К.А. Казаков - Курс теоретической механики для химиков, страница 11

Ïðè ýòîì ñàì âîë÷îê ðàâíîìåðíîâðàùàåòñÿ âîêðóã îñè z 0 ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ [ñì. óðàâíåíèå (137)]Ωz0 = φ̇ cos θ + ψ̇ =Mcos θ .Iz0Çàìåòèì, ÷òî ýíåðãèÿ âîë÷êà (â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå E = L) òàêæå ñîõðàíÿåòñÿ (Líå çàâèñèò ÿâíî îò âðåìåíè!). Îäíàêî çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè íå äàåò íè÷åãî íîâîãî,òàê êàê îí ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ (142) (144).Ïðèìåð 12. Äâèæåíèå òÿæåëîãî ñèììåòðè÷åñêîãî âîë÷êà.

Ðàññìîòðèì äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà â îäíîðîäíîì ïîëå. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ i-îé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè òåëà âòàêîì ïîëå åñòüUi = −gi (F , ri ) ,ãäå F îáîçíà÷àåò íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ, à gi çàðÿä òî÷êè. Ïîäñòàâëÿÿ ri = R + ρi èñóììèðóÿ ïî âñåì òî÷êàì òåëà, ïîëó÷àåì ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ òåëàU = −G(F , R) − (F , d) ,ãäå G =NPi=1gi åñòü ïîëíûé çàðÿä òåëà, à d =NPi=1gi ρi åãî äèïîëüíûé ìîìåíò. Àíàëîãè÷-íî òåíçîðó ìîìåíòîâ, êîìïîíåíòû âåêòîðà d èìåþò ïîñòîÿííûå çíà÷åíèÿ â ïîäâèæíîé53ñèñòåìå. Ïîýòîìó ïðè äâèæåíèè òåëà d ìåíÿåò ëèøü ñâîå íàïðàâëåíèå, îñòàâàÿñü ïîñòîÿííûì ïî âåëè÷èíå.

 ñëó÷àå ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ çàðÿäû gi ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû,à âåêòîð d åñòü ýëåêòðè÷åñêèé äèïîëüíûé ìîìåíò, â ñëó÷àå æå ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿgi ýòî ìàññû òî÷åê òåëà, G ≡ µ, à âåêòîð d ≡ 0, ïîñêîëüêó íà÷àëî ïîäâèæíîé ñèñòåìûêîîðäèíàò âûáðàíî â öåíòðå èíåðöèè òåëà.Ðàññìîòðèì äâèæåíèå ñèììåòðè÷åñêîãî âîë÷êà â ïîëå òÿæåñòè (òÿæåëûé âîë÷îê).Ïóñòü âîë÷îê èìååò òî÷êó îïîðû, ðàñïîëîæåííóþ íà îñè z 0 , êîòîðàÿ ìîæåò ñêîëüçèòüáåç òðåíèÿ â ïëîñêîñòè x, y.

Ðàññòîÿíèå îò öåíòðà èíåðöèè âîë÷êà äî òî÷êè îïîðûîáîçíà÷èì ÷åðåç l. Îñü z íàïðàâèì âåðòèêàëüíî ââåðõ. Òîãäà ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà âîë÷êàáóäåò èìåòü âèä³´oµ Ẋ 2 + Ẏ 2 + Ż 21nL =+Ix0 (φ̇2 sin2 θ + θ̇2 ) + Iz0 (φ̇ cos θ + ψ̇)2 − µgZ , (145)22ãäå X, Y, Z ïðîåêöèè âåêòîðà R íà îñè íåïîäâèæíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, à g óñêîðåíèå ñèëû òÿæåñòè. Íàëè÷èå îïîðû íàëàãàåò ñëåäóþùóþ ñâÿçü íà âîë÷îê:Z = l cos θ .Ýòà ñâÿçü ãîëîíîìíà. Îíà óìåíüøàåò íà åäèíèöó ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû âîë÷êà.

