Ответы на билеты

Âîïðîñ 1Èíâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèé Íüþòîíà îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèéÃàëèëåÿ, óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû îòíîñèòåëüíîïðåîáðàçîâàíèé ëîðåíöà ïðåîáðàçîâàíèõ ãàëèëåÿ, äëÿ èíåðöèàëüíîé ÑÎ S è ÑÎ S', äâèæóùåé−ñÿ îòíîñèòåëüíî S ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ →v 0 , à òàêæå äëÿ ïðîèçâîëüíîé→−òî÷êè ïðîñòðàíñòâà ñ ðàäèóñ âåêòîðîì r â ñèñòåìå S:→−−−r0+→r S0 = →rÎáûêíîâåííîå âåêòîðíîå òîæäåñòâî.  ñèëó èíâàðèàíòíîñòè ìàëûõ ýëåìåíòîâ âðåìåíè â ðàçíûõ ÑÎ, ìû ìîæåì âçÿòü îäíó è òó æå ïðîèçâîäíóþïî âðåìåíè îò îáåèõ ÷àñòåé. Òîãäà:→−−−v0+→v0=→vÈëè Ãàëèëååâñêèé çàêîí ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé.

Ñîãëàñíî ïðèíöèïó îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ, âñå ÿâëåíèÿ ïðîòåêàþò îäèíàêîâî â ðàçíûõ èíåðöèàëüíûõ ÑÎ. Ïîñêîëüêó S', î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ èíåðöèàëüíîé, òî â íåé ðàáîòàåòòîò æå çàêîí→−0−F = m→a0Äèôôåðåíöèðóÿ çàêîí ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé åùå ðàç, â ñèëó èíåðöèàëüíîñòè S':→−−a0 =→a→−→−0À çíà÷èò, èç óðàâíåíèÿ âûøå: F = F À ðàç âñå âåëè÷èíû îäèíàêîâû,òî îäèíàêîâû áóäóò è ñàìè óðàâíåíèÿ.Äëÿ ñëó÷àÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèÿìè Ëàãðàíæà âòîðîãî ðîäà:d ∂∂L(x, ẋ, t) −L(x, ẋ, t) = Fiddt ∂ ẋi∂xiÂâåäåì çàìåíó êîîðäèíàò x = x(q, t) ñ òðåáîâàíèåì ñóùåñòâîâàíèÿ îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ: q = q(x, t).

Òàæêå íàì ïîíàäîáÿòñÿ î÷åâèäíûå ñîPN ∂xPN ∂q∂∂q̇i + ∂tẋi + ∂tîòíîøåíèÿ: ẋ = i=1 ∂qx, è àíàëîãè÷íûå èì: q̇ = i=1 ∂xq.ii0Îáîçíà÷èì: L (q, q̇, t) = L(x(q, t), ẋ(q, t), t). Òîãäà, ïåðåïèñûâàåì óðàâíåíèÿËàãðàíæà: Xn N ∂L0 ∂ q̇j∂L0 ∂qj∂L0 ∂ q̇jd X ∂L0 ∂qj+−+= Fiddt j=1 ∂qj ∂ ẋi∂ q̇j ∂ ẋi∂q∂x∂q̇∂xjijij=1Î÷åâèäíî, â ñèëó íåçàâèñèìîñòè q îò ẋ, ÷òî∂ q̇j∂ ẋi=∂qj∂xi∂qj∂ ẋi= 0, îäíîâðåìåííî:èç çàïèñàííûõ âûøå ñîîòíîøåíèé. Òîãäà: XnN Xd ∂L0 ∂qj∂L0 ∂qj∂L0 ∂ q̇j−+= Fiddt∂q̇∂x∂q∂x∂q̇∂xjijijij=1j=11Ðàñêðûâàÿ ïîëíóþ ïðîèçâîäíóþ íà ïåðâîì ñëàãàåìîì: d ∂L0 ∂qj∂qj d ∂L0∂L0 ∂ q̇j=+dt ∂ q̇j ∂xi∂xi dt ∂ q̇j∂ q̇j ∂xiÏîäñòàâëÿÿ ýòî îáîðàòíî è ãðóïïèðóÿ ñëàãàåìûå, ïîëó÷àåì: X 0N N X∂qjd ∂L0 ∂L0∂L∂L0∂ q̇j−+−= Fid∂xdt∂q̇∂q∂x∂q̇∂q̇ijjijjj=1j=1Âòîðàÿ ãðóïïà ñëàãàåìûõ ñîêðàùàåòñÿ, à äëÿ ïåðâîé îñòàåòñÿ:N Xd ∂L0 ∂L0∂qj−= Fid∂xdt∂q̇∂qijjj=1×òîáû èçáàâèòüñÿ îò íåíóæíîé ñóììû â ëåâîé ÷àñòè, ïåðåïèøåì óðàâ0∂qj∂L0íåíèå. Ââåäåì âåêòîð F d = Fid , âåêòîð: A = ddt ∂L∂ q̇j − ∂qj è ìàòðèöó B = ∂xiÒîãäà óðàâíåíèå âûøå ïåðåïèñûâàåòñÿ êàê:BA = FÄîìíîæèâ íà îáðàòíóþ ê B ìàòðèöó B −1 =∂xi∂qj :Nd ∂L0 ∂L0 X ∂xi d−=Fi ≡ Qdjdt ∂ q̇j∂qj∂qji=1×òî è òðåáîâàëîñü ïîêàçàòü.

