К.А. Казаков - Курс теоретической механики для химиков, страница 13

Òåîðåìà äîêàçàíà.Âû÷èñëåíèå ñêîáîê ÏóàññîíàÏðàêòè÷åñêè íàèáîëåå óäîáíî âû÷èñëÿòü ñêîáêè Ïóàññîíà, ïîñëåäîâàòåëüíî óïðîùàÿ èõ ñ ïîìîùüþ ïðàâèë (180) (182). Åñëè õîòÿ áû îäèí èç àðãóìåíòîâ äàííîé63ñêîáêè Ïóàññîíà ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìîì ïî îáîáùåííûì êîîðäèíàòàì è îáîáùåííûì èìïóëüñàì, òî â ðåçóëüòàòå òàêîãî óïðîùåíèÿ ïðèõîäÿò ê ñêîáêàì Ïóàññîíà âèäà {qα , f }èëè {pα , f }. Èç îïðåäåëåíèÿ (176) ñëåäóåò, ÷òî{qα , f } = −∂f,∂pα{pα , f } =∂f.∂qα(186) ÷àñòíîñòè,{pα , qβ } = δαβ ,{qα , qβ } = 0 ,{pα , pβ } = 0 .(187)Ñêîáêè (187) íàçûâàþò ôóíäàìåíòàëüíûìè ñêîáêàìè Ïóàññîíà.Ïðèìåð 17. Ñêîáêè Ïóàññîíà êîìïîíåíò ìîìåíòà èìïóëüñà.

Íàéäåì ñêîáêè Ïóàññîíàx, y -êîìïîíåíò ìîìåíòà èìïóëüñà ÷àñòèöû, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî îáîáùåííûìè êîîðäèíàòàìè ÿâëÿþòñÿ äåêàðòîâû êîìïîíåíòû åå ðàäèóñ-âåêòîðà. Èìååì{Mx , My } = {(ypz − zpy ), (zpx − xpz )}= {ypz , zpx } − {zpy , zpx } − {ypz , xpz } + {zpy , xpz }= y{pz , z}px + py {z, pz }x .(188)Äëÿ êðàòêîñòè, â ïîñëåäíåé ñòðîêå çäåñü âûïèñàíû ëèøü ÷ëåíû, ñîäåðæàùèå íåíóëåâûåôóíäàìåíòàëüíûå ñêîáêè Ïóàññîíà. Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà {pz , z} = −{z, pz } = 1, íàõîäèì{Mx , My } = ypx − py x = −Mz .Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîëó÷èòü ôîðìóëû{My , Mz } = −Mx ,{Mz , Mx } = −My .Èç ýòèõ ôîðìóë è òåîðåìû Ïóàññîíà ñëåäóåò, ÷òî åñëè ïðîåêöèè ìîìåíòà èìïóëüñà íàêàêèå-ëèáî äâå äåêàðòîâû îñè (èíåðöèàëüíîé) ñèñòåìû îòñ÷åòà ñîõðàíÿþòñÿ, òî ñîõðàíÿåòñÿ òàêæå è åãî ïðîåêöèÿ íà òðåòüþ îñü.Ïðèìåð 18.

Ñêîáêè Ïóàññîíà êîìïîíåíò ñêîðîñòè ÷àñòèöû â ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå.Ðàññìîòðèì, äàëåå, çàðÿæåííóþ ÷àñòèöó â ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå è âû÷èñëèì ñêîáêèÏóàññîíà êîìïîíåíò âåêòîðà åå ñêîðîñòè v, íàïðèìåð, {vx , vy }. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìîñíà÷àëà âûðàçèòü êîìïîíåíòû âåêòîðà v ÷åðåç îáîáùåííûå êîîðäèíàòû è îáîáùåííûåèìïóëüñû ÷àñòèöû ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (173). Âûïèñûâàÿ îïÿòü ëèøü íåòðèâèàëüíûåñêîáêè Ïóàññîíà, ïîëó÷àåì½ ³´ 1 ³´¾1qq{vx , vy } =px − Ax (r, t) ,py − Ay (r, t)mcmcq= − 2 [{Ax (r, t), py } + {px , Ay (r, t)}]m ·c¸q∂Ax (r, t) ∂Ay (r, t)−= 2,(189)mc∂y∂xèëè, èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèå (25),{vx , vy } = −64qHz .m2 cŸ2. Ïðèíöèï íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿÀíàëîãè÷íî òîìó, êàê óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èç ïðèíöèïà ìèíèìàëüíîñòè äåéñòâèÿ (47), òàê è óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èç óñëîâèÿìèíèìàëüíîñòè ñëåäóþùåãî ôóíêöèîíàëà äåéñòâèÿS[q(t), p(t)] =Zt2 ÃXs!(190)pα q̇α − H(q, p, t) dt ,α=1t1â êîòîðîì ïî-ïðåæíåìó ïðåäïîëàãàþòñÿ ôèêñèðîâàííûìè çíà÷åíèÿ îáîáùåííûõ êîîðäèíàò â íà÷àëüíûé è êîíå÷íûé ìîìåíòû âðåìåíè:qα (t2 ) = qα(2) ,qα (t1 ) = qα(1) ,(191)α = 1, ..., s .ïðè÷åì ïðè îòûñêàíèè ìèíèìóìà äåéñòâèÿ S[q(t), p(t)] ôóíêöèè p(t) âàðüèðóþòñÿíåçàâèñèìî îò ôóíêöèé q(t), ÷òî è îòðàæåíî äîáàâëåíèåì âòîðîãî àðãóìåíòà â îáîçíà÷åíèè ôóíêöèîíàëà äåéñòâèÿ.Âûâîä óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà èç ïðèíöèïà íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ âïîëíå àíàëîãè÷åí âûâîäó óðàâíåíèé Ëàãðàíæà, ïîäðîáíî ðàçîáðàííîìó â II Ÿ3.

