Т.А. Леонтьева - Лекции по теории функций комплектного переменного

Т.А. ЛЕОНТЬЕВА ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО по п исладной нЧ ' умО по классическому математике и инфср нфо матике де тов высших учебных дений обучающихск по специальносп математика и ин р МОСКВА НАУЧНЫЙ МИР 2004 УДК 5175 ББК 22.161.5 Л-47 Леонтьева Т. А. Л-47 Лекции по теории функций комплексного переменного.

— Мл Научный мир, 2004, 21бс., 53 илл. 18ВХ 5-89176-255-2 УДК 517.5 ББК 22.161.5 Рецензенты: доктор физ.-мат. наук, проф. А. М. Седлецкий. доктор физ.-мат. наук, проф. Е. В. Шикин 18ВХ 5-89176-255-2 © Леонтьева Т.А., 2004 © Научный мир, 2004 Лекции по теории функций комплексного переменного рассчитаны на читателя, знакомого с основным курсом математического анализа в объеме, например, учебника «Основы математического анализа», часть П, В.А.

Ильин, Э.Г. Позняк. Данный курс состоит из 18 лекций. Рассматриваются такие фундаментальные понятия, как непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость функций комплексного переменного. Изучаются вопросы теории аналитических и гармонических функций и применение этой теории к конформным отображениям. Изучение свойств гармонических функций и их разложение в ряды Фурье согласуется с изложением теории рядов Фурье в курсе математического анализа. Рассмотрены также вопросы операционного исчисления и его связь с решениями дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.

Лекции содержат около 50 задач теоретического характера. Данное пособие будет полезно также студентам и аспирантам технических университов и вузов, изучающих курс ТФКП Оглавление Предисловие 1 Комплексные числа и их свойства. Множества на комплексной плоскости 2 Функции комплексного переменного. Непрерывность и дифференцируемость. Геометрический смысл аргумента и модуля производной. 21 3 Элементарные функции комплексного переменного.

Интегрирование функций комплексного переменного. Интегральная теорема Коши , 34 4 Интегральная формула Коши. Интеграл типа Коши. Теорема Морера 5 Гармонические функции. Принцип максимума модуля аналитической функции. Принцип максимума гармонической функции........ 62 6 числовые и функциональные ряды. ОГЛАВЛЕНИЕ 7 Теорема единственности аналитических функций. Разложение гармонических функций в ряды........ 84 8 Многозначные функции.

Аналитическое продолжение Э Аналитическое продолжение через границу области и через разложение в степенные ряды. Понятие поверхности Римана 100 10 Ряды Лорана. Изолированные особые точки. 10Э 11 Вычет аналитической функции. Теорема о вычетах. Вычисление интегралов с помощью теоремы о вычетах 121 12 Логарифмический вычет. Принцип аргумента. Теорема Руше . 132 13 Конформные отображения. Основные принципы конформных отображений......

140 14 Дробно-линейное невырожденное преобразование и его свойства 148 15 Конформные отображения, осуществляемые функцией Жуковского, элементарными функциями (~", е', сов ~, ~8 ~) .. 157 .. 166 16 Задача Дирихле для оператора Лапласа... .. 178 17 Интеграл Лапласа и его основные свойства... ПРЕДИСЛОВИЕ Данный курс лекций по теории функций комплексного переменного в течение многих лет читался автором для студентов 2-го курса факультета ВМиК МГУ, где курс ТФКП входит как составная часть курса математического анализа.

Число лекций по ТФКП ограничивается 18 лекциями. Автору. пришлось ввести понятие аналитической функции как функции, имеющей непрерывную производную. Некоторые теоремы, а именно, теорема Римана о конформном отображении, большая теорема Пикара о поведении функции в окрестности существенно особой точки, даются без доказательства. Курс ТФКП согласован с курсом математического анализа. Так, знание свойств криволинейных интегралов от функций действительного переменного, свойства равномерно сходящихся рядов действительных функций, методы суммирования расходящихся рядов (методы Чезаро и Пуассона-Абеля) предполагаются известными. К моменту чтения лекций по ТФКП уже известны свойства несобственных интегралов., зависящих от параметра.

Изучение свойств гармонических функций и их разложение в ряды Фурье согласуется с изложением теории рядов Фурье в курсе математического анализа. В некоторых вузах, в частности, на факультете ВМиК МГУ, изложение теории рядов Фурье в математическом и комплексном анализе идет параллельно. Изложение теории функций комплексного переменного начинается со свойств комплексных чисел и таких понятий, как непрерывность, интегрируемость и дифференцируемость Предисловие функций комплексного переменного.

Далее рассматривается теория аналитических функций и применение этой теории к конформным отображениям. Подробно исследуются свойства дробно-линейной функции и элементарных функций. Наряду с однозначными функциями рассматриваются многозначные функции и методы выделения однозначнх ветвей многозначных функций. Вводится понятие римановой поверхности. Наряду с аналитическими функциями исследуются свойства гармонических функций. Строится решение задачи Дирихле для оператора Лапласа для области определенного вида.

Вводится функция Грина или функция источника и показывается связь существования функции Грина для области и конформного отображения этой области на единичный круг. Как еще одно применение теории аналитических функций рассматривается преобразование Лапласа при решении дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.

