Семинар (5-6) (Семинары)

СЕМИНАРЫ 5 И 6Система двух автономных обыкновенных линейныхдифференциальных уравнений. Фазовая плоскость. Изоклины. Построение фазовых портретов. Кинетическиекривые. Знакомство с программой TRAX.Фазовой плоскостью называется плоскость с осямикоординат, на которых отложены значения переменных xи y, каждая точка плоскости соответствует определенному состоянию системы. Совокупность точек на фазовойплоскости, положение которых соответствует состояниямсистемы в процессе изменения во времени переменныхx(t ) , y (t ) согласно заданным уравнениям исследуемойсистемы, называется фазовой траекторией.

Совокупность фазовых траекторий при различных начальныхзначениях переменных дает портрет системы. Построениефазового портрета позволяет сделать выводы о характере изменений переменных x и y без знания аналитических решений исходной системы уравнений.Для построения фазового портрета на фазовую плоскость наносят изоклины (метод изоклин). Изоклина —линия на плоскости, в каждой точке которой, касательные к фазовым траекториям исследуемой системы уравнений имеют один угол наклона.61Учебное пособие «Математические модели в биологии»Пусть уравнения имеют вид:⎧ dx⎪⎪ dt = P( x, y ),⎨⎪ dy = Q( x, y ).⎪⎩ dt(5.1)Тогда уравнение изоклины запишется как:dy Q( x, y )== A = const .dx P( x, y )(5.2)В уравнении (5.2) константа A есть тангенс угла наклона A = tg ϕ касательной к фазовой траектории. Черезглавные изоклины (нуль-изоклины) фазовые траекториипроходят под углом ϕ = 0 (изоклина горизонтальныхкасательных) и ϕ = 90 (изоклина вертикальных касательных).

Для изоклины горизонтальных касательныхуравнение (5.2.) принимает вид:dy Q( x, y )== tg 0 = 0 или Q( x, y ) = 0 ;dx P( x, y )для изоклины вертикальных касательных:dy Q( x, y )== tg 90 = ∞ или P( x, y ) = 0 .dx P( x, y )Все изоклины пересекаются в особой точке ( x , y ) ,для которой Q( x , y ) = P( x , y ) = 0 .Рассмотрим систему линейных дифференциальныхуравнений:⎧ dx⎪⎪ dt = ax + by = P ( x, y ),⎨⎪ dy = cx + dy = Q( x, y ).⎪⎩ dt62(5.3)Семинар 5-6.

Система двух линейных ОДУ. Фазовый и кинетический портретПостроение фазового портрета начинаем с построения главных изоклин. Для системы двух линейныхуравнений — это всегда прямые, проходящие через началокоординат. Уравнение изоклины горизонтальных касаcdтельных: Q ( x, y ) = 0 ⇔ y = − x . Уравнение изоклины верabтикальных касательных: P ( x, y ) = 0 ⇔ y = − x . Для дальнейшего построения фазового портрета полезно построитьизоклину касательных, проходящих под углом ϕ = ±45 .Для нахождения соответствующего уравнения изоклинынеобходимо решить уравнениеdycx + dy= tg ϕ ⇔= ±1 . Можdxax + byно находить и изоклины касательных других углов,пользуясь приблизительными значениями тангенсов углов. В построении фазового портрета также может помочь ответ на вопрос, под каким углом фазовые траектории должны пересекать координатные оси.

Для этого вdy Q( x, y ) cx + dy=== tg ϕ подставляемdx P ( x, y ) ax + byсоответствующие равенства x = 0 (для определения углапересечения с осью OY) и y = 0 (для определения угла пе-уравнение изоклиныресечения с осью OХ).Рассмотрим примеры построения фазового и кинетического портрета поведения траекторий системы вблизиособой точки. Построить кинетический портрет системы — означает построить графики зависимости величинпеременных x, y от времени. По фазовому портрету можно построить кинетический, и наоборот.

