К.А. Казаков - Курс теоретической механики для химиков, страница 10

Ïðè ýòîì óäîáíî ñ÷èòàòü, ÷òî öåíòðûîáåèõ ñèñòåì ñîâïàäàþò. Ýòîãî âñåãäà ìîæíî äîáèòüñÿ ñ ïîìîùüþ ïàðàëëåëüíûõ ïåðåíîñîâ ïîäâèæíîé ñèñòåìû, ïîñêîëüêó òàêèå ïåðåíîñû íå ìåíÿþò åå îðèåíòàöèè. Ïóñòüèñõîäíîé ÿâëÿåòñÿ îðèåíòàöèÿ, êîãäà êîîðäèíàòíûå îñè îáåèõ ñèñòåì ñîâïàäàþò.

Òîãäàïîâåðíåì ïîäâèæíóþ ñèñòåìó 1) âîêðóã îñè z íà óãîë φ, çàòåì 2) âîêðóã íîâîãî ïîëîæåíèÿ îñè x0 íà óãîë θ è, íàêîíåö, 3) âîêðóã íîâîãî ïîëîæåíèÿ îñè z 0 íà óãîë ψ (ñì.Ðèñ. 8). Âñå ïîâîðîòû ïðîèçâîäÿòñÿ ïî ïðàâèëó ïðàâîãî âèíòà. Îïðåäåëåííûå òàêèìîáðàçîì óãëû (φ, θ, ψ) íàçûâàþòñÿ óãëàìè Ýéëåðà.C. Äëÿ òîãî ÷òîáû âû÷èñëèòü ïîëíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè îò ôóíêöèèri (R, φ, θ, ψ), i = 1, ..., N, óäîáíî ââåñòè âåêòîð ρi = ri − R, ñîåäèíÿþùèé öåíòð ìàññòåëà ñ åãî i-îé ìàòåðèàëüíîé òî÷êîé. Ïîñêîëüêó ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè òâåðäîãîòåëà íåèçìåííû, òî âåêòîð ρi îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì ïî âåëè÷èíå ïðè äâèæåíèè òâåðäîãîòåëà, ìåíÿÿ ëèøü ñâîå íàïðàâëåíèå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç dϕ áåñêîíå÷íî ìàëûé âåêòîð, íàïðàâëåííûé ïî îñè ïîâîðîòà òåëà â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè, è ïî âåëè÷èíå ðàâíûé óãëóïîâîðîòà çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè dt.

Òîãäà ñîãëàñíî ôîðìóëå (34) èçìåíåíèå âåêòîðàρi çà ýòî âðåìÿ åñòüdρi = [dϕ, ρi ] .Ïîäñòàâëÿÿ ρi = ri − R â ëåâóþ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà è äåëÿ åãî íà dt, ïîëó÷àåìṙi = Ṙ + [Ω, ρi ] ,48(128)Ðèñ. 8: Îïðåäåëåíèå îðèåíòàöèè òâåðäîãî òåëà ñ ïîìîùüþ óãëîâ Ýéëåðà.

Øòðèõîâàííàÿ ëèíèÿ ëèíèÿ óçëîâ.ãäåΩ≡dϕ.dt(129)Âåêòîð Ω íàçûâàåòñÿ óãëîâîé ñêîðîñòüþ âðàùåíèÿ òâåðäîãî òåëà.  ôîðìóëå (128)âåêòîðû ρi äîëæíû áûòü åùå âûðàæåíû ÷åðåç îáîáùåííûå êîîðäèíàòû φ, θ, ψ, à âåêòîðΩ ÷åðåç φ, θ, ψ è îáîáùåííûå ñêîðîñòè φ̇, θ̇, ψ̇.Òåïåðü ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (128) âûðàçèì êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ òâåðäîãî òåëà÷åðåç îáîáùåííûå êîîðäèíàòû è ñêîðîñòè. Èìååì:T ==NXmi ṙ 2ii=1NXi=1ãäå µ =NPi=12=NXmi Ṙ2i=12µṘ2mi ṙi2=+22Ã+NXmi (Ṙ, [Ω, ρi ]) +i=1[Ṙ, Ω],NXi=12i=1!mi ρiNXmi [Ω, ρi ]2+NXmi [Ω, ρi ]2i=12,(130)mi åñòü ïîëíàÿ ìàññà òåëà.