Âûáðàâ â êà÷åñòâå îáîáùåííûõ êîîðäèíàò X, Y, φ, θ, ψ, âûðàæàåì ôóíêöèþ Ëàãðàíæà ÷åðåç îáîáùåííûå êîîðäèíàòû è ñêîðîñòè³´oµ Ẋ 2 + Ẏ 2 + l2 θ̇2 sin2 θ1nL =+Ix0 (φ̇2 sin2 θ + θ̇2 ) + Iz0 (φ̇ cos θ + ψ̇)2 − µgl cos θ .22(146)Êîîðäèíàòû X, Y, φ, ψ öèêëè÷åñêèå. Ñîîòâåòñòâóþùèå ñîõðàíÿþùèåñÿ îáîáùåííûåèìïóëüñû èìåþò âèä∂L= µẊ ,∂ Ẋ∂LpY == µẎ ,∂ Ẏ∂Lpφ == Ix0 φ̇ sin2 θ + Iz0 (φ̇ cos θ + ψ̇) cos θ ,∂ φ̇∂L= Iz0 (φ̇ cos θ + ψ̇) .pψ =∂ ψ̇pX =(147)(148)(149)(150)Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà (146) òàêæå íå çàâèñèò îò âðåìåíè ÿâíî, ïîýòîìó ñîõðàíÿåòñÿ îáîáùåííàÿ ýíåðãèÿ´³oµ Ẋ 2 + Ẏ 2 + l2 θ̇2 sin2 θ1n+Ix0 (φ̇2 sin2 θ + θ̇2 ) + Iz0 (φ̇ cos θ + ψ̇)2 + µgl cos θ .E=22(151)Ñìûñë çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ (147) (150) òîò æå, ÷òî è â ñëó÷àå ñâîáîäíîãî âîë÷êà.

Âîòëè÷èå îò ïîñëåäíåãî, îäíàêî, ïðè íàëè÷èè ïîëÿ òÿæåñòè ñîõðàíÿåòñÿ íå âåñü âåêòîðM , à ëèøü åãî ïðîåêöèÿ íà îñü z.54Èòàê, ìû èìååì ñèñòåìó èç ïÿòè èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ äëÿ ïÿòè íåèçâåñòíûõ ôóíêöèé X(t), Y (t), φ(t), θ(t), ψ(t).Ïåðåéäåì ê èíòåãðèðîâàíèþ ýòîé ñèñòåìû. Êàê è â ñëó÷àå ñâîáîäíîãî âîë÷êà, ìûäëÿ ïðîñòîòû èñêëþ÷èì ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå âîë÷êà, ïåðåéäÿ â ñèñòåìó îòñ÷åòà, âêîòîðîé pX = pY = 0 (è ñëåäîâàòåëüíî, X(t) = X(t0 ), Y (t) = Y (t0 )).

Èç óðàâíåíèÿ (150)ñëåäóåò, ÷òî âòîðîé ÷ëåí â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ â âûðàæåíèè äëÿ E åñòü ïîñòîÿííàÿ,ðàâíàÿ p2ψ /Iz0 . Äàëåå, èç óðàâíåíèé (149), (150) ñëåäóåò, ÷òîpφ = Ix0 φ̇ sin2 θ + pψ cos θ .(152)Âûðàæàÿ îòñþäà φ̇ è ïîäñòàâëÿÿ â óðàâíåíèå (151), ïîëó÷èìµl2 2 2(pφ − pψ cos θ)2 Ix0 2E =θ̇ sin θ ++θ̇ + µgl cos θ ,222Ix0 sin2 θ0p2ψE =E−.2Iz00(153)Ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ â ýòîì óðàâíåíèè äà¼òpµl2 sin2 θ + Ix0 dθdt = ± s,2(p−pcosθ)φψ2E 0 −− 2µgl cos θIx0 sin2 θ(154)îòêóäà èíòåãðèðîâàíèåì ïîëó÷àåìpZθµl2 sin2 θ + Ix0 dθst − t0 =,2(p−pcosθ)φψθ0 ± 2E 0 −− 2µgl cos θ0Ix sin2 θ(155)θ0 = θ(t0 ) .Çíàê + (−) â ïðàâîé ÷àñòè ýòîé ôîðìóëû áåðåòñÿ íà ó÷àñòêàõ òðàåêòîðèè, íà êîòîðûõθ̇ > 0 (θ̇ < 0).

