Т.А. Леонтьева - Лекции по теории функций комплектного переменного, страница 11

Такие точки называются точками ветвления многозначной функции. Зафиксируем й-ю ветвь (~/г)ь и обойдем точку г = О (или г = оо) п раз, тогда мы придем к той же ветви ( "„/г)ь. Такая точка ветвления называется алгебраической точкой ветвленил порядка (и — 1). Итак, многозначная функция ~(г допускает выделение различных однозначных ветвей, каждая из которых является аналитической функцией на С~К+, точки О и оо являются точками ветвления (и — 1)-го порядка. 2. Рассмотрим функцию г = е ., и~ = ю~ + иог, г = х+ гу (рис.

17). Так как функция е имеет период 2к1, то на всей плоскости ю она неоднолистная. Разобъем плоскость в на области Рь = (и: — и + 2М < 1гпш < к+ 2кЦ, й = Многозначные функции. Аналитическое продолжение 93 О, ~1, ~2,.... На области Ра функция е однолистна, поэтому обратная к ней функция будет однозначной. Функция е" отображает область Ра на область С~К, К = (х: — оо < х < О). ИМЕЕМ Е ' = и, ПОЭтОМу 1г! = Е ' И 7О7 — — 1П )г). ТОГда и = )г)Егв = е ' е* ' и и~г — — у+ 2Ьг. т. е.

и = 1пф+ тагил+ 2Ьгг', й = О, ~1, ~2...... Рис. 17 Обратную функцию к функции е' назовем 1 п и, тем самым 1п и = 1п~и~ + 7'агах + 2Ь77, й = 0,~1,~2,... — многозначная функция, но допускает выделение бесконечно много однозначных ветвей. При фиксированном 1с й-ая ветвь (1,па)ь = 1п~и~ + 7'агйг+ 2Ьгг' отображает С~К на область Рь. Так как на области Ра функция и = е" однолистна и аналитична, при этом (е )' = и" ф О, то обратная к ней функция 1с-ая ветвь (1,пи)а есть однозначная и аналитическая функция на 1 1 С~К, (1п г)1 — — — — — —. е'" г Нулевую ветвь 1 пи обозначают 1пг, 1пг = 1п ~г~+ гагах.

При х > 0 имеем 1п 1х~ = 1пх, и так как 1пх = ~ — при и = х ) 0 в области С~К, то 1п ф + 7'агйг = 1пг = / —, 1Щ 1 и е С~К . Нулевая ветвь 1 па, т. е. 1пг, называется главным Лекция В значением 1 и г. При обходе точки г = О илн г = оо значение агяг получает приращение 2к и мы с одной ветви перейдем на другую ветвь Ьпг. Совершая обход многократно, уже не вернемся на прежнюю ветвь. Такая точка для многозначной функции называется логари4мической точкой ветвления.

Итак, функция 1 и г — многозначная функция, допускающая выделение бесконечно много однозначных ветвей, каждая из которых является однозначной и аналитической функцией в С~К, а точки г = О и г = оо являются логарифмическими точками ветвления. 3. Определив функцию 1.п ", можно определить функцию г'*, а Е С.

По определению а аьпг В зависимости от значения а функция г может быть одно- значной или многозначной. Можно допустить выделение ко- нечного или бесконечного числа однозначных аналитических ветвей. Так, при а = и Е 1ч функция г'" — однозначная, анат литическая функция; при рациональном а ф О, а = — (т и и и взаимно просты, и ) 1) функция г — многозначная функ- ция, имеет и различных ветвей. Если взять а = г, то г' = +гь~й е ~а~ г"~ ' е1ы~~~ функция г' имеет бесконечно много однозначных аналитических ветвей в С~К, в частности, Г = е ~~ ( — вещественное число) имеет бесконечно много различных вещественных значений.