Âòîðîé ÷ëåí â ýòîé ôîðìóëå òîæäåñòâåííî ðàâåííóëþ, ïîñêîëüêó íà÷àëî ïîäâèæíîé ñèñòåìû âûáðàíî â öåíòðå èíåðöèè òåëà, òàê ÷òî49NPi=1mi ρi = 0. Òðåòèé æå ÷ëåí ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê:NXmi [Ω, ρi ]22i=1=3Xα,β=1Ωα ΩβN3NoXª Xmi © 2 2mi X nβ2αβ 2α=Ω ρi − (Ω, ρi ) ≡Ωα Ωβ δ ρi − Ωα ρi Ωβ ρi22 α,β=1i=1i=1NXmi ni=12δ αβ ρ2i − ραi ρβio(131),ãäå ãðå÷åñêèå èíäåêñû íóìåðóþò äåêàðòîâû êîìïîíåíòû âåêòîðîâ Ω è ρi , à δ αβ åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà.

Ïîñêîëüêó êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ Ω è ρi , òî íå èìååò çíà÷åíèÿ â êàêîé ñèñòåìå âû÷èñëÿþòñÿ èõêîìïîíåíòû. Îäíàêî â íåïîäâèæíîé ñèñòåìå îíè èçìåíÿþòñÿ ñî âðåìåíåì èç-çà âðàùåíèÿ òåëà, òîãäà êàê â ïîäâèæíîé ñèñòåìå ραi ôèêñèðîâàíû. Ïîýòîìó â ýòîé ñèñòåìåìàòðèöàIαβ=NXnmi δαβρ2i−ραi ρβio(132)i=1ïîñòîÿííà è, â ÷àñòíîñòè, íå çàâèñèò îò îáîáùåííûõ êîîðäèíàò.

Ýòà ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ òåíçîðîì ìîìåíòîâ èíåðöèè òåëà è ÿâëÿåòñÿ îñíîâíîé åãî ìåõàíè÷åñêîé õàðàêòåðèñòèêîé. Èòàê, êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ òâåðäîãî òåëà ïðèíèìàåò âèä3µṘ2 1 X αβI Ωα Ωβ ,T =+22 α,β=1(133)ãäå èíäåêñû α, β íóìåðóþò îñè ïîäâèæíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò. Ïî îïðåäåëåíèþ, òåíçîð ìîìåíòîâ èíåðöèè ñèìåòðè÷åí: I αβ = I βα . Êàê è âñÿêàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà,ïîâîðîòîì ñèñòåìû êîîðäèíàò I αβ ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê äèàãîíàëüíîìó âèäó, ò.å.ê âèäó, â êîòîðîì I αβ = 0 ïðè α 6= β.

Êîîðäèíàòíûå îñè, â êîòîðûõ òåíçîð ìîìåíòîâäèàãîíàëåí, íàçûâàþò ãëàâíûìè îñÿìè èíåðöèè, à äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû I αα ≡ Iα ãëàâíûìè ìîìåíòàìè èíåðöèè òåëà. Òåïåðü ìû êîíêðåòèçèðóåì âûáîð ñèñòåìû êîîðäèíàò, æåñòêî ñâÿçàííîé ñ òâåðäûì òåëîì, äîãîâîðèâøèñü âûáèðàòü îñè ýòîé ñèñòåìûâäîëü ãëàâíûõ îñåé èíåðöèè òåëà. Òîãäà âûðàæåíèå (133) ñóùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ:¢µṘ2 1 ¡T =+Ix0 Ω2x0 + Iy0 Ω2y0 + Iz0 Ω2z0 .22(134)Çàìåòèì, ÷òî èç ýòîé ôîðìóëû íåòðóäíî íàéòè âûðàæåíèå äëÿ ìîìåíòà èìïóëüñà âðàùàþùåãîñÿ òåëà.

