К.А. Казаков - Курс теоретической механики для химиков, страница 12

Äëÿ òîãî ÷òîáû ïåðåéòè îò ýòîãî íàáîðà ê íîâîìó íàáîðó íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõq, p, t, íàïèøåì òîæäåñòâåííîpα dq̇α = d(pα q̇α ) − q̇α dpα ,α = 1, ..., sè ïðåäñòàâèì óðàâíåíèå (166) â âèäåà s!ssXXX∂Ldpα q̇α − L(q, q̇, t) = −ṗα dqα +q̇α dpα −dt .∂tα=1α=1α=1(167)Òîò ôàêò, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü ýòîãî òîæäåñòâà ñîäåðæèò äèôôåðåíöèàëû ïåðåìåííûõq, p, t îçíà÷àåò, ÷òî âåëè÷èíà, ñòîÿùàÿ â åãî ëåâîé ÷àñòè ïîä çíàêîì ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà, òàêæå ìîæåò áûòü âûðàæåíà êàê ôóíêöèÿ ýòîãî íàáîðà ïåðåìåííûõ.  ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì (41), ýòà âåëè÷èíà ÷èñëåííî ñîâïàäàåò ñ îáîáùåííîé ýíåðãèåé58ñèñòåìû. Âûðàæåííàÿ ÷åðåç îáîáùåííûå êîîðäèíàòû è èìïóëüñû (è âðåìÿ), îíà íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé Ãàìèëüòîíà ñèñòåìû è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç H(q, p, t). Òàêèì îáðàçîì,ïî îïðåäåëåíèþ, ïðè ïîñòðîåíèè ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà ïåðåìåííûå q, p ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå, àíàëîãè÷íî òîìó, êàê â ôóíêöèè Ëàãðàíæà íåçàâèñèìûìè ÿâëÿþòñÿ ïåðåìåííûå q, q̇.

Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîëó÷èòü ýòó ôóíêöèþ, ñëåäóåòðàçðåøèòü îïðåäåëåíèå p = ∂L/∂ q̇ îòíîñèòåëüíî q̇ è ïîäñòàâèòü ðåçóëüòàò â ôóíêöèþE(q, q̇, t). Ðàñïèñàâ ÿâíî ïîëíûé äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè H(q, p, t) â ëåâîé ÷àñòè (167),ïîëó÷èìsssXXX∂H∂H∂Ldqα +dpα +dt = −ṗα dqα +q̇α dpα −dt .∂qα∂p∂t∂tαα=1α=1α=1sX∂Hα=1(168)Íàêîíåö, ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè äèôôåðåíöèàëàõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõâ ýòîì òîæäåñòâå, íàõîäèì ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ∂H, α = 1, ..., s ,∂qα∂H, α = 1, ..., s ,q̇α =∂pα∂H∂L= −.∂t∂tṗα = −(169)(170)(171)Óðàâíåíèÿ (169), (170) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñèñòåìó 2s äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéïåðâîãî ïîðÿäêà äëÿ 2s ôóíêöèé qα (t), pα (t), α = 1, ..., s, êîòîðûå çàìåíÿþò s óðàâíåíèéâòîðîãî ïîðÿäêà (16) ëàãðàíæåâà ôîðìàëèçìà. Ýòè óðàâíåíèÿ íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè Ãàìèëüòîíà èëè êàíîíè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè.Èíòåãðèðîâàíèå óðàâíåíèé ÃàìèëüòîíàÄëÿ íàõîæäåíèÿ çàêîíà äâèæåíèÿ ñèñòåìû íåîáõîäèìî ïðîèíòåãðèðîâàòü äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ (169), (170).

Òàê æå êàê è â ôîðìàëèçìå Ëàãðàíæà, äëÿ ýòîãîíàäî ñíà÷àëà èññëåäîâàòü ñèñòåìó íà íàëè÷èå çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ. Åñëè ïðîñòðàíñòâîîäíîðîäíî èëè èçîòðîïíî ïî êàêèì-ëèáî íàïðàâëåíèÿì, ñëåäóåò âûïèñàòü ñîîòâåòñòâóþùèå çàêîíû ñîõðàíåíèÿ (33), (36), âûðàçèâ ëåâûå èõ ÷àñòè ÷åðåç îáîáùåííûå êîîðäèíàòû è îáîáùåííûå èìïóëüñû.  òàêîì âèäå îíè áóäóò ïðåäñòàâëÿòü èíòåãðàëû óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà.  ñëó÷àå îäíîðîäíîñòè çàäà÷è ïî âðåìåíè ñëåäóåò çàïèñàòü çàêîíñîõðàíåíèÿ îáîáùåííîé ýíåðãèè (41).