Äàëåå, ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå φ è t â óðàâíåíèè (152), è èñïîëüçóÿðàâåíñòâî (154), íàõîäèìp(pφ − pψ cos θ)dtµl2 sin2 θ + Ix0 dθ(pφ − pψ cos θ)sdφ ==, (156)Ix0 sin2 θIx0 sin2 θ2(p−pcosθ)φψ± 2E 0 −− 2µgl cos θ0Ix sin2 θîòêóäàZθφ − φ0 =θ0p(pφ − pψ cos θ)µl2 sin2 θ + Ix0 dθs,Ix0 sin2 θ2(p−pcosθ)φψ− 2µgl cos θ± 2E 0 −0Ix sin2 θφ0 = φ(t0 ) . (157)Íàêîíåö, ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ â óðàâíåíèè (150) ñ ó÷åòîì óðàâíåíèÿ (156) äàåòpZθpψµl2 sin2 θ + Ix0 dθ(pφ − pψ cos θ) cos θsψ − ψ0 =(t − t0 ) +(,158)Iz0Ix0 sin2 θ2(p−pcosθ)φψθ0± 2E 0 −− 2µgl cos θ0Ix sin2 θψ0 = ψ(t0 ) .Ôîðìóëû (155), (157) è (158) îïðåäåëÿþò çàêîí äâèæåíèÿ âîë÷êà â êâàäðàòóðàõ.55Ðèñ. 9: Âîçíèêíîâåíèå ïðèëèâíîãî áóãðà íà Çåìëå ïîä âëèÿíèåì ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ Ëóíû.Ñêîðîñòü âðàùåíèÿ Çåìëè Ω⊕ áîëüøå óãëîâîé îðáèòàëüíîé ñêîðîñòè Ëóíû ω, ïîýòîìó áóãîðñìåùàåòñÿ îò ëèíèè Çåìëÿ-Ëóíà â íàïðàâëåíèè âðàùåíèÿ Çåìëè.Ïðèìåð 13.

Âëèÿíèå ïðèëèâíûõ ñèë íà äâèæåíèå ñèñòåìû Çåìëÿ-Ëóíà. Åñëè áû ñèëûòÿãîòåíèÿ ìåæäó ïëàíåòàìè áûëè ñòðîãî öåíòðàëüíûìè (çàâèñÿùèìè ëèøü îò ïîëîæåíèÿ èõ öåíòðîâ ìàññ), ïðèáëèæåíèå, â êîòîðîì ïëàíåòû ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ìàòåðèàëüíûå òî÷êè, áûëî áû òî÷íûì. Îäíàêî â äåéñòâèòåëüíîñòè èìåþòñÿ îòêëîíåíèÿîò öåíòðàëüíîñòè, ñâÿçàííûå ñ òåì, ÷òî ðàñïðåäåëåíèÿ ìàññ â ïëàíåòàõ íå ÿâëÿþòñÿñòðîãî ñôåðè÷åñêè-ñèììåòðè÷íûìè. Îäíîé èç ïðè÷èí ýòîé íåñèììåòðè÷íîñòè ÿâëÿþòñÿ ñàìè ñèëû òÿãîòåíèÿ ìåæäó ïëàíåòàìè, ïðèâîäÿùèå ê òîìó, ÷òî âçàèìîäåéñòâóþùèåïëàíåòû ñëåãêà âûòÿãèâàþòñÿ â íàïðàâëåíèè, ñîåäèíÿþùåì èõ öåíòðû. Ïðèìåðîì òàêîãî ðîäà âëèÿíèÿ Ëóíû íà Çåìëþ ÿâëÿþòñÿ ìîðñêèå ïðèëèâû. Îäíàêî èç-çà òîãî, ÷òîñêîðîñòü âðàùåíèÿ Çåìëè áîëüøå óãëîâîé îðáèòàëüíîé ñêîðîñòè Ëóíû, ïðèëèâíûé áóãîð íåñêîëüêî ñìåùàåòñÿ îò íàïðàâëåíèÿ Çåìëÿ-Ëóíà â íàïðàâëåíèè âðàùåíèÿ Çåìëè,ïîñêîëüêó ìàññàì âîäû äëÿ ïåðåìåùåíèÿ òðåáóåòñÿ íåêîòîðîå âðåìÿ. Ïîëó÷àþùàÿñÿêîíôèãóðàöèÿ ïîêàçàíà ñõåìàòè÷åñêè íà Ðèñ.

9. Ñèëà òÿãîòåíèÿ Ëóíû, äåéñòâóþùàÿ íàïðèëèâíûé áóãîð, ñòðåìèòñÿ âåðíóòü åãî íà ëèíèþ Çåìëÿ-Ëóíà. Âîçíèêàþùàÿ ñâîåîáðàçíàÿ ñèëà òðåíèÿ, íàçûâàåìàÿ ïðèëèâíîé ñèëîé, òîðìîçèò âðàùåíèå Çåìëè. Îäíàêîïîñêîëüêó ñèëà òÿãîòåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíîé, ýòî òðåíèå íå ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè èëè ïîëíîãî ìîìåíòà èìïóëüñà ñèñòåìû. Èñõîäÿòîëüêî ëèøü èç ýòèõ çàêîíîâ ìîæíî îòâåòèòü íà èíòåðåñíûé âîïðîñ î òîì, êàê áóäåòäâèãàòüñÿ ñèñòåìà, êîãäà ïðèëèâíûå ñèëû ïîëíîñòüþ çàòîðìîçÿò îòíîñèòåëüíîå âðàùåíèå Çåìëè è Ëóíû, ò.å.