Ïðåîáðàçîâàíèå Ëîðåíöà, î÷åâèäíî, îòíîñèòñÿ ê êëàññó òàêèõ ïðåîáðàçîâàíèé.  ñàìîì äåëå, âî-ïåðâûõ, ó íåãî åñòüîáðàòíîå, à âî-âòîðûõ, ñòàðûå êîîðäèíàòû âûðàæàþòñÿ òîëüêî ÷åðåç íîâûåè âðåìÿ.Âîïðîñ 2Ïðèâåäèòå âûâîä çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ Ýíåðãèè, Èìïóëüñà, Ìîìåíòàèìïóëüñà ó ÷àñòèöû â ðåëÿòèâèñòñêîé è íåðåëÿòèâèñòñêîé ìåõàíèêå.Ñôîðìóëèðóéòå óñëîâèÿ, êîòîðûì äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ñèëû.1) Çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà. È â ðåëÿòèâèñòñêîé, è â îáû÷íîé ìåõàíè→−−̇êå óðàâíåíèå âûãëÿäèò êàê: →p = F .  òàêîì ñëó÷àå, ðàññìîòðèì ñêàëÿðíîå−ïðîèçâåäåíèå íà ëþáîå íàïðàâëåíèå →n:→− −d →−(−p ,→n ) = (F , →n)dtÎòñþäà î÷åâèäíîå óñëîâèå íà ñîõðàíåíèå ïðîåêöèè èìïóëüñà íà ëþáóþîñü n: Fn = 0, ãäå Fn - ñóììà âñåõ ñèë.2) Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà âûòàùèì â ñëåäóþùåì âèäå:→−d →−−−−[−r ×→p ] = [→v ×→p ] + [→r × F]dt×òî â ðåëÿòèâèñòñêîé, ÷òî â íåðåëÿòèâèñòñêîé ìåõàíèêå, èìïóëüñ ñîíàïðàâëåí ñ âåêòîðîì ñêîðîñòè.

