Т.А. Леонтьева - Лекции по теории функций комплектного переменного, страница 3

В общем случае шюледнее определение связности не эквивалентно определению <вязпостн в топологическом пространстве. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ АРГУМЕНТА И МОДУЛЯ ПРОИЗВОДНОЙ лекция Пусть множества Е, Р С С, точка г б Е, а точка <о Е Г (рис. 4).

Рис. 4 Скажем, что йа множестве Е задана функция комплексного переменного у (г), если 'гг е Е, Я<о Е Е: У(г) = и>. '<1<ьож<ч"гь>о Г иазьигв<тся оол<ь<>пьян> <ь»м«>ь«>><<я функции >'(=), <с.>в >г<> б Г.

Л= е Е: Г(=) = >г. Виотти«г<ии>ри. к»ж.но>у «- Е' может с<эответ<"гвоь»гь> <>дно или 6о.не ьив и ььььь«г: >(=) = и. Если такое значение >ь~ единственное, то у(г) г>д>ьо>иь<ь ь>ь<ья функциц в противном случае — функ>ция многозначная. Наььрь<- мер: 1. у(г) = г", и >= ь"< — однозначная функция на Е = С. ЛекЦЛЯ 2 2.

г"(я) = ~Д, и Е 1Ч. По определению число и есть ~/л, если и" = г. Пусть г = Щсов р+ 1яп ~р) = ф(совагяя+ гяпагйя) — тригонометрическая запись комплексного числа, тогда ~(я) = ~/г = ~с~» сов +$31п й = О, 1,2,..., и — 1. Функция (Гг многозначная, а именно, ггзначная функция: каждому значению я, г ~ О, соответствует и различных значений Дг). Функция (гБ определена на всей комплексной плоскости С и является обратной к функции г".

Функция называется однолисгпной, если она осуществляет взаимно-однозначное отображение множества Е на множество Г. Пример: г"(г) = г"', п е Я, и > 1 не является однолистной на С, но если в качестве Е взять множество Е = (г: О < агя г < 2„'") — угол раствора 2", то на множестве Е функция Дл) будет однолистной. В дальнейшем, если не оговорено особо, будем рассматривать однозначные функции. Прцдельное значение функции в точке Пусть у(г) определена на множестве Е, для которого гав предельная точка.

Определение предельного значения функции по Коши и запись 1пп Дв) = ш означают: Уг > О. Ла(г) > О. Ч.: Е Е: О < !с —.-„~ < 6 Щс) — иг! < =-. 11погда пишут 1пп 1'(с) = и', когда хотят под и ркнутгч что рас- ген О сматривают предельное значение функции по множеству Е. Пусть г = х+ гд,,1(г) = и(х,у) + Ы(х, у), ~о — — то+ гую. Функцн»< комплексного переменного Теорема 2. Длл того, чтобы существовал предел 1пп 1(г) = е >е и> = а+ й, необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы 1нп и(х,у) = а, у <к» 1пп и(х,у) = Ь. и<» Доказательство следует из выполнения следующих нера- венств: (и(х,у) — а] < ],>(г) — и»! = < ]и(х, у) — а/ + ]и(х, у) — Ь], Щг) — и»] > ]и(х, у) — а].

Пусть 1пп Л(г) = и», 1пп Яг) = и>г., тогда справедливы н» ' ~-го следующие утверждения: 1. 1пп [Л (г) ~ Л(г)] = и > ~ и»г. 2. 1пп [<>(г) Л(г)] = и»> и;, 3. Если и>г ф О, то 1пп ~>Ж, = и>. >е Ын <»и' Доказательства этих утверждений следуют из справедливости соответствующих утверждений для функций действительного переменного и из теоремы 2. Определение предельного значения функции по Гейне и запись 1пп ~(г) = и> означают: Ч(.=н) С Е. с»» ф =<>. 11п> =„= =е »»--х -+ 1пп 1.("н) = ю. Е<»пп< и по Г< йп< экни- Ощ><;«,><'ппя и1><'лел> в<и<> п>н «<н<я н<» на.:«>гп<ы.