Âûáåðåì ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t0 è ðàññìîòðèì ýâîëþöèþòåëà çà ìàëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè [t0 , t0 + dt]. Ïî îïðåäåëåíèþ óãëà dϕ, åãî ïðîåêöèè íà îñè ïîäâèæíîé ñèñòåìû (dϕ)x0 , (dϕ)y0 , (dϕ)z0 îïðåäåëÿþò óãëû ïîâîðîòà òåëàâîêðóã ýòèõ îñåé çà âðåìÿ dt. Ýòè ïðîåêöèè îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò ïîëîæåíèå òåëàâ ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè îò t0 äî t0 + dt ïî åãî ïîëîæåíèþ â ìîìåíò âðåìåíè t0 . Åñëè âðåìåííî ïðèíÿòü èõ çà îáîáùåííûå êîîðäèíàòû, òî êîìïîíåíòû Ωx0 , Ωx0 ,Ωx0 áóäóòèãðàòü ðîëü ñîîòâåòñòâóþùèõ îáîáùåííûõ ñêîðîñòåé. Ïîýòîìó ñîãëàñíî ôîðìóëå (40)50äèôôåðåíöèðîâàíèå ôóíêöèè Ëàãðàíæà ïî óãëîâîé ñêîðîñòè äàñò ìîìåíò èìïóëüñàòåëà:Mx0 =∂L∂T== Ix0 Ωx0 ,∂Ωx0∂Ωx0My0 = Iy0 Ωy0 ,Mz0 = Iz0 Ωz0 .(135) ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè t0 ýòè ôîðìóëû áóäóò ñïðàâåäëèâû äëÿ âñåõ ìîìåíòîâ âðåìåíè.Äëÿ òîãî ÷òîáû âûðàçèòü T ÷åðåç ýéëåðîâû óãëû, íàì îñòàåòñÿ íàéòè ïðîåêöèè óãëîâîé ñêîðîñòè íà îñè ïîäâèæíîé ñèñòåìû.

Äëÿ ýòîãî ñíîâà ðàññìîòðèì äâèæåíèå òåëàíà áåñêîíå÷íî ìàëîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè [t0 , t0 + dt]. Çà ýòî âðåìÿ óãëû φ, θ, ψ ïîëó÷àþò ïðèðàùåíèÿ dφ, dθ, dψ, ñîîòâåòñòâåííî. Äàííûé ïîâîðîò òåëà ìîæíî ïðåäñòàâèòüêàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òðåõ ýëåìåíòàðíûõ ïîâîðîòîâ, ïðè êîòîðûõ ìåíÿåòñÿ ëèøüîäíà óãëîâàÿ êîîðäèíàòà, à îñòàëüíûå äâå ôèêñèðîâàíû. Ïðè ýòîì, âûïîëíÿÿ âòîðîéèëè òðåòèé ïîâîðîò, ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ïðèðàùåíèÿìè óãëîâ, êîòîðûå îíè ïîëó÷èëèíà ïðåäûäóùèõ ýòàïàõ, â ñèëó ìàëîñòè ýòèõ ïðèðàùåíèé.

Ïî ýòîé æå ïðè÷èíå ïîðÿäîêïîâîðîòîâ íå âàæåí. Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ óãëîâ Ýéëåðà âåêòîð dφ áóäåò íàïðàâëåí ïîîñè z, âåêòîð dθ ïî ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòåé (x, y) è (x0 , y 0 ) (íàçûâàåìîé ëèíèåéóçëîâ), è âåêòîð dψ ïî îñè z 0 (ñì. Ðèñ. 8). Ðàçëàãàÿ ýòè âåêòîðû ïî îñÿì ïîäâèæíîéñèñòåìû êîîðäèíàò è ñóììèðóÿ òðè âêëàäà, ïîëó÷èì(dϕ)x0 = dφ sin θ sin ψ + dθ cos ψ ,(dϕ)y0 = dφ sin θ cos ψ − dθ sin ψ ,(dϕ)z0 = dφ cos θ + dψ .(136)Äåëÿ ýòè óðàâíåíèÿ íà dt è ó÷èòûâàÿ îïðåäåëåíèå (129) âåêòîðà óãëîâîé ñêîðîñòè,íàõîäèì ïðîåêöèè ýòîãî âåêòîðà íà îñè ïîäâèæíîé ñèñòåìûΩx0 = φ̇ sin θ sin ψ + θ̇ cos ψ ,Ωy0 = φ̇ sin θ cos ψ − θ̇ sin ψ ,Ωz0 = φ̇ cos θ + ψ̇ .(137)Ïîäñòàíîâêà â âûðàæåíèå (134) äàåòT =µṘ2 1 n+Ix0 (φ̇ sin θ sin ψ + θ̇ cos ψ)2 + Iy0 (φ̇ sin θ cos ψ − θ̇ sin ψ)222o+Iz0 (φ̇ cos θ + ψ̇)2 .(138)Íàêîíåö, ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà òâåðäîãî òåëà ïîëó÷àåòñÿ îòñþäà âû÷èòàíèåì ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè òåëà êàê ôóíêöèè åãî îáîáùåííûõ êîîðäèíàò:L = T (θ, ψ, φ̇, θ̇, ψ̇, Ṙ) − U (R, φ, θ, ψ) .Ïîñëå ýòîãî ñëåäóåò ïåðåõîäèòü ê ïï.