êîãäà óãëîâûå ñêîðîñòè èõ âðàùåíèÿ ñðàâíÿþòñÿ. Ñäåëàåì ýòî,ïðåäïîëàãàÿ äëÿ ïðîñòîòû, ÷òî îðáèòû òåë ÿâëÿþòñÿ êðóãîâûìè, à îñè èõ âðàùåíèÿïåðïåíäèêóëÿðíû ïëîñêîñòè îðáèòû. Äëÿ ýòîãî çàïèøåì âûðàæåíèå ñîõðàíÿþùåãîñÿìîìåíòà èìïóëüñà ñèñòåìû. Îí ñêëàäûâàåòñÿ èç ìîìåíòà èìïóëüñà îðáèòàëüíîãî äâèæåíèÿ òåë è ìîìåíòà èìïóëüñà èõ âðàùåíèÿ. Îðáèòàëüíûé ìîìåíò èìïóëüñà íàõîäèìïî ôîðìóëå (70) çàäà÷è äâóõ òåë:Morb = mr2 ω ,(159)ãäå m îáîçíà÷àåò ïðèâåäåííóþ ìàññó ñèñòåìûm⊕ mLm=,m⊕ + mLà ω óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ âåêòîðà r = rL −r⊕ ; íèæíèå èíäåêñû ⊕, L îòíîñÿòñÿ êÇåìëå è Ëóíå, ñîîòâåòñòâåííî.

Ïî óñëîâèþ çàäà÷è ìîìåíòû èìïóëüñà âðàùåíèÿ Çåìëè56è Ëóíû ïåðïåíäèêóëÿðíû ïëîñêîñòè îðáèòû è, ñîãëàñíî ôîðìóëå (135), ïî âåëè÷èíåðàâíûM⊕ = I⊕ Ω⊕ ,ML = IL ΩL .(160)Ïðè âû÷èñëåíèè ìîìåíòîâ èíåðöèè Çåìëè è Ëóíû èõ ìîæíî ñ÷èòàòü øàðîâûìè âîë÷êàìè, ïîñêîëüêó èçìåíåíèå ðàñïðåäåëåíèÿ ìàññû ïëàíåòû ïîä äåéñòâèåì ïðèëèâíûõñèë îòíîñèòåëüíî ìàëó. Òàêèì îáðàçîì, ïîëíûé ìîìåíò èìïóëüñà ñèñòåìû ðàâåíM = mr2 ω + I⊕ Ω⊕ + IL ΩL = const .(161)Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîñêîëüêó èçìåíåíèå îðáèò ïîä äåéñòâèåì ïðèëèâíûõ ñèë ïðîèñõîäèò î÷åíü ìåäëåííî, äâèæåíèå ñèñòåìû íà êàæäîì âèòêå õîðîøî îïèñûâàåòñÿ ðåøåíèåìçàäà÷è äâóõ òåë, ïîëó÷åííûì â III Ÿ3. Ïîäñòàâëÿÿ T = 2π/ω, a = r, |α| = Gm⊕ mL âôîðìóëó (91), ïîëó÷àåìrG(m⊕ + mL )ω=,r3îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî òåêóùèå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ω, r ñâÿçàíû ñ èõ êîíå÷íûìè çíà÷åíèÿìè ω 0 , r0 òðåòüèì çàêîíîì Êåïëåðൠ0 ¶2 ³ ´ωr 3= 0 .(162)ωrÓ÷èòûâàÿ, ÷òî â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèèω 0 = Ω0L = Ω0⊕ ,íàõîäèì èç óðàâíåíèÿ (161)¡¢mr2 ω + I⊕ Ω⊕ + IL ΩL = ω 0 mr02 + I⊕ + IL .Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà r0 èç óðàâíåíèÿ (162), ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äëÿ êîíå÷íîé óãëîâîéñêîðîñò赶³ ω ´4/3202mr ω + I⊕ Ω⊕ + IL ΩL = ω mr+ I⊕ + IL .(163)ω0Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (140) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî ìàññà Ëóíû ïðèìåðíî â âîñåìüäåñÿò ðàçìåíüøå ìàññû Çåìëè, à åå ðàäèóñ ïî÷òè â ÷åòûðå ðàçà ìåíüøå çåìíîãî, ïðåíåáðåàåìIL ïî ñðàâíåíèþ ñ I⊕ , ïîëàãàåì m ≈ mL è ïåðåïèñûâàåì óðàâíåíèå (163) â âèä嵶¶2 µ2m⊕ R⊕Ω⊕1+− x = x−1/3 ,(164)5mLrωãäå x = ω 0 /ω, ïðè÷åì íàñ èíòåðåñóþò ðåøåíèÿ x < 1 (ò.ê.