4. Рассмотрим функцию сов ш = г, ш = ш1 + иог, г = х + гу (рис. 18). Так как функция сов ж — периодическая (с периодом 2хи) и четная, то на плоскости ю это неоднолистная функция. Многозначные функции. Аналитическое продолжение 95 Разобъем плоскость 1н на области Ра = (то: н1с < Веш < я+ 1гЦ, 1с = 0.~1,~2,.... -1 1 — е Рнс. 18 е '+е' сов гшз = = с111цг — оо < иЪ <+со. Второй участок границы Ро (или Ра) переходит в луч: — оо < х ~ (— 1, обходящийся дважды и ='и+ йиз -+ сов(тг+ иц2) = — с111цз.

Определим обратную функцию к функции Сн + — 1ы ~+ ~-1 в=созш= 2 2 где 1= е1 . Тогда та — 2г1 + 1 = 0 и 1 = в + ~/зз — 1, поэтому 1 и = —, Ьп (в+ ~/ез — 1). Функцию, обратную к функции сов -, называют арккосинус г и обозначают Агссов з; тем самым 1 Агссоз з = — 1 и (в+ 1/Р— 1) .

1 Функция сов1о область Ра переводит в область С~(х ( — оо < х < — 1) 0 (1 < х <+ос)). Мнимую ось — 1ц = иаз функция сони переводит в луч: 1 < х < +со, обходящийся дважды Лекция 8 Функция Агссоз г допускает выделение однозначных, аналитических ветвей (их бесконечно много) в области СЦх: ( — сс < х < — 1) 0 (1 < х < +со)). 'сздд~ ~уу. д д ~, д дфу ц А ю* точки г = ~1, г = сс есть точки ветвления.

Определить их характер. 5. Рассмотрим функцию гиги = г, и = иу1 + ги9, г = х+ гу (рис. 19). 1! Рис. Га Разобъем всю плоскость ги на области Рь = (и: — — + М < 2 Ке ги < — +л lс), lс = О, х1, ~2,.... На каждой области Рь функция Гби~ — однозначная и аналитическая, позтому обратная к ней функция является однозначной. Функция гбао область Рф переводит в область С~(у: ( — сс < у < — 1) 0 (1 < р < +со)).

1 Так как (айги)' = ф О, си Е Рь, то функция, обрат- сое2 иу ная к функции Гй и, является однозначной и аналитической на СЦу: ( — сс < у < — 1) 0 (1 < у < +со)). Определим функцию, обратную к функции гй иу: поскольку 1 е' — е' 1 г = Сиги —, . — —,,', то Г9 — 1 = Ыф+1) или г е*"'+ е '"' г 1+ -' 7 1+ гд 1 /1+ 1я~ ~9 =, Отсюда и) = —, Ьп ~ 1 — д3 21 1,1 — гг) Многозначные функции, Аналитическое продолжение 97 Обратную функцию к функции ~8 а назовем арктангенсом и введем обозначение 1 / 1+ тх'1 Агсой х = —, Ьп ~ 21 1, 1 — 4а,~ Агссйг допускает выделение однозначных, ветвей в области С~(у: ( — оо < у < — 1) О (1 < ких ветвей бесконечно много. В частности, рая отображает исходную область на область и агсцх; при х = х агсй8х = ), поэтому 1+~2' аналитических у < +со)) — тата ветвь, котоРо, называется при г Е СЦу: 2 Ц ( — оо < у < — 1) 0 11 ~< у < +со)1 имеем атеей а = )' о 1+ч Задача 28.

Доказать, что точки а = хг являются точками ветвления для многозначной функции Агссй х. Определить их характер. Аналитическое продолжение Чхо е М Лб) О: Чх е Уа(хо) -~ ~(х) = ~) аа(х — хо)~ 11) ь=о 4 фтн каин Многозначные функции могут быть получены за счет аналитического продолжения. 1. Аналитическое продолжение с действительной оси На действительной оси рассмотрим множество М = (х а < х < б), а или б, а может быть и а, и б могут равняться оо.

