Т.А. Леонтьева - Лекции по теории функций комплектного переменного, страница 8

Пусть Г(г) Е А(Р), М = эпр ~Г(г)~, Г(г) ф сапа~; ке0 тогда длл любой точки г Е Р следует Щг)~ < М. Эта теорема и носит название принципа максимума модуля аналитической фуикции. Доказательство. Если М = О, то Г(г) = О; если М = +со, то неравенство ~ Г'(г) ~ < М справедливо всегда. Поэтому будем считать, что О < М < +со. Доказательство проведем от противного: пусть существует точка ге Е Р такая, что ~ Г(ге) ~ = М. Покажем., что на любой окружности 1г: (г — ге! = т*1 с Р, т ) О модуль функции ~ Г(г) ~ = М.

Предположим, что это не так, т.е. что на окружности ~г — ге~ = т существует точка г = га+ тесе', в котоРой Щге + те'"')~ < М. Так как ),Г(ге + теки)( фУнкциЯ непрерывная, то существует или правая, или левая, или полная Б-окрестность, 6 ) О, точки ~р1 такая, что для всех ~р из этой окрестности неравенство ~Г(ге+ теаг)~ < М сохраняется. Предположим, что для р1 < у < д + 6 это так. По формуле среднего значения для аналитической функции можем написать 1 Г У(ге) = — / У(го+ те'"') Иу, 2к,/ о 3 Функции Лекция 5 66 тогда Р1 ~о~+б 1 1Х(яо) ~ = М < — / 1У(га + те'~) ~ <йр + / ~~(го + ге'") ~ йр 2х о 9>! 2я + Щге+ те"')~ ебр Ю~+б или 1 !У(яо)! < — [Мр~ + ИХ+ М(2и — р~ — б)] = М.

2и Пришли к противоречию, предположив, что на некоторой окружности (~я — яе~ = г'~ С Р существует точка я = ге+ ге'~', в которой Щяе+ ге'"') ~ < М. Следовательно, на любой окружности (~г — ге~ = т'1 С Р справедливо равенство ~~(г)~ = М; тем самым в максимальном круге, который можно вписать в область Р, с центром в точке яе, равенство Щг)~ = М сохраняется.

Теперь докажем, что для любой точки я Е Р Щя)~ = М. Так как область Р— открытое и связное множество, то существует непрерывная кривая Г С Р, соединяющая точки ге и Непрерывная кривая à — компакт. Пусть д = р(Г,дР) = 1п1' р(г~, я2) > О. Если д = +со, то в качестве е можно взять л~ег~ ~~ег~ любое положительное число. По лемме Гейне-Бореля из любого открытого покрытия компакта можно выбрать конечное подпокрытие. Устроим открытое покрытие таким образом: каждую точку кривой Г покроем открытым кругом радиуса б/3 с центром в этой точке. Из этого открытого покрытия по лемме Гейне-Бореля выберем конечное число кругов, образующих также покрытие кривой Г. Пусть центры этих кругов суть Гармонические функции.

Принцип максимума 2„22,..., аей НуМЕрацИя ТОЧЕК В НаПраВЛЕНИИ От ТОЧКИ аа К тОЧ- КЕ 2, ПРИ ЭТОМ 12: (2 — 2;! < о/3) й (2: (2 — г;+1 < Б/3)~ ф Э, 1 = 1, 2,..., п — 1. Рассмотрим круг радиуса 6 с центром в точке 2а. Точка 21 лежит в этом круге и по доказанному ранее в этом круге Щ2)~ = ЛХ, следовательно, Щ21)~ = М. Далее рассмотрим круг радиуса о с центром в точке 2,.

В этом круге лежит точка 22 и в этом круге ~Д2)~ = М. Следовательно, ~/(22)~ = М. Процесс рассмотрения кругов будем повторять и через конечное число шагов придем к кругу с центром в точке а„и радиусом о. В этом круге модуль функции равен ЛХ, но точка а лежит в этом круге, следовательно, ~у(а)~ = М. Итак, для любой точки 2 Е Р ~/(2)~ = М. Покажем, что отсюда следует равенство /(2) = сопЖ Так как ~/(2)~ = Л1, то й2)32 = и2(х, у) + 02(х, у) = М2. Имеем и. и' + и с' = О и.и'„— и и' = О в силу условий Коши-Римана систему уравнений перепишем в виде С и и',— и и'„=О о.и' +и и'„= О Так как и2+и2 = Ма > О, то решение однородной системы есть 'и', = и'„= О, т. е.

