Т.А. Леонтьева - Лекции по теории функций комплектного переменного, страница 5

2* Лекция 3 36 Интегрирование функций комплексного переменного Рассмотрим спрямляемую кривую АВ (рис. 7) без точек самопересечения и самоналегания. Разобьем кривую на и частей с помощью точек ге — — А, г1, ... я„— — В в порядке следования по кривой от точки А к В.

Выберем на дуге ~1 1., г1 точку я,'. Обозначим через 1(г1 1, л1) длину дуги гс 1. -;. Пусть на кривой АВ задана функция Дя). Рис. 7 Составим интегральные суммы (2) Обозначим за Ь = п1ах ~ г1 1 — я; ~ — диаметр данного разбиения. 1(1(и Если существует придел интегральных сумм (1) при Ь вЂ” О, не зависящий от способа разбиения кривой точками я„я2,..., я„ и не зависящий от выбора точек г,' на дуге я1 1, ви то говорят, что функция 1(я) интегрируема на кривой АВ и обозначают 1 1 и ДЯ)11Ц = 1пп ( ~ 7(Я,')1(гс 1, г1)), АВ 1=1 Элементарные функции комплексного переменного Интеграл / Дг)[сЬ[ называют интегралом первого рода.

АВ Если существует предел интегральных сумм (2) при Ь вЂ” + О, не зависящий от способа разбиения кривой точками г1, гг,..., г„и не зависящий от выбора точек г,' на дуге г1 1, г;, то говорят, что существует интеграл второго рода от функции |(г) по кривой АВ и обозначают Пусть функции Дг) = и(х,у) + гв(х,у), г = х+ 1У, х;+ту;, г,' = х1+1У,'.. Тогда интегральная сумма (2) будет равна 1 (г )(г1 — г1 1) 1=1 ~[и(х';, у,') + ги(х';, у,')] [(х; — х; 1) + 1(У1 — у; 1)] 1=1 и ~~) [и(х';,у,')(х; — х; 1) — и(х';,у,')(у, — У1 1)] 1=1 п + 1 ,''1 [и(х',, У;) (х1 — х; 1) + и(х1, У;) (У1 — У; 1)].

Поэтому, если существует ) Дг)аг, то существуют интегралы АВ ) (и(х, у)ах — и(х, у)ау), ) (и(х, у)ах+и(х, у)ау) и справедливо АВ АВ равенство | Д ) Ь = и(х,у)с~х — 11(х,у)ду+1 и(х,у)дх+ и(х У) У. АВ АВ АВ Лекция 3 зв Заметим, что в правой части также участвуют интегралы второго рода. Аналогично показывается, что если существует интеграл первого рода 3 Дг) ~сЬ~, то существуют интегралы первого ро- АВ да / и(х,у) сУ, 3 о(х.,у) еЦ, сИ вЂ” дифференциап дуги АВ, и АВ АВ справедливо равенство ,г(г) ~сЬ~ = и(х,у)И+1 и(х,д)еЦ. АВ | АВ АВ Свойства интегрируемых функций Так как интеграл от функции комплексного переменного, как мы показали, связан с интегралами от функций действительных переменных, то понятно, как свойства интегралов от действительных функций действительных переменных переносятся на свойства интегралов от комплексной функции комплексного переменного.

Необходимое условие существования интеграла 3 Дя)И~ — модуль функции Дя) ограничен на дуге АВ АВ. 1. Линейное свойство. Пусть существуют интегралы 3 Дя)еЬ, АВ 3 д(х)~Ь; тогда существует интеграл АВ (оХ(х) + ~3д(я)) сЬ = а Дя) сЬ+ ~3 д(я) еЬ, а, ~3 Е С. АВ | АВ АВ 2. Аддитивность интеграла. Пусть кривая АВ = АС О СВ, где дуги АС и СВ имеют единственную общую точку С, и пусть Элементарные функции комплексного переменного 39 существует интеграл [ Дх) дг; тогда будут существовать ин- АВ тегралы [ Да) да, / Дг) да и будет справедливо равенство АС св Дг) гЬ = ~(г) (Ь+ Дг) еЬ. АВ АС св И, наоборот, из существования интегралов [ Да)Иг, ) Дг)дг АС СВ следует существование интеграла [ Дг) дх и выполнение при- АВ веденного выше равенства.

3. ~ ~(а) (Ь = — [ Дх) па. АВ ВА 4. Если 1 — длина кривой АВ, а [1(г)[ < М, х Е АВ, то Дх) еЬ ( М1. АВ Классы интегрируемых функций 1. Класс непрерывных функций. 2. Класс ограниченных по модулю функций, имеющих на кривой конечное число точек разрыва. 3. Класс функций, обладающих 1-свойством. Под этим классом понимают класс ограниченных по модулю функций и обладающих следующим свойством: для любого е > О найдется конечное число спрямляемых дуг, принадлежащих данной кривой АВ, таких, что сумма длин этих дуг меньше е.

