Т.А. Леонтьева - Лекции по теории функций комплектного переменного, страница 2

Эта плоскость обозначается через С. Как можно трактовать С? Для этого вводится понятие стпереографической проек<<пи — как взаимно одиозна и<о< отображение С на сферу Римана. А именно, рассмотрим троям< рпог пр<х трап<"гво (С. <<. (). и в нем гф<ь ру («.)юру Рпмппп) (рп<.. 2): Я+не+Се 1 Центр сферы — точка О(0,0,1/2), радиус равен 1/2, а точка Р(0, О, 1) — полюс. Комплеисиые числа и их свойства Комплексную плоскость С совместим с плоскостью (с,ц) так, чтобы действительная ось совпала с осью ~, а мнимая — с осью ц.

Рассмотрим точку х б С, г = х+ гу, Соединим точку г с полюсом Р и рассмотрим векторы Рх, РИ, где М вЂ” точка пересечения прямой Рх и сферы Римана: Р М = ((, ц, ~ — 1), Рх = (х, у, — 1). Так как РЯ ~~ Рх, то откуда получаем: ( = ах, ц =- с<у, <", = — с<+ 1 е«..а Под< таним к<и>рдипаты (С. <<,(') и уравп< иие «]яры Римана: с< (хя+уя)+(а — 1)я = — с<+1 -< ая(х~+у ) = (1 — а)с< -+ аф =1 — с< -+ а= 1 1+ ~а~а Лекции 1 14 Итак, х у 1г1 1+ 1-Р' 1+!гР' 1+1 Р Точка»ц(с, у, (,) называется стереографической проеацией точки г = х+ 1у комплексной плоскости С.

Тем самым установлено взаимно-однозначное соответствие между С и сферой Римана с полюсом в точке Р(0,0,1). Бесконечно удаленной точке (оо) соответствует точка Р. $:,-к! 3««~ 2. До~~к г, * р«<«,*,$ $ р $* $' $ -'; )а!' — р~" ««««рю р«Ф р е «" х» —— х» + )у», гг — — хг + гуг в трехмерном пространстве. Задача 3. Доказать, что при стереографической проекции Е::::Л прямые и окружности на комплексной плоскости переводятся в окружности на сфере Римана. И обратно: любая окружность на сфере Римана является образом прямой или окружности на комплексной плоскости при стереографической проекции.

Множества на комплексной плоскости Рассмотрим последовательность комплексных чисел (г„),г„Е С. По определению последовательность (ги) сходится к комплексному чи<лу = Е С, если для любого е > 0 существует Х(е) такое, что для любого $$ > У(е) им< ет место 1=„— =1 < ". С и<.по.п »овапием квапторов всеобщпо<чи (Ч) и су и<('(ч'в(н)а»»»(я (3) »»~)$»$)е;<('$$»»у»о »)ы»п(' (1)о1)х»г.'»!ц)<$$)е(' $$(н'.»(' (< »(н)а ('(< $и мож»$() )а»$»к а $)ь в $$$»л(' (1)о1))»г.

»ы) 'й> О, Зх(е), Ь) > У(е): 12. — с1(е. Теорема 1. Длл того, чтобы последовательность (г„), г„= х„+ гу„, сходилась к конечному пределу г = х + )у, Комплексные числа и ях своа твв необходимо и достпаточно, чтобы последовапгельности (х„) и (у,) сходились: 1пп х„= х, 1пп у„= у.

в-ОО " ' И-00 Определение. Последовательность (гв) называется фундамен- тальной, если И>0, ЛХ(е), Чп>Ю(е), '~р~р1 !- !< Критерий Коши. Длл того, чтобы последовательность комплексных чисел (г ) сходилась к конечному пределу, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной. Замечание. Доказательство теоремы 1 и критерия Коши легко получить, если использовать неравенства, справедливые для любых двух комплексных чисел. Пусть г1 —— х, + 1у„ гг = хг + Зщ, тогда !г1 — гг! > !х1 — хг!' !г1 — гг! > !у1 — уг!' !г1 — гг! < !х1 — хг!+!у1 — уг!.

Для сходящихся последовательностей справедливы следующие теоремы. Теорема. Пусть 1пп г„' = г', 1пп г„" = г"; в-00 в Ов тпогда ! нп (гг ~ г„") = г' ~ г". Теорема. Пустпь 1пп =.,', = г', 1пп г,", = в сс в-Ос тогда 1нп (=,',' =,",) = =' в — Х Теорема. Пути, !нп =,', = ='. 1нн:,", = =" ф.й: тогда 1нп — ", = —. в и' ' И Доказательство теорем следует из того, что соответствующие теоремы справедливы для последовательностей действительных чисел, и из теоремы 1. Лекция 1 1В Множество Е С С называется ограниченным, если ЗЛХ>0, ЧгЕЕ:~г~<м.

Справедлива теорема Больцано-Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности комплексных чисел можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Определение. Множество У,(ге) = ~г: ~г — ге~ ( г), г > О, называется а-оптрмтой окрестностью точки ге. Это есть открытый круг с центром в точке ге и радиусом г. Точка ге называется предельной точкой множества Е С С, если 'Й > О, Лгг Е Е, гг ф ге .

гг Е У.(ге) или Из теоремы Больцано-Вейерштрасса следует, что любое бесконечное ограниченное множество имеет по крайней мере одну предельную точку. г-окрестностью бесконечно удаленной точки (оо) называется множество точек У,(оо) = ),г: (г~ > г). Говорят, что 1пп г„= оо, если Уе > О. ЗЖ(= ). ггпу ~ )Х(г): ~ е~ > г . Миожггт~ю Е им<а'г х ир<;гснгиой го ~кой. гели Че > О, 3с е Е: Ц > г. Рассмотрим С вЂ” расширенную комплексную плоскость. Справедлива Комнлексные числа и ик свойства Теорема. Любое бесконечное множество Е <.