и(х, у) = сопа1. Аналогично, и(х, у) = сопа1 и Х(2) = сопи~, что противоречит условию теоремы. Тем самым теорема доказана. По ходу доказательства мы решили следуюшую задачу. ~ЗлйЯ~пу Фр й С~ а А~а) д ~~ а ~~а области Р. Доказать, что /(2) есть константа. Следствие 1. Пусть область .Р— ограниченная область и У(2) Е А(Р) П С(Р). Тогда Щ2)~ достигает максимума на 3* Лекция 5 68 границе области. Следствие 2. Пусть область Р— ограниченная область, функции Г~(г) Е А(Р) Г1 С(Р), Г2(г) Е А(Р) П С(Р) н на границе области Яг) = Яг). Тогда Г1(г) = Яг), г Е Р.

Следствие 3. Пусть Р— ограниченная область; Г(г) Е А(Р) П С(Р), Дг) ~ О,Чг Е (Р). Тогда минимум ~Дг)~ достигается на границе области Р. Задача 15. Верно ли следствие 2, если условие ограниченно- сти области Р снять? Принцип максимума гармонической функции Теорема. Пусть функцил и(х,у) гармонична в области Р, и(х,у) ф сопгФ и пусть М = гири(х,у), т = 1п7и(х,у). Тогда о длл любой точки (х, у) Е Р справедливы неравенства т < и(х,у) < М. Эта теорема носит название принцип максимума гармонической функции. Так как для гармонической функции справедлива формула среднего значения 2л 1 Г и(хп, уо) = — / и(хо+ тсову уо+ ге1п~р) Йр, 2к „/ о то, повторяя дословно доказательство теоремы о принципе максимума модуля для аналитической функции, где используется аналогичная формула среднего значения, получим доказательство данной теоремы.

Гармони ческне функции. Принцип максимума 69 Следствие 1, Пусть Р— ограниченная область, а функция и(х, у) е С(Р) и гармонична в Р. Тогда максимум и минимум функции и(х, у) достигается на границе области Р. Следствие 2. Пусть .0 — ограниченная область, функции и,(х,у) и и2(х,у) гармоничны в области Р, при этом и1(х,у) Е С(Р), иг(х, у) Е С(Р), и1(х, у) = иг(х,у), (х, у) Е дР. Тогда и1(х, у) = иг(х, у), (х, у) Е Р.

Задача 16. Верно ли следствие 2, если условие ограниченно- Г::::Л сти области Р снять? Сформулируем задачу Дирихле для оператора Лапласа. Задача Дирихле. Дана область Р и на границе области задана непрерывнол функция у(х, у). Построить гармоническую функцию и(х, у) в области Р, непрерывную в Р и такую, что и(х,у) = у(х,у) на границе. Задача Дирихле разрешима не для любой области.

Позже для областей специального вида мы в явном виде получим решение. Сейчас же мы можем сказать, что если решение существует и область ограничена, то решение задачи Дирихле единственно. Это следует из следствия 2. Итак, если функция 1(г) ~ А(Р) и отлична от константы, то ни в одной внутренней точке области ее модуль не может принимать максимального значения. Если же функция 1(г) Е А(С), т. е. есть целая функция, то, зная оценку модуля функции сверху, можно говорить о ее виде, иначе говоря справедлива Теорема Лиувилля. Пусть 1(г) Е А(С) и существуют о > О, М> О такие, что Чг Е С вЂ” + [1(г)[ с М[г[ .

Тогда 1(г)— многочлен, степень которого не превышает [о] — целой части числа а. Доказательство. Представим о в виде а = т + г, О с т с 1, Ц = т. Возьмем точку ге и В > О; тогда по интегральной то Лекция 5 формуле Коши у( ) 1 / 1Ы)Ж 2згг',/ ~ — го ' К вЂ” о[=я [[.[+ [( ) (И+1)[ / Х(0 К 2д1 [ (~ я )[*[+2' [е-рр[=л Оценим У[[ [+0(го): [яо[1" [[„[~ц ] ([о]+ 1)[ 27ГВ(В+ [яо!)" 1, В / ([.]+ 1)[(1+ — ~/ 2к В[е[+2 В[а[+1-а Так как у(з) — целая, то при В- -[оо получим у[["[+О(го) = О.