Одной фазовойтраектории соответствует одна пара кинетических кривых x(t ), y (t ) .63Учебное пособие «Математические модели в биологии»ПРИМЕР 5.1. Рассмотрим систему линейных уравнений:⎧ dx⎪⎪ dt = x − 4 y,⎨⎪ dy = x − y.⎪⎩ dtРис. 5.1. Фазовый и кинетический портреты системы,пример 5.1.Координаты особой точки — (0,0). Коэффициенты линейных уравнений равны: a = 1 , b = −4 , c = 1 , d = −1 . Определим тип стационарного состояния (см. Семинар 4, стр. 51):(a + d ) = (1 − 1) = 0,ad − bc = 1 ⋅ (−1) − (−4) ⋅ (1) = 3,(a + d ) 2 − 4(ad − bc) = 0 − 4 ⋅ 3 = i 12 .Таким образом, характеристические корни являютсямнимыми: λ1,2 = ±i 3 , следовательно, особая точка рассматриваемой линейной системы имеет тип «центр».64Семинар 5-6. Система двух линейных ОДУ. Фазовый и кинетический портретУравнение изоклины горизонтальных касательных:y = x , уравнение изоклины вертикальных касательных:1y = x .

Найдем уравнение изоклины, которую траектории4системы пересекают под углом в 45 к оси абсцисс:x− y= 1, x − y = x − 4 y, y = 0 .x − 4yПосле построения фазового портрета необходимо определить направление движения по найденным траекториям.Это можно сделать следующим образом. Возьмем произвольную точку на любой траектории. Например, на изоклине горизонтальных касательных (1,1). Подставим координаты этой точки в систему уравнений.

Получим выражениядля скоростей изменения переменных x, y в этой точке:⎧ dx⎪⎪ dt = 1 − 4 ⋅ 1 = −3,⎨⎪ dy = 1 − 1 = 0.⎪⎩ dtПолучившиеся значения нам показывают, что скоростьизменения переменной x — отрицательная, то есть ее значениедолжно уменьшаться, а переменная y — не изменяется. Отмечаем полученное направление стрелкой (против часовой стрелки).

Таким образом, в рассматриваемом примере движение пофазовым траекториям направлено против часовой стрелки.Подставляя в систему уравнений координаты разныхточек, можно получить «карту» векторов, задающих направление и скорость движения изображающей точки пофазовой кривой, так называемое векторное поле.Отметим, что на изоклине горизонтальных касательных переменная y достигает своего максимального илиминимального значения на данной траектории. Наоборот,на изоклине вертикальных касательных, своего максимального по модулю значения для выбранной траекториидостигает переменная x.65Учебное пособие «Математические модели в биологии»ПРИМЕР 5.1. Окончание.Перейдем к построению кинетического портрета системы. Выберем на фазовом портрете произвольную точку напроизвольной фазовой траектории.

Это начальная точка, соответствующая моменту времени t = 0 . В зависимости от направления движения в рассматриваемой системе значенияпеременных x, y либо уменьшаются, либо увеличиваются.Пусть координаты начальной точки — (1,1). Стартуя из этойточки, мы должны двигаться против часовой стрелки, координаты x и y уменьшаются. Координата x проходит через 0,значение y при этом положительно. Далее координаты x и yпродолжают уменьшаться, координата y проходит через 0(значение x при этом отрицательно). Величина x достигаетминимального значения на изоклине вертикальных касательных, затем начинает увеличиваться. Величина y своегоминимального значения достигает на изоклине горизонтальных касательных (значение x в этот момент времени отрицательно).

Далее и величина x, и величина x увеличиваются,возвращаясь к начальным значениям.66Семинар 5-6. Система двух линейных ОДУ. Фазовый и кинетический портретПРИМЕР 5.2. Рассмотрим систему линейных уравнений⎧ dx⎪⎪ dt = x,⎨⎪ dy = x + 2 y.⎪⎩ dtAРис. 5.2. Фазовый и кинетический портреты системы,пример 5.2.Координаты особой точки — (0,0).