С имеет по крайней мере одну предельную точку. Доказательство. Если множество Š— ограниченное, то зто следует из теоремы Больцано-Вейерштрасса. Если множество не ограниченное, то 3(гн) С Е: 1ьш г„= оо; следовательно оо Е С вЂ” предельная точка. Определение. Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Определение. Множество Е называется замыканием множества Е, если Е с Е и Е содержит все предельные точки множества Е. Таким образом, Š— всегда замкнутое множество. Определение. Множество дЕ называется границей множества Е, если дЕ = Е О (С ~ Е), или, что то же самое, Чг) О Чгв Е дЕ, 3~~ Е Е, Зг~ЕЕ: г~ Е У,(гв), г~ Е У~(го). Определение. Множество Е С С называется компактом, если оно замкнутое и ограниченное. Определение. Множество О С С называется открытыл<„если Чг Е О, ЗУ,(г): У,(г) С О .

Ощ<едеь!ение. Точка = называется внутренней точкой множества Е С С. <т:ш сущесгпует ь',(с) С Е. Таким обраюм. для откр<Из<но мп<<ж«''1'пн И пс<' '1<н1кп ьт<н'<1 !нп<>ж<ч"<нн н<ьчн!О<<а< пнуз1н випми. <<ля замкнутых и открытых множеств справедливы слелукьщие утверждения. 1. Конечная сумма или конечное пересечение открытых или замкнутых множеств есть множество открытое или замкнутое, а Лскц»я > именно пусть 0; — открытое множество, Р', — замкнутое множество, 1 Е 1л7, и Е 7у7.

Тогда И я П 0; — открытое множество; Д Р'; — замкнутое множество; 7=1 7=1 О 0; — открытое множество; Ц Р'; — замкнутое множество. >ы1 >=1 11. Ц О; — открытое множество; й Е; — замкнутое множество. >=> >=1 Пустое множество и С вЂ” одновременно и замкнутые, и открытые множества.

Говорят, что система открытых и замкнутых множеств на комплексной плоскости С, С определяют гпвпологик>. Топологии в С и в С различны. Например: сама плоскость С в топологии С вЂ” открытое и замкнутое множество одновременно, но С в топологии С не есть замкнутое множество. Множество Š— ограниченное и замкнутое -- есть компакт в С; множество Š— замкнутое, но не обязательно о>раниченпое — может быть компактом в С (определение компактного множества в топологическом пространстве будет дано ниже). Определение.

Скажем, что система открытых множеств (О) образует открытое покрытие множества Е, если >гг е Е, 30, е (0): г е О, . Лемма Гейне-Бореля. Из любого бесконечного открытого пварьатпл (О) компакта Е .мсг>нпо индел>>ть конечное подпол:7>> > и>пе. Доказательство. Пр<;пп>.п>жпм п7»» ппп»с. Пуг> ь гузпсс> пуст б>тк>п>счп»> открыто> покрыип (И) компакта Е, п > кого- рого нельзя вы>идить конг"пп»х> поди»крытия.

Так как Е— компакт, то оно ограничено. Тогда Е можно заключить в некоторый замкнутый прямоугольник М> со сторонами, параллельными осям координат на плоскости (рис. 3). Комллекс11ыв числа и их свойства Рвс. 3 Разобьем прямоугольник М1 на четыре прямоугольника, проведя прямые, параллельные осям координат и проходящие через середины сторон прямоугольника М1. Из этих четырех прямоугольников можно выбрать такой прямоугольник Ма, что для М~Д Е не уществует конечного подпокрытия.

Продолжим процесс построения прямоугольников, исходя из М2 . Будем иметь последовательность прямоугольников ~Мв), ̄— замкнутое множество, М„+1 с М„, причем ЕПМ„не имеет конечного подпокрытия множествами 4О). Так как размеры прямоугольников М„стремятся к нулю, то П М„= ге, ге е Е в=1 (т. к. Š— замкнутое множество). По условию система (О)— открытое покрытие, следовательно, существует открытое множество О,„с (О) ..:е е О „.

Так как О-„открытое множ< ство. то супнству<т Г,-(се) С О,„, по =„= П ЛГ„. Г)тан1ла с.п;1у<'1 в.-1 Сун1огтнппаин1 ПряМОуГОЛЬПИКа Л!1 С Ьт(СВ) С О „. ШНПГЛу ЕПЛУи С О.-в полУ1или пРотивоРечие с 1пэстРоением (И„). С::2 Задача 4. Пусть множество Е 1. С таково, что для любого открытого покрытия (0) множества Е можно выделить конечное подпокрытие. Следует ли отсюда, что Е есть компакт? Лекция 1 во Определение. Множество Е в топологическом пространстве называется компасом, если из любого открытого покрытия (0) множества Е можно выделить конечное подпокрытие.

Лемма Гейне-Бореля показывает, что для комплексной плоскости С это определение компакта эквивалентно ограниченности и замкнутости. Определение. Множество Е в топологическом пространстве называется связным, если из того, что Е представимо в виде Е=Е1ЦЕ2, Е1Ф6, Е2ФО, Е1ПЕ2=9 следует, что или Е1 П Ее у~ 6, или Е2 П Е1 ~ 9. Определение. Множество 1Э называется областью, если это множество связное и открытое одновременно, У вЂ” замкнутая область. Рассмотрим .0 с С. Для областей Р с С связность эквивалентна следующему определению. Определение. Множество Е называется связным, если для любых х1, хг Е Е существует ломаная, состоящая из конечного числа прямолинейных отрезков, целиком принадлежащих множеству Е.