Определении: 1. 1пп ~(я) = оо: 'й > О, Зб(г) > О, Чг Е Е: О < ]г — ге] < б -+ ]У(г)! > г. Лекция г 2. 1пп ~(г) = то: АТЕЕ 'й > О, Зб(е) > О, ~й Е Е: ~г~ > б — + Щг) — то! ( е. 3. !пп Дг) = оо: кЕЕ Ме>0, ЗБ(е)>0, ЧгЕЕ: Ц>о ~ Щг)!>е. Непрерывность функции в точке Пусть функция 1(г) определена на множестве Е С С, точка го Е Е, го — предельная точка множества Е. По определению функция Дг) непрерывна в точке го, если существует 1пп Дг) = Дго).

Иногда говорят, что функция ~(г) непрерывна в точке го по множеству Е. Функция, непрерывная в каждой точке г е Е, называется функцией, непрерывной на множестве Е. Класс непрерывных функций на множестве Е будем обозначать С(Е). Теорема 3. Для тпого, чтобы функция Дг) = и(х, у) + ти(х, у) была непрерывна в точке го — — то + туг, необходимо и достпаточно, чтпобы действитпельные функции и(х,у) и е(х,у) были непрерывны в то ане (.тц, уо). Локпзапльгтии глсдугз из тсо!м мы 2 и ои!к;.т<:к иия ~н и!крыииой функции.

Свойства непрерывных функций Пусть функции т(г), д(г) непрерывны в точке го, тогда 1. 1(г) ~ д(г) непРеРывны в точке го. Функции комплексного переменного 2. у(г) д(г) непрерывна в точке ге. У( ) 3. Если д(ге) ф О, то функция — непрерывна в точке ге. д(х) 4. Суперпозиция двух непрерывных функций есть непрерывная функция, а именно, справедливо следующее.

Пусть функция Дх) определена на множестве Е и непрерывна в точке хе, хе е Е. Множество Е отображается функцией Дх) в множество Г: жо = У(хо), шо е г. Функция д(ю) определена на множестве С и непрерывна в точке ше, Р С С. Тогда функция ду"(г)] есть функция, непрерывная в точке хе. Определение. Функция ~(х) называется равномерно-непрерывной на множестве Е, если Уе > О, Зб(е) > О, Чх1, х2 Е Е: ]х1 — ха] < 6 ~ ]У(х1) — Дх2)] < е.

Теорема 4. Длл тпого, чтобы функция ~(х) = и(х,у)+Ы(х, у) была равномерно-непрерывной на множесгпве Е, необходимо и достагпочно, чтобы и(х, у) и и(х, у) были равномерно- непрерывны на множестпве Е. Свойства непрерывных функций на компакте Е Пусть функция у(г) С С(Е); тогда 1.

Щх)] — ограниченная функция на Е. 2. ]у(г)] достигает своей верхней и нижней грани на Е. 3. у(х) -- равномерно-непрерывная функция на Е (теорема Кантора). Доказазтльгтва зтих ут1к рждгний г.н;туют и ~ тео1х мы 4 я яьпнкпн пня гоот~ктгтяукнних унтк рждепий лля функций п(.г. и). г(.г. д).

Дифференцируемость функции Пусть у(х) определена на У~(ге), б ) О. Если существует У(х) — У(хо) предел 1пв, то зтот предел называют производной х — хо Лекция 2 Ьи + гЬсс = (а + гЬ) (Ьх + гЬУ) + (о, (1) + й~(1)) (сзх+ ггпу), отсюда Ьсс = сс.Ь.г — ЬЬУ+ сзс(1) Ъ.с — ссо(1) 'Ъу. Хс = 6Ь.с + пад+ ссс(1) Ъд+ о,(1) Х.г.