D,E àëãîðèòìà.Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðèìåðû.Ïðèìåð 9. Òåíçîð ìîìåíòîâ èíåðöèè æåñòêîãî ðîòàòîðà. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç äâóõ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, ñêðåïëåííûõ æåñòêèì íåâåñîìûì ñòåðæíåì. Òàêóþñèñòåìó íàçûâàþò æåñòêèì ðîòàòîðîì. Ïðèìåðîì ðîòàòîðà ìîæåò ñëóæèòü äâóõàòîìíàÿ ìîëåêóëà, ó êîòîðîé íå âîçáóæäåíû êîëåáàíèÿ. Îáîçíà÷èì ðàññòîÿíèå ìåæäó51àòîìàìè ÷åðåç l è âûáåðåì îñü z 0 ïî îñè ðîòàòîðà. Çàòåì ñîâìåñòèì íà÷àëî êîîðäèíàòñ öåíòðîì èíåðöèè ðîòàòîðà, ïîòðåáîâàâ m1 z10 + m2 z20 = 0. Ïîñêîëüêó |z10 − z20 | = l, òî èçýòèõ ñîîòíîøåíèé ñëåäóåò, ÷òî z10 = −m2 l/(m1 + m2 ), z20 = m1 l/(m1 + m2 ) (ñ÷èòàÿ, ÷òîz20 > z10 .) Ïîñêîëüêó x0 , y 0 -êîîðäèíàòû òî÷åê ðàâíû íóëþ, òî èç ôîðìóëû (132) ñëåäóåò,÷òî èç âñåõ êîìïîíåíò òåíçîðà èíåðöèè îòëè÷íû îò íóëÿ ëèøü Ix0 x0 , Iy0 y0 , ïðè÷åì¶2µ¶2µ2Xm1 lm2 l2+ m2= ml2 ,Ix0 x0 = Iy0 y0 =mi ρi = m1m+mm+m1212i=1ãäå m åñòü ïðèâåäåííàÿ ìàññà ðîòàòîðà. Ïîñêîëüêó òåíçîð I αβ ïîëó÷èëñÿ äèàãîíàëüíûì, òî íàéäåííûå çíà÷åíèÿ ÿâëÿþòñÿ ãëàâíûìè ìîìåíòàìè èíåðöèè ðîòàòîðà.Ïðèìåð 10.

Òåíçîð ìîìåíòîâ èíåðöèè îäíîðîäíîãî øàðà. Âû÷èñëèì òåíçîð ìîìåíòîâîäíîðîäíîãî øàðà ìàññû M è ðàäèóñà R.  ñèëó ñôåðè÷åñêîé ñèììåòðèè öåíòð èíåðöèèøàðà íàõîäèòñÿ â åãî öåíòðå, à òåíçîð èíåðöèè äèàãîíàëåí, ïðè÷åì Ix0 = Iy0 = Iz0 ≡ I.Èìååì:NNNXª Xª Xª© 11 2© 22 2©02020003I = Ix + Iy + Iz =mi δ ρi − xi +mi δ ρi − yi +mi δ 33 ρ2i − zi02i=1= 2NXi=1i=1mi ρ2i .(139)i=1Çäåñü ïîä mi ñëåäóåò ïîíèìàòü áåñêîíå÷íî ìàëóþ ìàññó, çàêëþ÷åííóþ â ýëåìåíòå îáúåìà dV øàðà: mi = ρdV, ãäå ρ = M/V åñòü ïëîòíîñòü òåëà, à ïîä ñóììîé ïî i èíòåãðàëïî âñåìó åãî îáúåìó. Òàêèì îáðàçîì,2I=3ZV2ρr2 ρdV =3ZRr2 4πr2 dr =8π 5ρR ,150èëè2I = M R2 .(140)5Ïðèìåð 11.

