Ответы на билеты, страница 3

Èñïîëüçóåì ∂∂qrki = ∂∂ qv˙ki :! sN−−XX∂→vid ∂→rid →−→−Qk −v i,− viδqk = 0midt∂ q̇kdt ∂qki=1k=1Ïåðâîå ñëàãàåìîå â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ ïðåâðàòèòñÿ â îäèí íóæíû íàì÷ëåí, à èìåííî:NXi=1miN−∂→vid X mi ∂ 2d ∂d →−v i,=vi =Tdt∂ q̇kdt i=1 2 ∂ q̇kdt ∂ q̇kÀ âòîðîå ñëàãàåìîå ïðåîáðàçóåòñÿ êàê:d ∂ →∂ →−−ri=v i =>dt ∂qk∂qkÈòîãîâàÿ ôîðìà óðàâíåíèé:s XQk −k=1d ∂∂T+T δqk = 0dt ∂qk∂qkÒàê êàê ýòî äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ íåçàâèñèìî äëÿ âñåõ âàðèàöèé íàøèõíîâûõ êîîðäèíàò, òî ìû ïðèõîäèì ê óðàâíåíèÿì ëàãðàíæà âòîðîãî ðîäà.×.ò.ï.Âîïðîñ 1111. Ïpèâåäèòå âûâîä ópàâíåíèé Ëàãpàíæà èç ïpèíöèïà íàèìåíüøåãîäåéñòâèÿ.Äëÿ íà÷àëà îïðåäåëèì äåéñòâèå: S =Zt1δS =t0ddt δqÏîëàãàÿ, ÷òî δ q̇ =Zt1δS =t0"Rtt0L(q, q̇, t)dt. È ïðîâàðüèðóåì åãî:#ssXX∂L∂Lδqk +δ q̇k dt∂qk∂ q̇kk=1k=1è èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷àåì:s X∂Lk=1∂qk−d ∂L∂Lδqk dt +δqk |tt10dt ∂ q̇k∂ q̇kÈç-çà ôèêñèðîâàííûõ êîíöîâ ïîäñòàíîâêè íà èõ ãðàíèöàõ îáðàùàþòñÿâ íîëü, è ìû ïîëó÷àåì, â ñèëó íåçàâèñèìîñòè âàðèàöèé äëÿ δq íóæíûå íàìóðàâíåíèÿ ëàãðàíæà.Âîïðîñ 121412.

Ïîëó÷èòå âûpàæåíèå äëÿ ôóíêöèè Ëàãpàíæà è ópàâíåíèÿ äâèæåíèÿñèñòåìû âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö â íåèíåpöèàëüíîé ñèñòåìåîòñ÷åòà.Òî åñòü íàì íåîáõîäèìî ïðîâåñòè çàìåíó êîîðäèíàò äëÿ íåèíåðöèàëüíîéñèñòåìû îòñ÷åòà.  íàøåì ñëó÷àå, ïóñòü ñèñòåìà S 0 äâèæåòñÿ îòíîñèòåëü−íî ñèñòåìû S ïî çàêîíó →r S 0 (t), à òàêæå âðàùàåòñÿ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ→−ω (t), à ëàãðàíæèàí â ñòàðîé ñèñòåìå - L(r, ṙ, t).

Òîãäà èìååòñÿ ñâÿçü ìåæäóñòàðûìè è íîâûìè êîîðäèíàòàìè:→−−−r0+→r S 0 (t) = →rÒîãäà, êàê ìû óæå ïîêàçûâàëè â ïåðâîì âîïðîñå, òàê êàê ýòè ïðåîáðàçîâàíèÿ íå çàâèñÿò îò ñêîðîñòåé ÷àñòèö, òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ áóäóò èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî íèõ. Îñòàëîñü ïîëó÷èòü íîâûé âèä ôóíêöèè Ëàãðàíæà. ×òî æ, èç-çà âðàùåíèÿ ñèñòåìû, çàêîí ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé áóäåò äðóãèì:→−−−−v =→v s0 (t) + →v 0 + [ω(t) × →r 0]Îñòàëîñü ïîäñòàâèòü ýòî â ôóíêöèþ ëàãðàíæà. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿòóò æå ðàçîáüåòñÿ íà 6 ñëàãàåìûõ, òðè ïîïàðíûõ ïðîèçâåäåíèÿ, è òðè ïîëíûõ êâàäðàòà.