Êàê ìû çíàåì, ïðèçíàêîì ñîõðàíåíèÿ îáîáùåííîé ýíåðãèè ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî íóëþ ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé ∂L/∂t. Èç óðàâíåíèÿ (171)ñëåäóåò, ÷òî ïðè ýòîì è ∂H/∂t = 0. Òàêèì îáðàçîì, åñëè ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà ñèñòåìûíå çàâèñèò ÿâíî îò âðåìåíè, òî èìååò ìåñòî çàêîí ñîõðàíåíèÿH(q, p) = const .Íàéäåííûå çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ñëåäóåò äîïîëíèòü óðàâíåíèÿìè èç íàáîðà (169),(170) òàê, ÷òîáû â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòü 2s íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé äëÿ 2s ôóíêöèéqα (t), pα (t), α = 1, ..., s è ïðîèíòåãðèðîâàòü ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé.59Ïðèìåð 14. Ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà.

Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðàmẋ2 mω 2 x2L(x, ẋ) =−,22ãäå m, ω ìàññà è ÷àñòîòà îñöèëÿòîðà. Îáîáùåííûé èìïóëüñ îñöèëëÿòîðàp=∂L= mẋ .∂ ẋÎòñþäà âûðàæàåì îáîáùåííóþ ñêîðîñòü ÷åðåç îáîáùåííûé èìïóëüñẋ =p.mÎáîáùåííàÿ ýíåðãèÿmẋ2 mω 2 x2+.22Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå äëÿ ẋ, íàõîäèì ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà îñöèëëÿòîðàE=H(x, p) =p2mω 2 x2+.2m2(172)Ïðèìåð 15. Ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà çàðÿæåííîé ÷àñòèöû â ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå.

Èçôóíêöèè Ëàãðàíæà (22) íàõîäèì îáîáùåííûé èìïóëüñ ÷àñòèöû â ýëåêòðîìàãíèòíîìïîëå∂Lqp== mṙ + A(r, t) .∂ ṙcÎòñþäà´1 ³qṙ =p − A(r, t) .(173)mcÏîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â îáîáùåííóþ ýíåðãèþ (45), ïîëó÷àåì ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà´21 ³qH(r, p, t) =p − A(r, t) + qϕ(r, t) .2mcÏðèìåð 16. Ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð ñ ÷àñòîòîé, çàâèñÿùåé îò àìïëèòóäû. Ðàññìîòðèì îäíîìåðíóþ ñèñòåìó, ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà êîòîðîé èìååò âèäµ 2¶2mω 2 x2pmω 2 x2p2++λ+,(174)H(x, p) =2m22m2ãäå m, ω, λ ïîñòîÿííûå ïîëîæèòåëüíûå ïàðàìåòðû.

Íàéäåì çàêîí äâèæåíèÿ ñèñòåìû.Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà (174) íå çàâèñèò îò âðåìåíè ÿâíî, òî èìååì çàêîíñîõðàíåíèÿµ 2¶2mω 2 x2pmω 2 x2p2++λ+= const ,2m22m2îòêóäà ñëåäóåò, ÷òîmω 2 x2p2+=C,2m260(175)ñ íåêîòîðîé ïîëîæèòåëüíîé ïîñòîÿííîé C. Ýòî óðàâíåíèå ñâÿçûâàåò äâå íåèçâåñòíûõôóíêöèè x(t), p(t). Äîïîëíèì åãî óðàâíåíèåì (170):µ 2¶∂H(x, p)ppmω 2 x2 pẋ ==+ 2λ+.∂pm2m2mÂûðàæàÿ çäåñü p ÷åðåç x ñ ïîìîùüþ (175), ïîëó÷àåì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿôóíêöèè x(t) :r2Cẋ = ±(1 + 2λC)− ω 2 x2 ,mèíòåãðèðóÿ êîòîðîå ïóòåì ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ, íàõîäèìr2Cx(t) = x0 +sin {(1 + 2λC)ω(t − t0 )} , x0 = x(t0 ) .mω 2Ýòîò çàêîípîïèñûâàåò ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå ñ ÷àñòîòîé Ω = (1 + 2λC)ω è àìïëèòóäîé A = 2C/mω 2 .