Тип особой точки —«неустойчивый узел». Уравнение изоклины горизонтальных1касательных: y = − x , уравнение изоклины вертикальных ка2сательных: x = 0 . Найдем уравнение изоклины, которую траектории системы пересекают под углом в 45 к оси абсцисс:x= 1, x = x + 2 y, y = 0 (рис. 5.2).x + 2yНаправление движения по траекториям можно определять аналитически по знаку (a + d ) (устойчивая или неустойчивая точка) или методом векторного поля.Кинетический портрет строится с помощью рассуждений,аналогичных предыдущему случаю. В качестве начальнойточки выбрана точка A с координатами ( Ax , Ay ) .67Учебное пособие «Математические модели в биологии»ПРИМЕР. 5.3.

Рассмотрим систему линейных уравнений⎧ dx⎪⎪ dt = − x + 2 y,⎨⎪ dy = −3x − y.⎪⎩ dtAРис. 5.3. Фазовый и кинетический портреты системы,пример 5.3.Координаты особой точки — (0,0). Тип особой точки — «устойчивый фокус». Уравнение изоклины горизонтальных касательных: y = −3x , уравнение изоклины вертикальных касатель12ных: y = x . Найдем уравнение изоклины, которую траектории системы пересекают под углом в 45 к оси абсцисс:−x + 2 y= 1,−3 x − y− x + 2 y = −3x − y,2y = − x (рис. 5.3).3Аналогично случаю с узлом направление движения потраекториям можно определять аналитически по знаку(a + d ) (устойчивая или неустойчивая точка) или методомвекторного поля.Кинетический портрет строится с помощью рассуждений,аналогичных предыдущему случаю.

В качестве начальнойточки выбрана точка A с координатами ( Ax , Ay ) .68Семинар 5-6. Система двух линейных ОДУ. Фазовый и кинетический портретПРИМЕР 5.4. Рассмотрим систему линейных уравнений⎧ dx⎪⎪ dt = x + 4 y,⎨⎪ dy = 4 x − 5 y.⎪⎩ dtAРис. 5.4. Фазовый и кинетический портреты системы,пример 5.4.Координаты особой точки — (0,0). Тип особой точки —«седло».

Уравнение изоклины горизонтальных касательных:4y = x , уравнение изоклины вертикальных касательных:51y = − x.4Определим, под каким углом фазовые траектории пересекают оси координат.dy 4 x − 5 y=dx x + 4 yx =05= − = −1.25 ≈ tg(−52 ), т.е. ось OY фазовые4траектории должны пересекать под углом примерно −52(рис. 5.4),dy 4 x − 5 y== 4 ≈ tg 75 , т.е.

ось ОХ фазовые траекторииdx x + 4 y y =0должны пересекать под углом примерно 75 .69Учебное пособие «Математические модели в биологии»Важной характеристикой фазового портрета особойточки типа «седло» являются две сепаратрисы. Эти прямые всегда направлены вдоль собственных векторов матрицы коэффициентов линейных уравнений систе⎛a b⎞⎟ . Напомним, что собственным вектором матри⎝c d⎠мы: ⎜цы M, соответствующим собственному числу λ , называется любой отличный от нуля вектор x , который удовлетворяет уравнению Mx = λ x .

Итак, уравнения прямыхсепаратрис задаются уравнениями1)( a − λ1,2 ) ⋅ x + b ⋅ y = 0 или2)c ⋅ x + ( d − λ1,2 ) ⋅ y = 0 ,где λ1,2 — характеристические числа матрицы коэффициентов системы. Одному значению λ соответствует однапрямая (выражения 1 и 2 задают совпадающие прямые).Сепаратрисы могут совпадать с главными изоклинами.Кроме того, в роли сепаратрис могут выступать оси координат: например, если коэффициент b = 0 , то из уравнения ( a − λ1,2 ) ⋅ x + 0 ⋅ y = 0 получаем уравнение сепаратрисыx = 0 (ось OY); если характеристическое число λ совпадает, например, с коэффициентом a = λ , то получаем уравнение 0 ⋅ x + b ⋅ y = 0 , из которого следует, что прямая y = 0(ось OX) является сепаратрисой.70Семинар 5-6. Система двух линейных ОДУ.