Òîãäà ïåðâîå ñëàãàåìîå ñïðàâà èñ÷åçíåò.ṗi = Fi =>2Îñòàíåòñÿ òîëüêî ìîìåíò ñèë. Îòêóäà î÷åâèäíî óñëîâèå íà ìîìåíò âûòåêàåò òàêæå, êàê èç óñëîâèÿ íà èìïóëüñ.3)Çàêîí ñîõðàíåíèÿ Ýíåðãèè:−−̇Ė = (→v ,→p) ýòî ìîæíî ïîâåðèòü, à ìîæíî óáåäèòüñÿ ðóêàìè:d m 2−−̇−−̇(→v ,→p ) = m(→v ,→v)=vdt 2v v̇−−̇−−̇(→v ,→p ) = γm (→v ,→v ) + γ 2 v 2 2 = mγ 3 [v v̇]cPP−−̇Ïîñëåäíèé ïåðåõîä ñäåëàí â ñèëó: (→v ,→v) =ẋi ẍi = v ddt v = v 21 2vẋi ẍi .Ïðè ýòîì ìîùíîñòü:d1 3v v̇2E = mc − γ −2 2dt2cÒî åñòü òî æå ñàìîå è â ðåëÿòèâèñêîé ìåõàíèêå.  îáîèõ ñëó÷àÿõ:→−−Ė = (→v,F)Ðàçëîæèì ñèëó íà ïîòåíöèàëüíóþ, äèññèïàòèâíóþ è ãîðîñêîïè÷åñêóþ ñîñòàâëÿþùèå F = F g + F d − 5U .

 òàêîì ñëó÷àå:−→→−−−Ė = (→v , F d ) − (→v , 5)UÏðè ýòîì, îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî ïîëíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïîòåíöèàëà→−−∂U + (→v , 5U ), ÷òî ïîçâîëÿåò çàìåíèòü:ddt U=∂t−→d∂−(E + U ) = U + (→v , F d)dt∂tÀ çíà÷èò, ïîëíàÿ ýíåðãèÿ áóäåò ñîõðàíÿòüñÿ â îòñóòñòâèå äèññèïàòèâíûõñèë è â êîíñåðâàòèâíûõ ïîëÿõ.Âîïðîñ 3Ñ÷èòàÿ èçâåñòíûìè çàîêíû êåïëåðà, ïîëó÷èòå âûðàæåíèå äëÿ ñèëû,äåéñòâóþùåé ñî ñòîðîíû ñèëîâîãî öåíòðà íà ÷àñòèöóÈç çàêîíîâ Êåïëåðà ñëåäóåò, ÷òî ñåêòîðàëüíàÿ ñêîðîñòü ïîñòîÿííà.  òî−−̇−r ×→r ].

 ïîëÿðíûõæå âðåìÿ, ÷òî òàêîå ñåêòîðàëüíàÿ ñêîðîñòü? Ýòî →σ = 12 [→→−̇→−→−→−→−→−dêîîðäèíàòàõ: r = dt (r e r ) = ṙ e r + rϕ̇ e ϕ => σ = σ e z = 12 r2 ϕ̇ = const =0σ0 => ϕ̇ = 2σr2Äëÿ âòîðîé ïðîèçâîäíîé êîîðäèíàòû:−1 d 2 →→−̈−−−−r = [r̈→e r + ṙϕ̇→e ϕ ] + [ṙϕ̇ + rϕ̈] →e ϕ − rϕ̇2 →e r = r̈ − rϕ̇2 →er+r ϕ̇ −eϕr dtÏîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå äëÿ ϕ̇:34σ 2 −1 d→−̈−r = r̈ − 30 →er+[2σ0 ] →eϕrr dtÀ òåïåðü âûðàçèì ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè ṙ =2− (2σr20 )d 1d2 ϕ r2drdϕ ϕ̇= −2σ0 ddϕ 1r => r̈ =îòêóäà24σ→−̈r = − 20rd2 1 1 →−+erd2 ϕ r rÄëÿ òðàåêòîðèé ïëàíåò â âèäå ýëëèïñîâ: r =òåïåðü, îêîí÷àòåëüíî:ρ1+ cos ϕ , =q1−b2a2 , ρ=b2a11d2 14σ 2−̈= + cos ϕ, 2= − cos ϕ => →r = − 20rρ rrρrd ϕr→−−̈→−Èç çàêîíà Íüþòîíà: F = m→r = mαr 2 e r , à èç 3 çàêîíà Íüþòîíà î÷åâèäíî,÷òî òî÷íî òàêæå äîëæíà âûëåçàòü èç âûðàæåíèÿ è ìàññà âòîðîãî òåëà.→−−2→erÇíà÷èò, îêîí÷àòåëüíî: F = γ m1rM2×òî è òðåáîâàëîñü ïîêàçàòü.