Äðóãèìè ñëîâàìè, ÷àñòîòà ðàññìàòðèâàåìûõ êîëåáàíèé çàâèñèòîò èõ àìïëèòóäû ñîãëàñíîΩ = ω(1 + λmω 2 A2 ) .Ñêîáêè ÏóàññîíàÓðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìàëüíî ñèììåòðè÷íîì âèäå, åñëèââåñòè òàê íàçûâàåìóþ ñêîáêó Ïóàññîíà, îïðåäåëåííóþ äëÿ äâóõ ôóíêöèé îáîáùåííûõêîîðäèíàò è îáîáùåííûõ èìïóëüñîâ f (q, p), g(q, p) (ýòè ôóíêöèè òàêæå ìîãóò çàâèñåòüîò âðåìåíè èëè îò êàêèõ-ëèáî äðóãèõ ïàðàìåòðîâ):¶s µX∂f ∂g∂f ∂g{f, g} =−.∂p∂q∂q∂pααααα=1(176)Òîãäà óðàâíåíèÿ (169) è (170) ìîãóò áûòü ïåðåïèñàíû â âèäåṗα = {H, pα } ,q̇α = {H, qα } ,α = 1, ..., s ,α = 1, ..., s .(177)(178)Äåéñòâèòåëüíî, ó÷èòûâàÿ íåçàâèñèìîñòü ïåðåìåííûõ q, p, èìååì, íàïðèìåð,¶s µsXX∂H ∂pα ∂H ∂pα∂H∂H{H, pα } =−=−δαβ = −.∂pβ ∂qβ∂qβ ∂pβ∂qβ∂qαβ=1β=1Çàìåòèì, ÷òî ñ ïîìîùüþ ñêîáîê Ïóàññîíà ìîæíî êîìïàêòíî çàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿïîëíîé ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè f (q, p, t), à èìåííî, èñïîëüçóÿ óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà, ïîëó÷àå춶s µs µXX∂f∂f∂f∂f ∂H∂f ∂H∂fdf=q̇α +ṗα +=−+,dt α=1 ∂qα∂pα∂t∂qα ∂pα ∂pα ∂pα∂tα=161èëèdf∂f= {H, f } +.dt∂t(179)Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî çíà÷åíèå îïåðàöèè, îïðåäåëåííîé â (176), ïðîñòèðàåòñÿ ãîðàçäî äàëüøå ïðîñòûõ ñîîáðàæåíèé óäîáñòâà.

Ñêîáêè Ïóàññîíà îáëàäàþò ðÿäîì âàæíûõ ñâîéñòâ,äëÿ âûâîäà êîòîðûõ ïðèâåäåì ñíà÷àëà íåñêîëüêî ïðîñòûõ ïðàâèë èõ âû÷èñëåíèÿ, íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþùèõ èç îïðåäåëåíèÿ. Äëÿ ëþáûõ ôóíêöèé f, g, h, çàâèñÿùèõ îòîáîáùåííûõ êîîðäèíàò è èìïóëüñîâ, à òàêæå, âîçìîæíî, îò íåêîòîðîãî ïàðàìåòðà λ(ðîëü êîòîðîãî ìîæåò èãðàòü, íàïðèìåð, âðåìÿ t){f, g}{f + h, g}{f h, g}∂{f, g}∂λ= −{g, f } ,= {f, g} + {h, g} ,= h{f, g} + f {h, g} ,½¾ ½¾∂f∂g.=, g + f,∂λ∂λ(180)(181)(182)(183)Äîêàæåì, íàïðèìåð, ñâîéñòâî (182).