Так как яо — произвольная точка комплексной плоскости, то у[[ [+О(яо) = О, т. е. функция г"(я) есть многочлен, степень которого не превосходит [а]. Теорема доказана. Следствие. Пусть у(я) е А(С) и существует М > 0: Чя е С ],[(я)! < М. Тогда 1(я) = сопя1. ~ррррр д~~~ы ~ р шр ррах яр ['(я) Е А([г! < 1) П С([я! < 1), ~(0) = О.

Если ! г(я)! < 1, для ]я! < 1, то ! [".(я)! < [я], [я! < 1. Причем, если существует яо: [яо! < 1 [У(яо) ! = ]хо], то у(я) = е' г, а Е И, а — фиксированное число. [рррр 1р. прю д й~ ю фр ц (~, р) р на на всей комплексной плоскости С и ограничена сверху (огра ничена снизу), т. е. существует М: Ч~ Е С и(я) = и(х,у) < М (> М). Доказать, что тогда и(х, у):— соия1. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ лекция Пусть гг„) — последовательность комплексных чисел. Выражение г1+ гг+... + г„+... называется рядом из комплексных чисел и обозначается как ~; г„. Введем частичную тт сумму ряда о„= ~ аь Ряд называется сходящимся и имеет т=1 сумму, равную числу о, если существует 1пп о„= о.

Обо- тт оа значим Я = ~. г„. Тем самым по определению о' = тт=1 тт=1 если Уе ) О, ЗАГ~г)т Чп ~ )М(Г): 1о — ~ гут! ( г. тт=1 Так как Я„= Я х1+1 ~ у1,, при г„= х„+1у„, то ряд ~ г„схо- lт=! 1=1 тт=1 дится тогда и только тогда, когда сходятся ряды ~ х„, ), у„. тт=1 тт=1 Таким образом, для рядов из комплексных чисел справедлив критерий Коши, аналогичный критерию Коши для рядов из действительных чисел. Критерий Коши. Рлд ~ г„сходится тогда и только тогда, Лекция б когда 1тв > О, ЗМ(г), Чп > Х(г),Чр Е 1Ч: !Ки+„— Яи! = !г.+ + " . + хи+а! < г. Необходимое условие сходимости ряда: 11п1 ги = О.

и со Ряд ',1', ги НаЗЫВавтея абСОЛЮтНО СХОдящиМСя, ЕСЛИ СХОдИти=1 сЯ РЯД ,'1 !ги!. Из абсолютной схоДимости слеДУет схоДимость и=1 ряда )', ги. Так как !ги! > О, то все признаки абсолютной и-1 и Д2) — '~' ~„(г) Ь=1 1й>0, ЛХ(г) >О, Чп)Х(г), ЧгЕЕ: с г. Критерий Коши равномерной сходимости. Ряд ~ у„(г) и=1 сходится на множестве Е равномерно тогда и только тогда, сходимости ряда с комплексными числами ~: ги справедливы и=1 как признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.

Смотри, например, (41. Пусть множество Е С С и на Е задана последовательность функций (~„(г)), г Е Е. Ряд ~; у„(г) называется функт4иои=1 нальным рядом. Сходимость функционального ряда на множестве Е может быть поточечной и равномерной. Поточечная сходимость — сходимость в каждой точке множества Е как сходимость числового ряда. Определение. Функциональный ряд ~ ~„(г) сходитпся равнои=1 мерно на множестпве Е к функции т'(г), если Числовые и функциональные ряды когда Ф>0, ЛМ(г), 1гп>Х(г), ЧрЕИ, ЧгЕ Е: ~~„+1(г) +... + ~„+ (2) ~ ( Я . и+р ~~) иг (х, у) !е н+1 Еа) !е н+1 и;(х,у) + 1=в+1 а+р ,'С и) и+р и!(х, у) 1=и+ 1 и1(х, у) 1=и+1 ~ (~' г (2) !е н+1 Отметим некоторые свойства равномерно сходящихся рядов, которые нам понадобятся в дальнейшем. 1.