Семинар (4) (Семинары)

СЕМИНАР 4Система двух автономных обыкновенных линейныхдифференциальных уравнений (ОДУ). Решение системыдвух линейных автономных ОДУ. Типы особых точек.РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХУРАВНЕНИЙПерейдем к изучению систем уравнений. Рассмотримсистему линейных дифференциальных уравнений. В общем виде систему линейных уравнений можно представить в виде:⎧ dx⎪⎪ dt = ax + by ,⎨⎪ dy = cx + dy.⎪⎩ dt(4.1)Анализ системы уравнений начинается с нахождения стационарных состояний.

У систем вида (4.1) особаяточка единственна, ее координаты — (0,0). Исключениесоставляет вырожденный случай, когда уравнения можнопредставить в виде:⎧ dx⎪⎪ dt = ax + by,⎨⎪ dy = kax + kby.⎪⎩ dt48(4.1*)Семинар 4. Система двух линейных ОДУ. Типы особых точекВ этом случае все пары ( x , y ) , удовлетворяющие соотношению y = −ax, являются стационарными точкамиbсистемы (4.1*). В частности, точка (0,0) также являетсястационарной для системы (4.1*). На фазовой плоскости(см. Семинар 5) в данном случае имеем прямую с коэфabфициентом наклона − , проходящую через начало координат, каждая точка которой является особой точкойсистемы (4.1*) (см.

таблицу 4.1, пункт 6).Основной вопрос, на который должен отвечать результат исследования системы уравнений: устойчиво листационарное состояние системы, и какой характер имеетее решение (монотонный или немонотонный).Напомним, что решением системы уравнений (4.1)на некотором интервале времени является пара функцийx(t ), y (t ) , результатом подстановки которых в оба уравнения системы является верное тождество на том же временном интервале.Какими же должны быть функции x(t ), y (t ) , «претендующие» на то, чтобы быть решением исследуемойсистемы уравнений? После подстановки функций«кандидатов» в исходные уравнения, в левой части будутстоять их производные, а в правой — сами функции. Приэтом должно выполнять равенство между частями уравнения. Только экспоненциальная функция f ( z ) = e z остается после дифференцирования функцией того же вида.Таким образом, общее решение системы уравнений (4.1)необходимо искать среди функций вида:x(t ) = A ⋅ eλt , y (t ) = B ⋅ eλt ,(4.2)где A, B, λ — некоторые неизвестные константы.

Определив значения этих трех неизвестных, получим общее решение системы.49Учебное пособие «Математические модели в биологии»Подставим функции (4.2) в исходную систему уравнений:⎧ dxλtλtλt⎪⎪ dt = A ⋅ λ ⋅ e = a ⋅ ( A ⋅ e ) + b ⋅ ( B ⋅ e ) ,⎨⎪ dy = B ⋅ λ ⋅ eλt = c ⋅ ( A ⋅ eλt ) + d ⋅ ( B ⋅ eλt ) .⎪⎩ dtСокращая на ненулевой множитель eλt , получаем:⎧ A ⋅ λ = a ⋅ A + b ⋅ B,⎨⎩ B ⋅ λ = c ⋅ A + d ⋅ B.(4.3)Система (4.3) представляет собой алгебраическуюсистему однородных линейных уравнений относительнонеизвестных A, B :⎧(a − λ ) ⋅ A + b ⋅ B = 0,⎨⎩c ⋅ A + (d − λ ) ⋅ B = 0.(4.4)Система уравнений (4.4) имеет ненулевое решениелишь в том случае, когда определитель, составленный изкоэффициентов системы, равен нулю:(a − λ )b= 0.c(d − λ )(4.5)Раскрывая определитель (4.5), получаем характеристическое уравнениеλ 2 − (a + d )λ + (ad − bc) = 0 .(4.6)Квадратное уравнение (4.6) имеет два решения λ1 иλ2 , при которых возможны ненулевые значения константA, B для решения (4.2) системы уравнений.

Каждому иззначений λ1,2 соответствует свой набор констант, а общеерешение системы двух дифференциальных уравнений (4.1)является суммой двух линейно-независимый решений:50Семинар 4. Система двух линейных ОДУ. Типы особых точек⎧⎪ x(t ) = C eλ1t + C eλ 2 t ;12⎨λ tλ t12⎩⎪ y (t ) = C1χ1e + C2 χ 2 e .(4.7)Здесь константы C1,2 определяются начальными условиями задачи, а коэффициенты χ1,2 зависят от характеристических значений λ1,2 и задаются формулами:λ −aλ −ac ,c .χ1 = 1χ2 = 2==λ1 − dλ2 − dbbХарактеристические числа λ1,2 выражаются черезкоэффициенты линейных уравнений следующим образом:λ1,2 =()1(a + d ) ± (a + d ) 2 − 4(ad − bc) .2(4.8)Разберем возможные варианты значений характеристических чисел.