Èìååì¶s µX∂(f h) ∂g∂(f h) ∂g{f h, g} =−∂pα ∂qα∂qα ∂pαα=1¶µsX∂h ∂g∂f ∂g∂h ∂g∂f ∂g+f−h−f=h∂p∂q∂p∂q∂q∂p∂qα ∂pαααααααα=1¶¶s µs µXX∂f ∂g∂h ∂g∂f ∂g∂h ∂g= h−+f−∂pα ∂qα ∂qα ∂pα∂pα ∂qα ∂qα ∂pαα=1α=1= h{f, g} + f {h, g} .Äîêàæåì òåïåðü ñëåäóþùåå âàæíîå è íåòðèâèàëüíîå ñâîéñòâî ñêîáîê Ïóàññîíà: äëÿëþáûõ òðåõ ôóíêöèé f, g, h ñïðàâåäëèâî òîæäåñòâî ßêîáè{f, {g, h}} + {g, {h, f }} + {h, {f, g}} = 0 .(184)Ýòî òîæäåñòâî ïðîâåðÿåòñÿ ïðÿìûì âû÷èñëåíèåì. Ëåâàÿ åãî ÷àñòü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó ÷ëåíîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ ïðîïîðöèîíàëåí âòîðîé ïðîèçâîäíîé îäíîé èçôóíêöèé f, g, h ïî ïåðåìåííûì q, p.  ñèëó ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè ýòèõôóíêöèé, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî êàæäàÿ èç ïðîèçâîäíûõ ∂ 2 f /∂pα ∂pβ , ∂ 2 f /∂qα ∂qβ ,∂ 2 f /∂qα ∂pβ âõîäèò â ëåâóþ ÷àñòü (184) ñ íóëåâûì êîýôôèöèåíòîì.

Ïðîâåðèì ýòî, íàïðèìåð, äëÿ âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ ∂ 2 f /∂pα ∂pβ . Îòìå÷àÿ ÷ëåíû, íå ñîäåðæàùèå ïðîèç-62âîäíûõ ∂ 2 f /∂pα ∂pβ , ìíîãîòî÷èåì, èìååì{f, {g, h}} = 0 + · · · ,()Ã!sssXXX∂h ∂f∂g ∂∂h ∂f{g, {h, f }} = g, −+ ··· = −−+ ···∂q∂p∂q∂p∂q∂pααββααα=1α=1β=1sX∂g ∂h ∂ 2 f+ ··· ,∂qβ ∂qα ∂pβ ∂pαα,β=1)à s!(ssXX ∂f ∂gX∂h ∂∂f ∂g+ ··· = −+ ···{h, {f, g}} = h,∂pα ∂qα∂qβ ∂pβ α=1 ∂pα ∂qαα=1β=1=ssXX∂h ∂ 2 f ∂g∂h ∂ 2 f ∂g= −+ ··· = −+ ··· .∂q∂qβ ∂pβ ∂pα ∂qαα ∂pα ∂pβ ∂qβα,β=1α,β=1Ñêëàäûâàÿ ýòè âûðàæåíèÿ è ó÷èòûâàÿ ïåðåñòàíîâî÷íîñòü âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ, ìûâèäèì, ÷òî ÷ëåíû, ñîäåðæàùèå ïðîèçâîäíûå ∂ 2 f /∂pα ∂pβ , äåéñòâèòåëüíî ñîêðàùàþòñÿ.Òåïåðü ñ ïîìîùüþ òîæäåñòâà ßêîáè ìû äîêàæåì ñëåäóþùåå èíòåðåñíîå óòâåðæäåíèå, íàçûâàåìîå òåîðåìîé Ïóàññîíà: Åñëè äâå ôóíêöèè f (q, p, t) è g(q, p, t) ÿâëÿþòñÿèíòåãðàëàìè äâèæåíèÿ, ò.å.

f˙ = ġ = 0, òî èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ è èõ ñêîáêà Ïóàññîíà {f, g} . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó ïî óñëîâèþ òåîðåìû f è g îñòàþòñÿïîñòîÿííûìè ïðè äâèæåíèè ñèñòåìû, òî èç ôîðìóëû (179) ñëåäóåò, ÷òî∂f= −{H, f } ,∂t∂g= −{H, g} .∂t(185)Âû÷èñëèì ïîëíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè îò {f, g} ïî ôîðìóëå (179):d{f, g}∂{f, g}= {H, {f, g}} +.dt∂tÏðèìåíÿÿ ïðàâèëî (183) äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñêîáêè Ïóàññîíà ïî ïàðàìåòðó è ó÷èòûâàÿ óðàâíåíèÿ (185), ïîëó÷àåìd{f, g}= {H, {f, g}} − {{H, f }, g} − {f, {H, g}} ,dtèëè, ïåðåñòàâëÿÿ àðãóìåíòû ñêîáîê Ïóàññîíà ïî ïðàâèëó (180),d{f, g}= {H, {f, g}} + {g, {H, f }} + {f, {g, H}} .dtÏðàâàÿ ÷àñòü ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ðàâíà íóëþ â ñèëó òîæäåñòâà ßêîáè.