Ïî æåëàíèþ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ èçâåñòíûìè èç Êóëîíà ôèíòèôëþøêàìè è ïîêàçàòü åùå, ÷òî ïîòåíöèàë îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëåí ïåðâîé ñòåïåíè ðàäèóñà, è âûïîëíÿåòñÿ èçâåñòíîå èçìàêñâåëëà óðàâíåíèå î äèâåðãåíöèè íàïðÿæåííîñòè ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ,íî ìû íå áóäåì ñòðàäàòü òàêîé ôèãíåé íàìåðåííî.Âîïðîñ 4Ïîêàæèòå, ÷òî îáùåå âûðàæåíèå äëÿ ñèëû Ëîðåíöà ìîæåò áûòüïîëó÷åíî èç óðàâíåíèé Ëàãðàíæà äëÿ îáîáùåííî-ïîòåíöèàëüíûõ ñèëâìåñòå ñ ïåðâîé ïàðîé óðàâíåíèé ÌàêñâåëëàÐàññìîòðèì óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà âòîðîãî ðîäà:d ∂∂L−L=0dt ∂ q̇i∂qiÀ òàêæå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ:d ∂∂→−̇p i = Fil =L0 −L0dt ∂ q̇i∂qiÂû÷èòàÿ îäíî èç âòîðîãî è ââîäÿ îáîçíà÷åíèÿ: U (q, q̇, t) = L − L0 :Fil ==NXj=1∂d ∂U−U=dt ∂ q̇i∂qiNX ∂2∂2∂2∂U q̈j +U q̇j +U−U = Fil (q, q̇, t)∂ q̇i ∂ q̇j∂q∂q̇∂t∂q̇∂qjiiij=1Ïîñêîëüêó ñèëà ëîðåíöà çàâèñèò òîëüêî îò ïåðâûõ ïðîèçâîäíûõ êîðäèíàò, òî ïåðâûå ñìåøàííûå ïðîèçâîäíûå äîëæíû îáðàùàòüñÿ â íóëü òîæäåñòâåííî.

Ýòî çíà÷èò, ÷òî îáîáùåííûé ïîòåíöèàë U áóäåò ëèøü ëèíåéíîé4ôîðìîé îò ñêîðîñòåé:U (q, q̇, t) = V (q, t) +NXaj (q, t)q̇jj=1Ïîäñòàíîâêîé â âûðàæåíèå âûøå èìååì:NXj=1q̇j∂ai∂∂ai+−U = Fil (q, q̇, t)∂qj∂t∂qiÍåòðóäíî âèäåòü ãðóïèðîâêó ñëàãàåìûõ:NXj=1q̇j∂ai∂aj∂ai∂−+−V = Fil (q, q̇, t)∂qj∂qi∂t∂qiÎ÷åâèäíî òàêæå, ÷òî â ïåðâûõ ñêîáêàõ ñòîèò íà ñàìîì äåëå ñîîòâåòñòâóþùàÿ êîìïîíåíòà ðîòîðà, à çíà÷èò, ìîæíî íàïèñàòü, èñïîëüçóÿ äâàíåäîñòàþùèõ óðàâíåíèÿ:ih→−∂−→−̇−a − gradV = F lq × rot→a + →∂t→−−Ââîäÿ îáîçíà÷åíèÿ: V = eϕ, →a = ec A , q = r, q̇ = v :→−i−→−e h→1 ∂→−v × rot A + e −gradϕ +A = Flcc ∂t×òî è åñòü âûðàæåíèå äëÿ ñèëû Ëîðåíöà â íóýíîì íàì âèäå.

