Семинар (4) (Семинары), страница 2

Это требование будет выполнено, еслимнимая часть(C1 − C2 ) ⋅ eut ⋅ sin vt = 054Семинар 4. Система двух линейных ОДУ. Типы особых точекдля любого t, а действительная часть(C1 + C2 ) ⋅ eut ⋅ cos vt ≠ 0 .Такая ситуация возможна в двух случаях:а) константы C1 и C2 действительные и C1 = C2 . Тогдарешение имеет видx(t ) = 2C1etu cos vt(4.11)б) константы C1 и C2 — комплексно-сопряженные, т.е.их можно представить в виде:C1 = α1 + i β1 ,C2 = α1 − i β1 . Тогда решение имеет видx(t ) = 2etu ⋅ (α1 cos vt − β1 sin vt )(4.12)Первый множитель в выражениях (4.11 — 4.12) приt → ∞ либо стремится к бесконечности (при положительных значениях u = a + d ), либо стремится к 0 (приотрицательных значениях u = a + d ).

Второй множительявляется ограниченной величиной ( sin vt ≤ 1 , cos vt ≤ 1 ,α1 , β1 , C1 — константы), значения которой меняютсяпериодически. Таким образом, решение x(t ) либо бесконечно удаляется от стационарного состояния x = 0 ,либо стремится к нему. Однако, в отличие от рассмотренных случаев 1) и 2), поведение решения x(t ) не является монотонным, представляет собой затухающиеили нарастающие колебания (множитель eut обеспечивает либо постоянно уменьшающуюся, либо постоянноувеличивающуюся с течением времени амплитуду колебаний). Аналогичные рассуждения справедливы идля функции-решения y (t ) .55Учебное пособие «Математические модели в биологии»4) Пустькорнихарактеристическогоуравненияпринимаютчистомнимыезначения:1λ1,2 = ±i ⋅ (a + d )2 − 4(ad − bc) = ±i ⋅ v . Тогда, аналогично2рассмотренному случаю 3) решение системы, напримердля x(t ) , имеет вид:()x(t ) = C1ei⋅vt + C2 e−i⋅vt = C1 (cos vt + i sin vt ) + C2 (cos vt − i sin vt ) ,илиx(t ) = (C1 + C2 ) ⋅ cos vt + i ⋅ (C1 − C2 ) ⋅ sin vt ,x(t ) = 2[α1 cos vt − β1 sin vt ] или x(t ) = 2C1 cos vt(4.13)Выражение в правой части (4.13) представляет собойограниченную периодическую функцию.

Амплитудаколебаний определяется константами α1 , β1 , C1 . Такимобразом, решение x(t ) совершает колебания около стационарного значения x = 0 , не удаляясь от него, но ине приближаясь (для каждой начальной точки амплитуда колебаний постоянна). Аналогичные рассуждениясправедливы и для функции-решения y (t ) .56Семинар 4. Система двух линейных ОДУ. Типы особых точекТаблица 4.1.

Типы стационарных состояний системыдвух линейных дифференциальных уравнений и соответствующие фазовые портреты.1. λ1,2 — действительные, разных знаковседло2. λ1,2 — действительные, одного знаканеустойчивый узелλ1,2 > 0устойчивый узелλ1,2 < 057Учебное пособие «Математические модели в биологии»Таблица 4.1. Продолжение.3. λ1,2 — комплексные, вещественная часть отлична от нулянеустойчивый фокусRe λ1,2 > 04.

λ1,2 — чисто мнимыецентр58устойчивый фокусRe λ1,2 < 0Семинар 4. Система двух линейных ОДУ. Типы особых точекТаблица 4.1. Окончание.5. λ1,2 — действительные, совпадающиедикритический узелустойчивый или неустойчивый, система имеет видвырожденный узелустойчивый илинеустойчивый⎧ dx⎪⎪ dt = ax,⎨⎪ dy = ay⎪⎩ dt6. λ1 — действительный, λ2 = 0 или λ1 = λ2 = 0λ1 ≠ 0, λ2 = 0особыми точками являются все точки прямой y ( x)λ1 = λ2 = 0особыми точками являютсявсе точки прямой y ( x)59Учебное пособие «Математические модели в биологии»ЗАДАЧИ К СЕМИНАРУ 44.1. Определите тип особой точки системы линейныхуравнений:⎧ dx⎧ dx№1№ 10= x + 3y= −3 x + 2 y№2№3№4№5№6№7№8№960⎪⎪ dt⎨⎪ dy⎪⎩ dt⎧ dx⎪⎪ dt⎨⎪ dy⎪⎩ dt⎧ dx⎪⎪ dt⎨⎪ dy⎪⎩ dt⎧ dx⎪⎪ dt⎨⎪ dy⎪⎩ dt⎧ dx⎪⎪ dt⎨⎪ dy⎪⎩ dt⎧ dx⎪⎪ dt⎨⎪ dy⎪⎩ dt⎧ dx⎪⎪ dt⎨⎪ dy⎪⎩ dt⎧ dx⎪⎪ dt⎨⎪ dy⎪⎩ dt= x − 4y=y№ 11= −2 x + y= 2x + 3y№ 12= x + 3y= 3x − 4 y№ 13= x − 2y= x− y№ 14= 2x − y= −3 x + 2 y№ 15= −2 x + y= x+ y№ 16= −2 x + 4 y= 3x − 2 y№ 17= 4x − y⎧ dx⎪⎪ dt = 3 x⎨⎪ dy = 2 x + y⎪⎩ dt№ 18⎪⎪ dt⎨⎪ dy⎪⎩ dt⎧ dx⎪⎪ dt⎨⎪ dy⎪⎩ dt⎧ dx⎪⎪ dt⎨⎪ dy⎪⎩ dt⎧ dx⎪⎪ dt⎨⎪ dy⎪⎩ dt⎧ dx⎪⎪ dt⎨⎪ dy⎪⎩ dt⎧ dx⎪⎪ dt⎨⎪ dy⎪⎩ dt⎧ dx⎪⎪ dt⎨⎪ dy⎪⎩ dt⎧ dx⎪⎪ dt⎨⎪ dy⎪⎩ dt= −6 x − 5 y=x= 2x − y= −2 x − 5 y= 2x + 2 y= 3x + y= −x + y= 3x − 2 y= −6 x + 4 y= −2 x + y= −4 x + 2 y= 3x + 4 y= 2x + y=x=y⎧ dx⎪⎪ dt = 2 x − y⎨⎪ dy = x⎪⎩ dt.