Ñâîáîäíîå äâèæåíèå ñèììåòðè÷åñêîãî âîë÷êà. Òâåðäîå òåëî, ó êîòîðîãîêàêèå-ëèáî äâà ãëàâíûõ ìîìåíòà èíåðöèè ðàâíû, íàçûâàþò ñèììåòðè÷åñêèì âîë÷êîì.Òàêîâûì áóäåò, íàïðèìåð, ëþáîå òåëî, îáëàäàþùåå îñüþ ñèììåòðèè ÷åòâåðòîãî (èëèâûøå) ïîðÿäêà. Äîãîâîðèìñÿ íóìåðîâàòü îñè òàê, ÷òîáû Ix0 = Iy0 .  îòñóòñòâèå âíåøíèõñèë ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ñèììåòðè÷åñêîãî âîë÷êà èìååò âèäoµṘ2 1 n+Ix0 (φ̇2 sin2 θ + θ̇2 ) + Iz0 (φ̇ cos θ + ψ̇)2 .(141)L =22Êîîðäèíàòû R, φ, ψ ÿâëÿþòñÿ öèêëè÷åñêèìè. Ñîîòâåòñòâóþùèå èì îáîáùåííûå èìïóëüñû ñîõðàíÿþòñÿ:∂LpR == µṘ ,(142)∂ Ṙ∂Lpφ == Ix0 φ̇ sin2 θ + Iz0 (φ̇ cos θ + ψ̇) cos θ ,(143)∂ φ̇∂Lpψ == Iz0 (φ̇ cos θ + ψ̇) .(144)∂ ψ̇52Ïåðâûé èç ýòèõ èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ âûðàæàåò ñîõðàíåíèå ïîëíîãî èìïóëüñà òâåðäîãî òåëà. Èç íåãî ñëåäóåò, êàê âñåãäà, ÷òî öåíòð èíåðöèè òåëà äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîéñêîðîñòüþ Ṙ = pR /µ.

Áóäåì ðàññìàòðèâàòü äâèæåíèå â ñèñòåìå öåíòðà èíåðöèè òåëà,ïîëîæèâ Ṙ = 0. Äàëåå, êîîðäèíàòû φ è ψ ÿâëÿþòñÿ, ïî îïðåäåëåíèþ, óãëàìè ïîâîðîòà òåëà âîêðóã îñåé z è z 0 . Ïîýòîìó ñîîòâåòñòâóþùèå èì îáîáùåííûå èìïóëüñû pφè pψ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïðîåêöèè ïîëíîãî ìîìåíòà èìïóëüñà òåëà íà ýòè îñè [ñì.ôîðìóëó (40)]. Âûáåðåì îñü z íåïîäâèæíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò âäîëü ñîõðàíÿþùåãîñÿâåêòîðà ìîìåíòà èìïóëüñà M . Òîãäàpφ = M ,pψ = M cos θ .Ïîñêîëüêó M, pψ ïîñòîÿííû, òî èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî ïîñòîÿíåí è óãîëθ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç óðàâíåíèé (143), (144) ñëåäóåò, ÷òîpφ = Ix0 φ̇ sin2 θ + pψ cos θ .Êîìáèíèðóÿ ýòî óðàâíåíèå ñ äâóìÿ ïðåäûäóùèìè, ïîëó÷àåìφ̇ =M,Ix0ò.å., îáîáùåííàÿ ñêîðîñòü φ̇ òàêæå ïîñòîÿííà. Íàêîíåö, èç óðàâíåíèÿ (144) ñëåäóåòïîñòîÿíñòâî îáîáùåííîé ñêîðîñòè ψ̇ :µ¶11ψ̇ = M cos θ−.Iz0Ix0Òàêèì îáðàçîì, îñü z 0 ðàâíîìåðíî âðàùàåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ M/Ix0 âîêðóã îñè z, îáðàçóÿc íåé ïîñòîÿííûé óãîë (ðåãóëÿðíàÿ ïðåöåññèÿ îñè).