Наряду с изложением лекций приводится список задач теоретического характера, рекомендуемых студентам для лучшего усвоения курса. Число задач около 50, некоторые из задач можно рассматривать как самостоятельные теоремы. Лекции согласованы также с задачником по теории функций комплексного переменного: Т. А. Леонтьева, В. С. Панферов, В. С. Серов "Задачи по теории функций комплексного переменного". Приводится список литературы, рекомендуемой студентам для изучения курса ТФКП и при подготовке к экзамену, а также список литературы, на которую в тексте лекций имеются ссылки. В конце книги приводится также биографическая справка об авторах, чьим именем названа та или иная теорема. Данный курс лекций будет полезен студентам и аспирантам технических университетов и вузов, знакомящихся с курсом теории функций комплексного переменного, методы которой используются в физике, механике, аэродинамике, радиотехнике. Иреднсловне Пользуясь случаем, хочу выразить благодарность моим рецензентам: д.ф.-м.н., профессору механико-математического факультета А.

М. Седлецкому и д.ф.-м.н., профессору факультета ВМиК Е. В. Шикину за труд прочтения текста лекций и за ценные замечания, которые были учтены. Также хочется поблагодарить М. В. Комарова за профессиональный компьютерный набор рукописи. КОМПЛЕКСНЫЕ ЯИСЛА И ИХ СВОЙСТВА. МНОЖЕСТВА НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ лекция (х,у)+ (х1,у~) = (х+х„у+у,), (х,у) *(х1,у1) = (х х1 — у у1,х1 у+х у1). Операции сложения и умножения обладают свойствами ассоциативности, коммутативности и дистрнбутивности умножения относительно сложения.

Элементы вида (х, 0) = х будем отождествлять с действительными числами. В частности, элемент вида (0,0) = 0 будем считать нулевым элементом, элемент (1, 0) = 1 — единицей. Элемент (О, 1) = 1 назовем мнимой единицей. Так, 1г = 1 — 1, 1. у = (0,1) *(у,О) = (О,у). Элемент (О,у) будем называть чисто мнимым числом. Имеем (х, у) = х+ 1у. Итак, элементы (х, у) данного множества будем называть комплексными числами н обозначать г = х + 1у, х = В.е г, у = 1т г, "Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибил бытил с небытием." (Лейбниц (1)) Рассмотрим множество пар действительных чисел (х,у), х,у Е Й. Два элемента этого множества (х,у) н (х1,у1) называются равными, если х = хы у = у,.

На этом множестве введем две операции — сложение и умножение: Лекция 1 1о где 1'1е 2 означает действительную, а 21п г — мнимую часть комплексного числа 2. Для операции сложения комплексных чисел существует обратная операция — вычитание. Если 21 — — х1+гу1, 22 — — хг+гуг, то 21 22 — (х! + 2У1) — (х2+ гу2) = (х1 — х2) + 2(У1 У2). На множестве г ~ О для операции умножения существует обратная операция — деление. Пусть 22 ~ О, тогда 21 х1 + гу1 хг — гуг х1хг+ У1уг .У1хг — х1уг г 2 +1 2 2 22 х2 + гуг хг — 1У2 хг + Уг хг+ уг Таким образом, множество комплексных чисел с введенными операциями сложения и умножения образует поле, оно называется полем комплексно чисел. В курсе алгебры доказывается, что поле комплексных чисел есть минимальное поле, содержащее поле действительных чисел и элемент 2, такой, что 1 = — 1.

2 Задача 1. Существует ли поле, для которого поле комплексных чисел (с введенными операциями сложения и умножения) являлось бы подполем? Итак, г = х + 1У.Число 2 = х — гу называется числом, комплексно сопряженньам с числом г. Справедливы соотношения 21 + 22 = 21 + 22~ 21 ' 22 = 21 ' 22, ~ ~ =, 22 ~ О. 22 22 чы~~|= Р~р' ь Множество комплексных чисел можно отождествить с точками плоскости. Для этого на плоскости введем декартову Комплексные числа и их свосСства Рвс. 1 Выразим агав через действительную часть т и мнимую часть и комплексного чис са =: у агссй —. и' ) 0 сг + агсф — ', у > О, х < О у х — сг+агсгй-, у <О, х < 0 у х агав = агиг = агиг = систему координат (х,у) (рис. 1).

Рассмотрим точку г с координатами (х,у) и радиус-вектор Ог. Угол ср, который образует радиус-вектор с положительным направлением оси Ох, определен с точностью до 2ссп, и = 0,~1,~2,... Имеем: х = Цсовср, у = ~г~в1псс, г = ~г)(совсс+ гошу)— тригонометрическая запись комплексного числа, ссс = сро+ 2ссп, сс < Фо < сг. Под главным значением аргументпа комплексного числа г будем понимать угол уо и обозначать сро — — агкг, тогда ср = ага г + 2сгп = Ага г. 12 Лекция 1 Для точки я = 0 угол не определен.

Если числа заданы в тригонометрической форме г< —— ) г< ~ (сов у, + г в)п у<), з~ = )я~)(созуе+Фя1пуе), 'го << ' зз = )2<) ' )22) (сов(у< + уе) + 2 я1П(у< + ув)) В частности, если п Е )Ч и г = Ц(сову+ тяп у), то з" = )г)"(соетиу+хяппу) . Эта формула носит название формулы Муавра. Положим )л~ = г, сову+ тяпу = е<~ (в дальнейшем будет объяснена формула Эйлера е"' = сову+ге)ну), тогда в = те«', в" = г"е«'. Совокупность всех точек в на плоскости называют комплексиой плоскос<пью и обозначают С. Ось Ох называют вещесп<венной осью, ось Оу называют миимой осью. Стереографическая проекция Во многих вопросах теории функций комплексного переменного наряду с комплексной плоскостью 1; рассматривается расширенная комплексная плоскость — совокупность всех комплексных чисел плюс бесконечно удаленная точка (оо).