Îñòàëîñüïîëó÷èòü äâà íåäîñòàþùèõ óðàâíåíèÿ ìàêñâåëëà. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:→−− →−→−1 ∂→E = −gradϕ +A , B = rot A =>c ∂t→−divB = div rot A ≡ 0→−−1 ∂1 ∂→rotE = −rot gradϕ +rot A =Bc ∂tc ∂t×òî è òðåáîâàëîñü ïîìîãàòü.Âîïðîñ 5Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà îïðåäåëåíà ñ òî÷íîñòüþ äî ïîëíîéïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò ïðîèçâîëüíîé ñêàëÿðíîé ôóíêöèè êîîðäèíàòè âðåìåíè. Óñòàíîâèòå ñâÿçü òàêèõ ïðåîáðàçîâàíèé Ëàãðàíæà ñêàëèáðîâî÷íûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ïîòåíöèàëîâ ýëåìêòðîìàãíèòíîãîïîëÿ ñàìîì äåëå, ðàññìîòðèì äâà ëàãðàíæèàíà, ïðèâîäÿùèõ ê îäèíì è òåìæå óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ:d ∂∂d ∂∂L1 −L1 = 0,L2 −L2 = 0dt ∂ q̇i∂qidt ∂ q̇i∂qiÂû÷èòàÿ îäíî èç äðóãîãî:5d ∂∂∆L −∆L = 0dt ∂ q̇i∂qiÐàñêðûâàÿ ïîëíóþ ïðîèçâîäíóþ, îêîí÷àòåëüíî:NXj=1NX∂2∂∂2∂2q̈j ∆L +q˙j ∆L +∆L −∆L = 0∂ q̇i ∂ q̇j∂q∂q̇∂t∂q̇∂qjiiij=1Íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé íà âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ íàêëàäûâàòüñÿ íå ìîæåò,ïîýòîìó ìû äîëæíû ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ïåðâîå ñëàãàåìîå îáíóëÿëîñü òîæäåñòâåííî.

Ýòî ïðèâåäåò ê òîìó, ÷òî ∆L áóäåò ëèøü ëèíåéíîé ôîðìîé ïîñêîðîñòè. Àíàëîãè÷íî 4 âîïðîñû, îáîçíà÷èì:X∆L = α(q, t) +q̇i βi (q, t)NNXX∂∂∂∂q˙j βi + βi −α−βj = 0q̇j∂qj∂t∂qi∂qij=1j=1NXq˙jj=1∂∂∂∂βi −βj + βi −α=0∂qj∂qi∂t∂qiÝòî âûðàæåíèå äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ äëÿ âñåõ ñêîðîñòåé, à çíà÷èò, íóæíî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû è ïåðâàÿ ñêîáêà òîæäåñòâåííî îáíóëÿëîñü. Òî åñòü:rotβ = 0 => β = gradf (q, t) =>∂∂f (q, t) − α(q, t) = 0∂qi ∂t∂Çíà÷èò, íàì äîñòàòî÷íî ïîòåðáîâàòü: α(q, t) = ∂tf (q, t) + γ(t).

Èç-çà ïðîèçâîëüíîñòè ôóíêöèè f ïîñëåäíþþ íåèçâåñòíóþ ôóíêöèþ ìîæíî çàãíàòüïîä äèôôåðåíöèàë è ïîëó÷èòü îêîí÷àòåëüíî:N∆L =X∂∂df (q, t) +q̇kf (q, t) = f (q, t)∂t∂qkdtk=1×òî è òðåáîâàëîñü ïîêàçàòü. Òî åñòü ìû ìîæåì ïðèáàâëÿòü ïîëíóþ ïðîâçîäíóþ îò ëþáîé ôóíêöèè ëèøü êîîðäèíàò è âðåìåíè, ïðè ýòîì áåç ïîòåðè âèäà óðàâíåíèé äâèæåíèÿ. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îáëåã÷åíèÿ çàïèñè ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîòåíöèàëîâ.  ñàìîì äåëå, ïóñòü åñòüËàãðàíæèàí ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ:N− −̇e →eXL1 = L0 + ( A , →q ) − eϕ = L0 +q̇k Ak − eϕcck=1Ïðèìíåèì ê íåìó êàëèáðîâî÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå è ñãðóïïèðóåì ñëàãàåìûå:N1 ∂eX∂L2 = L0 − e ϕ −f +q̇k Ak +fc ∂tc∂qkk=16→−→−∂f, A 0 = A + gradfÂèäíà î÷åâèäíàÿ çàìåíà: ϕ0 = ϕ − 1c ∂tÍåïîñðåäñòâåííéî ïðîâåðêîé ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïðè ýòîì íàïðÿæåííîñòè ïîëåé íå ìåíÿþòñÿ, ÷òî è äîëæíî áû òüâ ñîîòâåòòñâèè ñ èíâàðèàíòíîñòüþ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ.Âîïðîñ 6Èññëåäóéòå îäíîìåðíîå äâèæåíèå â êîíñåðâàòèâíîì ïîëå. Ïîëó÷èòåôîðìóëó äëÿ ïåðèîäà íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé.