В зависимости от знака подкоренноговыражения (a + d ) 2 − 4(ad − bc) корни характеристическогоуравнения могут принимать как действительные, так икомплексные значения.1) Оба корня характеристического уравнения λ1,2 принимают действительные значения, если выполнено неравенство:(a + d ) 2 − 4(ad − bc) ≥ 0 ⇔ (a + d ) 2 ≥ 4(ad − bc) .(4.9)а) Если (ad − bc) < 0 ,то неравенство (4.9) всегда верно.

Более того,(a + d ) 2 − 4(ad − bc) > (a + d ) 2 ,а это означает, что(a + d ) 2 − 4(ad − bc) > (a + d ) .То есть, в выражении (4.8) к величине (a + d ) прибавляется (или из нее вычитается) бóльшая величина51Учебное пособие «Математические модели в биологии»(a + d ) 2 − 4(ad − bc) . Таким образом, два характеристических корня λ1 и λ2 будут всегда разных знаков.б) Если (ad − bc) > 0 ,то для того, чтобы оба характеристических корня былидействительными, должно выполняться неравенство(a + d ) 2 ≥ 4(ad − bc) .В этом случае выполняется неравенство(a + d ) 2 − 4(ad − bc) < (a + d ) 2 и(a + d ) 2 − 4(ad − bc) < (a + d ) .То есть, в выражении (4.8) к величине (a + d ) прибавляется (или из нее вычитается) меньшая величи-(a + d ) 2 − 4(ad − bc) .

Таким образом, два характеристических корня λ1 и λ2 будут всегда одного знака. Причем знак будет совпадать со знаком выражения (a + d ) .на2) Оба корня характеристического уравнения λ1,2 принимают комплексно-сопряженные значения, если выполнено неравенство:(a + d ) 2 − 4(ad − bc) < 0 ⇔ (a + d ) 2 < 4(ad − bc) .В этом случае характеристические числа задаются формулой:λ1,2 =52()1(a + d ) ± i ⋅ (a + d ) 2 − 4(ad − bc) = u ± i ⋅ v .2Семинар 4. Система двух линейных ОДУ. Типы особых точекИтак, характеристические числа могут быть:1) действительными разных знаков,2) действительными одного знака,3) комплексно сопряженными,а также, в вырожденных случаях,4) чисто мнимыми,5) действительными совпадающими,6) действительными, одно из которых (или оба) равно нулю.Эти случаи определяют тип поведения решения системы ОДУ.

В таблице 4.1 представлены соответствующиефазовые портреты1.Рассмотрим, какие фазовые траектории (поведениерешения системы уравнений) имеют место в случаях 1—4.1) При действительных значениях λ1,2 каждое слагаемое ввыражениях для общего решения (4.7) системы дифференциальных уравнений представляет собой монотонную функцию, возрастающую (для положительногозначения λ ) или убывающую (для отрицательного значения λ ). В данном случае в общую формулу и дляx(t ) , и для y (t ) входит один возрастающий и одинубывающий член.

Таким образом, на временном интервале от −∞ до +∞ фазовые траектории всегда будутсначала приближаться к стационарной точке ( 0, 0 ) , азатем от нее удаляться. Стационарное состояние в этомслучае — неустойчивое, а тип поведения фазовых траекторий называется седло.1Определение терминов фазовый портрет и фазовая траектория, а также методы построения фазового портрета — см. Семинар 5.53Учебное пособие «Математические модели в биологии»2) При положительных значениях λ1,2 решение (4.7) системы представляет собой монотонную функцию, каждая входящая в него экспонента возрастает.

С течениемвремени фазовые траектории удаляются от стационарной точки (0, 0) . Такой тип поведения фазовых траекторий называется неустойчивый узел; при отрицательных значениях λ1,2 решение (4.7) системы представляет собой монотонную функцию, каждая входящая в него экспонента убывает. С течением временифазовые траектории стремятся к стационарной точке(0, 0) . Такой тип поведения фазовых траекторий называется устойчивый узел.3) Пусть корни характеристического уравнения принимают комплексно-сопряженные значения:λ1,2 =()1(a + d ) ± i ⋅ (a + d ) 2 − 4(ad − bc) = u ± i ⋅ v .2Тогда решение системы, например для x(t ) , имеет вид:x(t ) = C1et (u +i⋅v ) + C2 et (u −i⋅v ) = C1etu ei⋅vt + C2 etu e −i⋅vt == etu (C1ei⋅vt + C2e−i⋅vt ) = etu ⋅ ( C1 (cos vt + i sin vt ) + C2 (cos vt − i sin vt ) ) ,илиx(t ) = etu ⋅ ( (C1 + C2 ) ⋅ cos vt + i ⋅ (C1 − C2 ) ⋅ sin vt ) .(4.10)Значение функции x(t ) в каждый момент времени tявляется действительным, поэтому в правой части выражения (4.10) должно быть так же действительноевыражение.