 ñèëó íåîäíîçíà÷íîñòè ôóíêöèè ëàãðàíæà, ìîæíî ïåðâûéêâàäðàò âûêèíóòü. Èç ïîïàðíûõ ïðîèçâåäåíèé òàêæå óäàëÿòñÿ ïîäîáíûå÷ëåíû. Èòîãîâûé ëàãðàíæèàí âûãëÿäèò î÷åíü ãðîìîçäêî è ïðèâåäåíèþ òóòíå ïîäëåæèò, îäíàêî îí ïîëó÷àåòñÿ ïðîñòîé ïîäñòàíîâêîé è íå ñîäåðæèò íèêàêèõ ëñîæíîñòåé.Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ êîíêðåòíûå ïîëó÷àþòñÿ ïîäñòàíîâêîé ôóíêöèèëàãðàíæà â óðàâíåíèÿ ëàãðàíæà è âû÷èñëåíèå ïðîèçâîäíûõ.Âîïðîñ 14Ïîëó÷èòå â êâàäðàòóðàõ îáùåå ðåøåíèå çàäà÷è î äâèæåíèè òî÷å÷íîé÷àñòèöû â öåíòðàëüíîì ïîëå. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ òðàåêòîðèÿ ÿâëÿåòñÿçàìêíóòîé?Ðàññìîòðèì ÷àñòèöû â öåíòðàëüíîì ïîëå, ãäå ñèëîâîé öåíòð ñîâïàäàåòñ íà÷àëîì êîîðäèíàò:mL = v 2 − U (r)2−−Ðàññìîòðèì ìîìåíò èìïóëüñà ýòîé ÷àñòèöû: L = [→r ×→p ] = const, òàê êàêäëÿ öåíòðàëüíîãî ïîëÿ ìîìåíò åäèíñòâåííîé ñèëû, äåéñòâóþùåé ñî ñòîðîíû ïîëÿ, ðàâåí 0, òàê êàê îíà ñîíàïðàâëåíà ñ ðàäèóñîì.

Ïîñêîëüêó ìîìåíòñîõðàíÿåòñÿ, òî äâèæåíèå ïðîèñõîäèò â îäíîé ïëîñêîñòè, ïåðïåíäåêóëÿðíîé åìó. Îòëè÷íî, ââåäåì íà ýòîé ïëîñêîñòè êîîðäèíàòû ρ, ϕ è ïåðåïèøåìËàãðàíæèàí:mL(ρ, ϕ, ρ̇, ϕ̇, t) = (ρ̇2 + ρ2 ϕ̇2 ) − U (r)2Ïîñêîëüêó â ëàãðàíæèàí ÿâíî íå âõîäèò óãîë, òî ìîæíî íàïèñàòü äëÿL022ìîìåíòà èìïóëüñà: Lϕ = ∂∂ϕ̇ L = m2 2ρ ϕ̇ = mρ ϕ̇ = const = L0 => ϕ̇ = mρ2 .Çíà÷èò, îïÿòü ïåðåïèøåì ëàãðàíæèàí:L(ρ, ρ̇, t) =m 2L20ρ̇ +− U (ρ)22mρ215Ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ ýíåðãèè ÷àñòèöû:E=m 2mL20+ U (ρ) ≡ ρ̇2 + Uef f (ρ) = constρ̇ +22mρ22Ýíåðãèÿ ñîõðàíÿåòñÿ èç-çà êîíñåðâàòèâíîñòè ïîëÿ. Ýòî óðàâíåíèå ïðåêðàñíî ðåøàåòñÿ ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ.