Все точки разрыва функции Дг) лежат на этих дугах. Пусть кривая АВ задана параметрически: г = х+ гу, х = Л1(~), у = ЛгЯ, ~ Е [а,~3], а = Л(~) = Л1(г) + 1Лэ(~), Лекция 3 40 ~ — действительный параметр, и существует Л'($) Е С([а,]3]), Л'(й) ~ 0; тогда В ~(») с[» = ~[Л(1)]Л'(1) и», АВ а Д») [с[»] = ДЛ(й)]]Л'(й) [ сй. АВ Но не нужно думать, что все свойства и теоремы, присущие, например, определенному интегралу Римана, переносятся на интеграл от функции комплексного переменного.

Рассмотрим пример. Пусть АВ = [О, Ц, Д») = е~ "; тогда 1 1 | 3".(») д» = е~ "И» = сов(2я») Н»+ ~ э[п(2я») д» = О. [ол] [ол] о о Так как д(») = е' ~ 0 для любого» е С, то если бы была справедлива теорема о среднем, то 3 Д») д» был бы равен [ол] У(») ~ О, » Е [О, Ц, что противоречит тому, что 3 3(») и» = О. [ол] Интегральная теорема Коши Пусть кривая АВ задана параметрически» = Л(1), е [о,]3], и пусть функция Л(1) Е С([о,]3]) осуществляет взаимно-однозначное отображение отрезка [а,]3] на свой образ — кривую АВ.

Если это требование выполняется кроме концевых точек и при этом Л(а) = Л(]3), то будем говорить, что кривая АВ замкнута. В первом случае кривую назовем незамкнутой жордановой кривой, во втором — замкнутой жордановой кривой. Элементарные функции комплексного переменного 41 Теорема ?Кордана (без доказательства). Замкнутая жордановая (жорданова) кривая Г разбивает комплексную плоскость С на две области.

Одна область Рг = ю1à — ограниченная область и ее границей является Г, вторая область С,Рг— неограниченная, содержит оо и ее границей также является кривая Г. Определение. Область Р С С называется односвязной областью, если ее граница дР— замкнутое, связное множество. Область Р называется конечно-связной или и-связной, п е 1ч,и > 1, если ее граница состоит из конечного [из и) числа замкнутых связных компонент. В любом другом случае область Р— бесконечно-связная.

Из теоремы ?Кордана следует, что если область Р— односвязная и Г С Р, à — замкнутая, жордановая кривая, то Рг С Р [без доказательства). Казалось бы, этот факт, как и сама теорема?Кордана, очевиден, если в качестве Г брать непрерывную кривую, а не кривую Жордана. Но для просто непрерывных кривых Г это не так. Смотри, например [3[, где строится пример непрерывной кривой, заполняющей собой квадрат [0,1] х [О, Ц. В дальнейшем будем рассматривать гладкие или кусочно- гладкие кривые Жордана. Замкнутые, кусочно-гладкие, жордановые кривые будем называть контуром. Под положительным направлением обхода по границе дР области Р будем понимать такой обход, при котором область остается слева.

Интегральная теорема Коши..Пусть Р— односвязная область и пусть Дг) Е А[Р). Тогда для любого контура ГСР | Де) аг = О. г Лекция 3 Доказательство. Так как Г(г) е А(Р), то Г'(г) е С(Р) и, сле- довательно, и(х, у), и(х,у) Е С'(Р) (Г(я) = и(х, у) + ю(х,у)). Имеем ) Г(г)сЬ = ) и(х,у)пх — и(х,у)ф + г [ и(х,у)пу + г г г и(х,у) Нх. Для интегралов, стоящих справа в этом равенстве, применим формулу Грина (доказательство формулы Грина можно найти, например, в книге В.А. Ильина [4)).

Итак, ГГ1д д У(г)дг = и ~ — ( — и) — — (и) Мха ,и [дх ду г й- +г — (и) — — (и) пхну. пг Так как выполнены условия Коши-Римана: й, = и„'.; й„= -и', то ) Г(г) дх = О. г Замечание. Мы уже говорили о том, что условие Г'(х) е С(Р) — лишнее условие. Единственное место, где мы использовали непрерывность производной — это применение формулы Грина. Если же требовать только существования производной функции Г(х), х Е Р, то сначала теорема Коши доказывается для треугольника, потом для многоугольника и в конце, аппроксимируя контур Г многоугольниками, в общем случае. Смотри, например, А.И. Маркушевич [5[.

В качестве примера, подтверждающего, что условие односвязности в теореме Коши по существу, рассмотрим функцию ,Г(г)=-., Р=(~:1<ф <2)., Г=(г: Я=3/2). 1 я Элементарные функцнн комплексного переменного 43 11 3 Вычислим | — сЬ. Так как ф = —, то г = ге'4', 2' г 3 <р Е (0,22г). Тогда г=-, 2' 2к | 1 Г гге1~<йр — сЬ=/ . =22гт'фО. г / тее г о Следствие из теоремы Коши.