Так как Ьо — О, то ъ:г — О и Лд — О. Получаем, что функции и(х, у), и(х, у) дифференцируемы в точке (хо, уо) и при этом и'„= — Ь, и,' = Ь, ~о = а, ус(хо) =й +пс,', и',=а, функции у(г) в точке хо и обозначают у'( о). Положим Дя) = и(х. У) + ю(х, у), е = х + гу яо = хо + гуо и г1| =,с'(х) — Дхо) ~~ = с'.1и+1с1сс, -"1х = г — хо, Ьг = Ьх+гЬУ, где Ьи = и(х,у) — и(хо,уо), Ьи = сс(х,у) — и(хо уо) с'.1х = х — хо, ~1У = У вЂ” Уо. Ь~ Предположим, что существует у'(го); тогда — — ~'(го) Ьх о(1), 1пп о(1) = О. Следовательно, съ.г = ~'(хо)Ьг+ о(1)Ьх.

' а-о Определение. Функция Дя) называется диффереицируемой, если приращение Ь~ = Ас1г+ о(1)сзх, 1пп о(1) = О, А не Ь2-~о зависит от Ьг. Итак, если существует у'(хо), то функция Дг) дифференцируема; если она дифференцируема, то существует у'(ео) = А. Из дифференцируемости следует непрерывность — достаточно найти 1пп Ьу" = 1пп (Ас.'ъх + о(1)Ь|) = О. а -о а|-о Пусть у(х) - дифференцируемая функция в точке хо, т.

е. ,с1 ~ = ~'(хо) Ьг + о(1)Ьг. Обозначим у'(ео) = а+ 1Ь, о(1) = ос(1) + юо(1), причем 1пп ос(1) = 1пп ог(1) = О. Ймеем Функцкк комплексного переменного 2Т или Эти условия называют услоеилми Коши-Римана или условиями Эйлера-Даламбера. Условия (1) имеют основополагающее значение в теории аналитических функций и в приложениях этой теории к задачам механики и физики. По традиции условия (1) называются условиями Коши-Римана математиками, а механики и физики называют их условиями Даламбера-Эйлера, так как еще в 18 веке Даламбер (Д'Аламбер), а потом и Эйлер изучали эти условия применительно к вопросам гидродинамики, картографии и интегральному исчислению.

Предположим, что функции и(х, у) и и(х, у) диффсренцируемы в точке (хо, уо) и выполнены условия (1). Пусть и~ а ~о и~ Ь т Имеем Ьи = аЬх — ЬЬу + о~(1)Ьх+ ог(1)Ьу, ЬФ = ЬЬх + аиду + Оо(1)Ьх + 04(1)1.1у) 1пп о~(1) = 1пп оо(1) = 1пп до(1) = 1пп оо(1). а*-о а*-о ак-о ' а -о ак-о ак-о ак-о ак-о Отсюда ,ЬУ = Ли+)',Лт = оЛ,г — !эмад + ор (1) Ь.г + оо(! )Лд + юЬЛ.г + га Хд+ сок(!) Ъз + !о,(!) ~д Х ~ (о+ ~у!- Хд(- 6-' Ь~) О Хл (гч ! ! ! ~- е;( ! !),-.Лд ( Л ! ' ° !, ! ! !) = (а + гЬ)( ъг+ ! 1д) + \ | (о~(1) + !оо(1)) + Ъд(оо(1) + го~( !)). Тем самым — = а + гЬ + — (о~ (1) + гоо(1)) + — (о2(1) + ю4(1)).

Ь|, Ьх, Лу Ьг Ьв Ьк Лекция 2 Так как ]Ьх] (» ]Ьх], ]Ьу] < ]Ьг], то 11т — = а+лЬ = Х'(ге) = и',+т', = о„' — ли1 = и' — ли'„= о„'+ао,'. Итак, доказана теорема Теорема 5. Для того, чтобы функция у(г) = и(х, у) + Ы(х, у) била дифференцируема в точке ге — — хе + луе, необходимо и достаточно, чтобы функции и(х, у) и и(х, у) били дифференцируемы в точке (хе, уе) и выполнялись условия Коши-Римана. Свойства дифференцируемых функций Пусть существует ~'(го), д'(ге); тогда справедливы следующие утверждения. 1. Существует (~хд]' = ~'(г„)+д'(г ). 2. Существует (~ д]' = Г'(ге) д(г„) + ~(г ) .