 ñàìîì äåëå:r2dρ=±(E − Uef f (ρ))dtmZ ρ1dρqt − t0 = ±2ρ0m (E − Uef f (ρ))Òî åñòü çàêîí äâèæåíèÿ. Äëÿ óãëà, ñîîòâåòòñâåííî:dϕdϕ1 L0ρ̇ =>==> ϕ − ϕ0 = ±ϕ̇ =dρdρρ̇ mρ2ZL0mρ2 dρρ(ϕ)ρ(ϕ0 )q2m(E − Uef f (ρ))Äîïóñòèìàÿ îáëàñòü äâèæåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñóùåñòâîâàíèåì ïîäûíòåL2ãðàëüíîãî êîðíÿ, à èìåííî: E − U (ρ) − 2mρ0 2 ≥ 0, ðàâåíñòâî æå îïðåäåëÿåòòî÷êè ïîâîðîòà - òî÷êè, ãäå â íîëü îáðàùàåòñÿ ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ðàäèóñà. Åñëè åñòü äâå êîíå÷íûå òî÷êè ïîâîðîòà, òî äâèæåíèå áóäåò ôèíèòíûì,çàêëþ÷åííûì â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè, ñ ïåðèîäîì:Z ρmaxdρqT =22ρminm (E − Uef f (ρ))Ãäå òî÷êè ïîâîðîòà ρmin è ρmax - êîðíè óðàâíåíèÿ E − Uef f (ρ) = 0.Ýòîìó ïåðèîäó ñîîòâåòòñâóåò èçìåíåíèå óãëîâîé êîìïîíåíòû:ZL0mρ2 dρρmaxΦ=2ρminq2m(E − Uef f (ρ))Åñëè êàêîå-òî ÷èñëî îáîðîòîâ íå äàñò íàáåãà ôàçû, êðàòíîãî 2π , òî òðàåêòîðèÿ áóäåò î÷åâèäíî íåçàìêíóòîé. Ýòî óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíî: Φ = 2π mn,m, n - öåëûå ÷èñëà.Äëÿ ñëó÷àÿ èíôèíèòíîãî äâèæåíèÿ, ãäå ρm ax = ∞, âìåñòî íàáåãà ôàçû çà ïåðèîä èìååòñÿ äðóãàÿ õàðàêòåðèñòèêà - óãîë ðàññåÿíèÿ.

Ýòî óãîë:χ = π−Φ. Òàêæå îòìåòèì, ÷òî äëÿ ïàäåíèÿ ÷àñòèöû íà ñèëîâîé öåíòð, íåîáõîäèìî, ÷òîáû îáëàñòü îêîëî íóëÿ ïîòåíöèàëà îáëàäàëà ýíåðãèåé, ìåíüøåé,÷åì ýíåðãèÿ ÷àñòèöû. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò óñëîâèþ:lim U (ρ)ρ2 +r→0L20≤02mÝòî íàêëàäûâàåò îãðàíè÷åíèå íà ñòåïåíü, ñ êîòîðîé ïîòåíöèàë âåäåò ñåáÿâáëèçè íóëÿ.Âîïðîñ 1516Íàéäèòå òðàåêòîðèþ ÷àñòèöû, ñîâåðøàþùåé ôèíèòíîå äâèæåíèå ïîääåéñòâèåì öåíòðàëüíîé ñèëû ïðèòÿæåíèÿ, U = -à/r, à òàêæå âûðàæåíèåäëÿ ïåðèîäà îáðàùåíèÿ ÷àñòèöû ïî ýëëèïòè÷åñêîé îðáèòå.Óêàçàííûé ïîòåíöèàë óõîäèò íà +∞ â íóëå è ñòðåìèòüñÿ ê 0 ñíèçó íàáåñêîíå÷íîîñòè.

Ôèíèòíîå äâèæåíèå â íåì áóäåò ðåàëèçîâàíî, åñëè Umin <E < 0. Òî÷êè ïîâîðîòà îïðåäåëÿþòñÿ óðàâíåíèåì:αL2L20− <=> Eρ2 + αρ − 0 = 0;22mρρ2mqq2 + 2E L2α−α±α ± |α| 1 −2E 2m 0D = α2 +L0 => ρ1,2 ==m2E2|E|E=2|E| L20m α2Òî åñòü êîðíÿ êàê ðàç äâà, ÷òî íàì è òðåáîâàëîñü.  òàêîì ñëó÷àå, âåðíåìñÿ ê íàøèì ôîðìóëàì äëÿ òðàåêòîðèè:Zρ1Zρ=±ρ1Zρ1rmα22L20r2m−|E| +− Lm0 d ρ1L2012m −|E| − 2m ρ −αρ−mαL202L202mρ2+=mα22L20=mα1− mα2L0ρ − L20=2 = ±arccos q m2 α2L2− 2m|E|42LL− |E| − 2m0 ρ1 − mα00L20−d √L2mρ=±sL0mρ2 dρρϕ − ϕ0 = ±1ρ01ρ− mαL20q= ±arccos2L20 |E|m|α|1 − mα2L20Âûðàæàÿ îòñþäà ρ, ïîëüçóÿñü ÷åòíîñòü êîñèíóñà:r1 mαm|α|2L20 |E|− 2 =1−cos (ϕ − ϕ0 )2ρL0L0mα2L20m|α|ρ=α|α|Ââåäÿ îáîçíà÷åíèÿ:L20m|α|q2L2 |E|0+ 1 − mα2 cos (ϕ − ϕ0 )q2L2 E= p, 1 + mα0 2 = ε:ρ=α|α|p+ cos (ϕ − ϕ0 )Åñëè ϕ0 ñîîòâåòñòâóåò ìèíèìóìó ðàäèóñà, òî ϕ0 = 0.

