̈−v =rq̇i +r = →dtdt i=1 ∂qidt ∂tÏîäñòàâëÿÿÿ âèðòóàëüíîå ïåðåìåùåíèå ïî êîîðäèíàòàì â óðàâíåíèå Äàäàìáåðà, èìååì:13N Xs −−−X→− ∂→d→v i ∂→riri− miδqk = 0Fi∂qkdt ∂qki=1k=1PN →−− →Ââåäåì îáîáùåííóþ ñèëó Qk = i=1 F i ∂∂qrki è êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ:PN→−→−T = T (q, q̇, t) = i=1 m2i ṙi2 .