Пусть на множестве М задана однозначная действительная функция 1(х) (функция, принимающая действительные значения). Скажем, что действительная функция Дх) аналитична на М, если 98 Лекция 8 Г(х) Е А(Р), Е(х) = Дх), х Е М, Покажем, что если Дх) есть действительная функция и аналитическая на множестве М., то она допускает аналитическое продолжение на некоторую область Р С С. Рассмотрим ряд 2 а»(х — хо)». По условию он сходится »=о в Уо(хо), о > О. Тогда ряд ", . 'а»(х — хо)" будет сходиться в »=о области ~з — хо~ < о и определять в этом круге аналитическую функцию Г»е), причем для х = х Е М функция Дх) = Е(х).

Рассмотрим область Р = О К „где К„= (е: ~е — хо~ (Я. коем Функция Р(е) Е А(Р) и при х Е М совпадает с Дх). Так, функцию е' можно рассматривать как аналитическое продолжение функции е* с множества М = 1к — действительная прямая: +~ « х =о +««« е*= ~ —,, ~я~<ос. «=о Функции з1пх, созе как аналитические продолжения с веще- ственной оси функций з»п х, соз х: ~'«( ц«о +««( 1)«2« созх =,~~~, (х! (Оо, созе = ~, )з~ ( со.

(2п)! »2п)! «мо «=о Скажем, что функция Г»г) — функция комплексного перемен- ного — есть аналитическое продолжение функции Дх) с мно- жества М на область Р, если Многозначные функции. Аналитическое продолжение 99 Функцию 1п(1 + х) можно рассматривать как аналитическое продолжение функции 1п(1+ х) с интервала ~х~ < 1 в круг ~л~ < 1, а именно лекция АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ 'ЧЕРЕЗ ГРАНИЦУ ОВЛАСТИ И ЧЕРЕЗ РАЗЛОЖЕНИЕ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ПОНЯТИЕ ПОВЕРХНОСТИ РИМАНА В предыдущей лекции было рассмотрено аналитическое продолжение функции, аналитической на интервале действительной оси, в комплексную область. Рассмотрим другой вид аналитического продолжения.

2. Аналитическое продолжение через границу области Пусть заданы две области Р1 и Рг, так, что Р, П Рг — — Ы, и области имеют общий участок границы Г, где à — жорданова, кусочно-гладкая кривая. Будем рассматривать кривую Г без концевых точек. Справедлива следующая теорема. Теорема (принцип непрерывности). Пусть функции Д(г) и Яг) таковы, что ~1(г) Е А(Р1) П С(Р1 0 Г), Яг) Е А(Рг) П С(Рг 0 Г), Л(г) = Л(г), г е Г. Тогда существует функция Дг) Е А(Р), Р = .01 0 Рг 0 Г, имеющая вид з1(г)., г Е Р1, У(г) ~2(г)~ г ~ Р2~ Л =Л, гЕГ. При этом говорят, что функция ~1(г) аналитически продол- жается в область Рг через границу Г (рис.

20). Виды аналитических продолжений. Поверхность Римана 101 Рис. 20 Доказательство. Нужно показать, что функция Д2) Е А(Р). Так как из определения Д2) следует, что Г"(г) Е А(Р| 0Р2), то достаточно показать, что функция Д2) Е А(Г). Пусть точка 2е Е Г; существует о > О, такое, что Уб(ае) С Р. Обозначим за Г1 контур, состоящий из части кривой Г, лежащей в круге ~2— 2е~ < 6, и части окружности ~2 — 2е~ = о, лежащей в области Р1. Через Г2 обозначим контур, состоящий из той же части кривой Г, лежащей в круге )2 — 2о~ < о, и части окружности (г-2о! = о, лежащей в области Р2. При положительном обходе кривых Г1 и Г2 общая часть кривой Г будет обходиться дважды, но в разных направлениях, поэтому — + — = — 2 Е Уб(ао) 2яг',/ ~ — 2 2яг,/ ~ — 2 2лг ./ С вЂ” 2 ' г, Г2 'й-го)=б Интеграл, стоящий справа, есть интеграл типа Коши, так как по условию ~(~) Е С(~~ — га~ = о), поэтому Д2) = —, / Е А(Уб(2о)).