Î÷åâèäíî, ÷òîâ íàøåì ñëó÷àå ýêñöåíòðèñèòåò ε ìåíüøå 1, à çíà÷èò, âñå óãëû ÿâëÿþòñÿðàçðåøåííûìè.  òàêîì ñëó÷àå òðàåêòîðèåé áóäóò ýëëèïñû, ïðè óñëîâèèïðèòÿãèâàþùåãî ïîòåíöèàëà, òî åñòü α > 0. Óðàâíåíèå òðàåêòîðèè:17ρ=ρmin =p1 + ε cos ϕ|α|L0pppp==p, ρmax =,a =,b = √221+ε1−ε1−ε2|E|1 − ε sqrt2m|E|Ïåðèîä îáðàùåíèÿ ïî ýëëèïòè÷åñêîé îðáèòå ïîñ÷èòàåì, íàéäÿ çàêîíäâèæåíèÿ â ïàðàìåòðè÷åñêîé ôîðìå. Ïàðàìåòð çàäàäèì ñëåäóþùèì îáðàçîì: r(ξ) = a(1 − ε cos ξ). ÒîãäàZrm 2(1 − ε cos ξ) sin ξ dξ=±(t − t0 ) =a ε p22|E|−a (1 − ε cos ξ)2 + 2a2 (1 − ε cos ξ) − b2rZrmma3=a (1 − ε cos ξ)dξ =(ξ − ε sin ξ)2|E|αq3Îòñþäà òóò æå ñëåäóåò ïåðèîä: T = maα 2πÄëÿ ãðàâèòàöèîííîãî îïòåíöèàëà ýòî íåìåäëåííî ïðèâîäèò ê çàêîíóÊåïëåðà î êóáàõ áîëüøèõ ïîëóîñåé.  òî æå âðåìÿ ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòàêîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ òóò æå ðïèâîäèò ê ñåêòîðàëüíîìó çàêîíó êåïëåðà.Òàêèì îáðàçîì, íàìè ïîëó÷åíû âîîáùå âñå çàêîíû êåïëåðà, êàêèå òîëüêîåñòü.Âîïðîñ 16Íàéäèòå òðàåêòîðèþ è óãîë ðàññåÿíèÿ ÷àñòèöû ïðè åå èíôèíèòíîìäâèæåíèè â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèëû îòòàëêèâàíèÿ ñ ïîòåíöèàëîì U =a/r, à òàêæå ñèëû ïðèòÿæåíèÿ ñ ïîòåíöèàëîì U = -a/r.Äëÿ îáîèõ ïîòåíöèàëîâ äëÿ ðåàëèçàöèè èíôèíèòíîãî äâèæåíèÿ ýíåðãèÿ÷àñòèöû äîëæíà áûòü áîëüøå 0.

 òàêîì ñëó÷àå ïîóë÷åííàÿ ôîðìóëà äëÿòðàåêòîðèè ïî-ïðåæíåìó áóäåò âåðíîé, íî å¼ ýêñöåíòðèñèòåò òåïåðü ñòàíåòáîëüøå 1 è ïðèâåäåò ê òîìó, ÷òî ïîÿâÿòñÿ îãðàíè÷åíèÿ íà âîçìîæíûå óãëû,à çíà÷èò òðàåêòîðèÿ âûðîäèòñÿ â ãèïåðáîëó. Êàêèå óãëû çàïðåùåíû?111 + ε cos ϕ = 0 => ϕ1 = π − arccos , ϕ2 = π + arccosεεÏðè ýòîìó íåèçáåæíî ñëåäóåò óãîë ðàññåÿíèÿ, òàê êàê ýòè äâà óãëà - àññèìïòîòû íà - è + áåñêîíå÷íîñòÿõ âðåìåíè:11χ = π − 2arccos = π − 2arccos q= 2 arcctgε2L2 E1 + mα0 2r2EL20mα2!Ïðè ýòîì äëÿ ðàçíûõ ïîòåíöèàëîâ îòâåò áóäåò îòëè÷àòüñÿ òîëüêî çíàêîì, äëÿ îòòàëêèâàþùåãî - ìèíóñ, äëÿ ïðèòÿãèâàþùåãî - ïëþñ.