ïðèëèâíûå ñèëû çàìåäëÿþòâðàùåíèå). Òåêóùèå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ, âõîäÿùèõ â ýòî óðàâíåíèÿ, òàêîâû:m⊕= 81 ,mLΩ⊕= 27 ,ωR⊕= 1/60 .rÏðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (164) ÿâëÿåòñÿ x ≈ 0, 53, ò.å. ïðîäîëæèòåëüíîñòü çåìíûõ ñóòîê ñîñòàâèò 27/0, 53 · 24÷.≈ 1220÷. Ïðè ýòîì r0 = rx−2/3 ≈ 1, 53r.57V. ÊÀÍÎÍÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÎÐÌÀËÈÇÌÓðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà. Ñêîáêè Ïóàññîíà. Òîæäåñòâî ßêîáè è òåîðåìà Ïóàññîíà. Ïðèíöèï íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ. Êàíîíè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ.

Òåîðåìû îá èíâàðèàíòíîñòè ñêîáîê Ïóàññîíà è ôàçîâîãî îáúåìà ïðè êàíîíè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ. Äåéñòâèå êàê ôóíêöèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè. Òåîðåìà Ëèóâèëëÿ. ÓðàâíåíèåÃàìèëüòîíà-ßêîáè. Ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ. Îòñòóïëåíèå â êâàíòîâóþ ìåõàíèêó:óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè êàê êâàçèêëàññè÷åñêèé ïðåäåë óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà.Ÿ1. Óðàâíåíèÿ ÃàìèëüòîíàÎñíîâíîé âåëè÷èíîé, îïðåäåëÿþùåé ìåõàíè÷åñêèå ñâîéñòâà ñèñòåì â ôîðìàëèçìåËàãðàíæà, ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà L(q, q̇, t).  ðàìêàõ ñàìîé êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè ýòà ôóíêöèÿ íå èìååò íåïîñðåäñòâåííîãî ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà. Äëÿ ðåøåíèÿ ðÿäàçàäà÷ êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè, à òàêæå ïðè ôîðìóëèðîâêå ïåðåõîäà ê êâàíòîâîé òåîðèèóäîáíî ðàáîòàòü ñ âåëè÷èíàìè, áîëåå òåñíî ñâÿçàííûìè ñ ìåõàíè÷åñêèìè ñâîéñòâàìèñèñòåì.

Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ìåõàíèêè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå, âêîòîðîì ðîëü îñíîâíîé âåëè÷èíû, îïðåäåëÿþùåé ìåõàíè÷åñêèå ñâîéñòâà ñèñòåìû, èãðàåò îáîáùåííàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû, à â êà÷åñòâå íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ èñïîëüçóþòñÿîáîáùåííûå êîîðäèíàòû è îáîáùåííûå èìïóëüñû ñèñòåìû. Ìàòåìàòè÷åñêè òàêîé ïåðåõîä îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ òàê íàçûâàåìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëåæàíäðà, êîòîðîåñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïîñòðîèì ïîëíûé äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè ËàãðàíæàdL(q, q̇, t) =ssXX∂L∂L∂Ldqα +dq̇α +dt .∂q∂q̇∂tααα=1α=1(165)Âåëè÷èíà ∂L/∂ q̇α åñòü, ïî îïðåäåëåíèþ, îáîáùåííûé èìïóëüñ pqα , ñîîòâåòñòâóþùèéîáîáùåííîé êîîðäèíàòå qα . Äëÿ êðàòêîñòè, îáîçíà÷åíèå pqα áóäåò ñîêðàùàòüñÿ íèæåäî pα . Ñ ýòèì îáîçíà÷åíèåì, à òàêæå ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé Ëàãðàíæà ðàâåíñòâî (165)ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê:dL(q, q̇, t) =sXṗα dqα +α=1sXpα dq̇α +α=1∂Ldt .∂t(166)Ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (166) ñîäåðæèò äèôôåðåíöèàëû íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ q, q̇è t.