Íàéäèòå ôóíêöèþËàãðàíæà äëÿ îäíîìðåíîãî ôèíèòíîãî äâèæåíèÿ ÷àñòèöû âî âíåøíåìïîëå â ïðèáëèæåíèè ëèíåéíûõ êîëåáàíèé, ëèíåéíîå óðàâíåíèå äâèæåíèÿïðè íàëè÷èè äèññèïàòèâíîé ñèëû, ïðîïîðöèîíàëüíîé ñêîðîñòè è îáùååðåøåíèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ. îäíîìåðíîì êîíñåðâàòèâíîì ïîëå ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ïðèíèìàþò âèä:m 2ẋ − U (x)2 ýòî óðàâíåíèå íå âõîäèò ÿâíî âðåìÿ, à çíà÷èò èíòåãðàëîì äâèæåíèÿáóäåò ÿâëÿòüñÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû ÷àñòèö. Òî åñòü:r2m 2[E0 − U (x)]E = const = E0 = ẋ + U (x) <=> ẋ = ±2mL(x, ẋ, t) =Zdxx(t)±x0q2m= t − t0[E0 − U (x)]Ôèíèòíîå äâèæåíèå ïîäðàçóìåâàåò òî÷êè ïîâîðîòà.

Òîãäà, äëÿ ïåðèîäàèìååòñÿ î÷åâäèíîå âûðàæåíèå:Z x2dxqT =22x1m [E0 − U (x)] îáùåì âèäå ýòó áàéäó ðåøèòü íå óäàñòñÿ, òàê ÷òî ìû âîñïîëüçóåìñÿ ðïèáëèæåíèåì ëèíåéíûõ êîëåáàíèé, à èìåííî, ðàçëîæèì U (x) â ðÿä âîêðåñòíîñòè ýêñòðåìóìà ïîòåíöèàëà, â íàøåì ñëó÷àå - ìèíèìóìà. Òîãäà:U (x) = Umin + (x − x0 )U 0 (x0 ) +(x − x0 )2 00(x − x0 )2 00U (x0 ) = Umin +U (x0 )22Ïîäñòàíîâêà ýòîãî âûðàæåíèÿ â ôóíêöèþ Ëàãðàíæà äàåò, ñ îïóñêàíèåìêîíñòàíòû:m(x − x0 )2 00L(x, ẋ, t) = ẋ2 −U (x0 )22Òåïåðü ñäåëàåì çàìåíó êîîðäèíàò q = x−x0 , çàïèøåì óðàâíåíèå Ëàãðàíæà ñ äèññèïàòèâíîé ñèëîé âî âíåøíåì ïîëå Uext (x, t):mq̈ + qU 00 (x0 ) +∂Uext = F d = −k q̇ <=>∂qmq̈ + k q̇ + U 00 (x0 )q = −7∂Uext (q, t)∂qÏðåäïîëîæèì, ÷òî âíåøíåå ïîëå ìåíÿåòñÿ ñëàáî, è åãî ïðîèçâîäíóþ ìîæíîçàìåíèòü ñâîèì çíà÷åíèåì â ìèíèìóìå ïîòåíöèàëà.