Ñëó÷àéE = 0 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óðàâíåíèå ïîðàáîëû.Âîïðîñ 17Ïîëó÷èòå îáùåå ðåøåíèå (â êâàäðàòóðàõ) çàäà÷è äâóõ òåë.18Ïî ñðàâíåíèþ ñ óæå ðàçîáðàííûì ìàòåðèàëîì, çàäà÷à äâóõ òåë âåñüìà îñëîæíÿåòñÿ íåîáõîäèìîñòüþ ó÷èòûâàòü âëèÿíèå è âòîðîé ÷àñòèöû íàïåðâóþ. ñíà÷àëà íàïèøåì íóæíûé íàì ëàãðàíæèàí â íàèáîëåå ïðîñòîì âèäå:m1 2 m2 2−−v +v − U (|→r1−→r 2 |)2 12 2Ýòîò ëàãðàíæèàí ïðèâîäèò ê 6 óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ:(−̈−−m→r 1 = − ∂∂→U (|→r1−→r 2 |)−r1→−̈→−→−∂mr= − U (| r − r |)L=2−∂→r212−−−−−1→Äàâàéòå ñäåëàåì çàìåíû ïåðåìåííûõ: →r = →r1−→r 2, →rm = mm r 1 +→−→−−−→−−→−→−→−−m1 →m2 →m →1→=> v 1 = v + m2 v m − m2 v 1 => v 1 = m v + v m ; v 2 = v m − mm v.Ëàãðàíæèàí ïðåâðàùàåòñÿ â:−m2 →m r 2m2 →m1 →m1 m2 →−−−−(v +→v m )2 +(−vm−v )2 − U (|→r |)2 m2mm1 m2 →m− 2µ− 2m− 2−−−v +v 2 − U (|→r |) ≡ →v + →v − U (|→r |)L= →2 m2m2 m 2Òå êîîðäèíàòà öåíòðà ìàññ ÿâíî èñ÷åçëà èç óðàâíåíèÿ, à çíà÷èò èìïóëüñâ åå íàïðàâëåíèè ñîõðàíÿåòñÿ.

Çíà÷èò, vm = const è äëÿ ýíåðãèè ñèñòåìû,êîòîðàÿ òîæå ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ, ìû ïîëó÷àåì:L=E=m 2µ−vm + v 2 + U (|→r |) = const22Òî åñòü èçó÷åííóþ ðàíåå çàäà÷ó î öåíòðàëüíîì ïîëå äëÿ êâàçè÷àñòèöû ìàñmv 2ñû µ ñ ýíåðãèåé E − 2m . Äëÿ êâàçè÷àñòèöû, ïîñêîëüêó ýòî çàäà÷à î öåíòðàëüíîì ïîëå, äâèæåíèå ïðîèñõîäèò â îäíîé ïëîñêîñòè, òî åñòü ñ ïîñòîÿííûì ìîìåíòîì èìïóëüñà. Òåïåðü, äàæå â ïîòåíöèàëàõ âèäà αρ , íåñìîòðÿíà qòî, ÷òî ìû ïðèõîäèì ê òîé æå ôîðìóëå äëÿ ïåðèîäà îáðàùåíèÿ T =2π maα , íî ïîëóîñè äëÿ êæàäîé èç ðåàëüíûõ ÷àñòèö a1 =òî åñòü ìàññà íå èñ÷åçíåò èç âûðàæåíèÿ äëÿ ïåðèîäà.3m2m a, a2=m1m a,Âîïðîñ 18Ïðèâåäèòå âûâîä ôîðìóëû Ðåçåðôîðäà äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî ñå÷åíèÿðàññåÿíèÿ ëåãêèõ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö íà ïåðâîíà÷àëüíî íåïîäâèæíûõòÿæåëûõ ÿäðàõ. ýòîì ñëó÷àå áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ïîëó÷åííûìè âûâîäàìè äëÿ çàäà÷èäâóõ òåë.