Ïóñòü ôóíêöèîíàëS[q(t), p(t)] ïðèíèìàåò íàèìåíüøåå çíà÷åíèå íà ôóíêöèÿõ q̄(t), p̄(t), ãäå q̄(t) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì (191). Ðàññìîòðèì âèðòóàëüíóþ òðàåêòîðèþ, îïèñûâàåìóþ ôóíêöèÿìèq̄(t) + δq(t), p̄(t), ãäå ìàëûå ôóíêöèè δq(t) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿìδqα (t1 ) = δqα (t2 ) = 0 ,(192)α = 1, ..., s .Ïðè ýòîì äåéñòâèå ïîëó÷àåò ïðèðàùåíèåZt2δS = S[q̄(t) + δq(t), p̄(t)] − S[q̄(t), p̄(t)] =t1¯ss¯XX∂H(q,p̄,t)¯p̄α δ (q̇α ) −¯¯∂qαα=1α=1δqα  dt .q=q̄Èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå (29) è èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷àåì¯t2 Zt2ï !s¯X∂H(q, p̄, t) ¯¯¯δS =p̄α δqα ¯ −δqα dt .p̄˙α +¯¯∂qαq=q̄α=1α=1sXt1t1Ïîñêîëüêó ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (190) ëèíåéíà ïî âàðèàöèè δq(t), íåîáõîäèìûìóñëîâèåì ìèíèìóìà äåéñòâèÿ ÿâëÿåòñÿ δS = 0. Ïåðâûé ÷ëåí â ïðàâîé ÷àñòè (193)ðàâåí íóëþ â ñèëó óñëîâèé (192), èíòåãðàëüíûé æå ÷ëåí ìîæåò áûòü ðàâåí íóëþ, òîëüêî åñëè ðàâíû íóëþ ìíîæèòåëè ïðè âñåõ íåçàâèñèìûõ ïðîèçâîëüíûõ âàðèàöèÿõ δqα ,α = 1, ..., s :¯∂H(q, p̄, t) ¯¯= 0 , α = 1, ..., s .p̄˙α +¯∂qαq=q̄Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèè q̄(t), p̄(t) äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ïåðâûì s óðàâíåíèÿì Ãàìèëüòîíà (169).65Ðàññìîòðèì òåïåðü âàðèàöèþ äåéñòâèÿ ïðè ïåðåõîäå îò òðàåêòîðèè q̄(t), p̄(t) ê áëèçêîé âèðòóàëüíîé òðàåêòîðèè q̄(t), p̄(t) + δp(t), ãäå δp(t) ïðîèçâîëüíûå ìàëûå ôóíêöèèâðåìåíè:ï !Zt2 Xs∂H(q̄, p, t) ¯¯δpα dt .

(193)δS = S[q̄(t), p̄(t) + δp(t)] − S[q̄(t), p̄(t)] =q̄˙α −¯∂pαp=p̄α=1t1Ñíîâà íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ìèíèìàëüíîñòè äåéñòâèÿ ÿâëÿåòñÿ îáðàùåíèå ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (193) â íóëü, îòêóäà ââèäó íåçàâèñèìîñòè è ïðîèçâîëüíîñòè âàðèàöèé δpα ,α = 1, .., s ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèè q̄(t), p̄(t) äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèÿì¯∂H(q̄, p, t) ¯¯= 0 , α = 1, ..., s ,q̄˙α −¯∂pαp=p̄ò.å. îñòàâøèìñÿ s óðàâíåíèÿì Ãàìèëüòîíà (170).Ÿ3. Êàíîíè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿÊàê áûëî óñòàíîâëåíî â I Ÿ3, óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà êîâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé îáîáùåííûõ êîîðäèíàò, ò.å. èìåþò îäèí è òîò æå âèä ïðè ëþáîì èõ âûáîðå.Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî è óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà òàêæå êîâàðèàíòíû, ïîñêîëüêó ïî ïîñòðîåíèþ îíè èìåþò îäèí è òîò æå âèä (169), (170) íåçàâèñèìî îò êîíêðåòíîãî âûáîðàîáîáùåííûõ êîîðäèíàò. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, êàê ìû âèäåëè â ïðåäûäóùåì ïóíêòå, âãàìèëüòîíîâîé ôîðìóëèðîâêå ïðèíöèïà íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ ôóíêöèè p(t), çàìåíÿþùèå îáîáùåííûå ñêîðîñòè q̇(t) ëàãðàíæåâà ôîðìàëèçìà, ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè îòôóíêöèé q(t).

Ýòîò ôàêò ïîçâîëÿåò ðàñøèðèòü ïîíÿòèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåìåííûõ âãàìèëüòîíîâîì ôîðìàëèçìå, âêëþ÷èâ â íåãî íàðÿäó ñ ïðåîáðàçîâàíèÿìè îáîáùåííûõêîîðäèíàò òàêæå è ïðåîáðàçîâàíèÿ îáîáùåííûõ èìïóëüñîâ ñèñòåìû. Èòàê, â îáùåìñëó÷àå òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå èìååò âèäQα = Qα (q, p, t) ,Pα = Pα (q, p, t) ,α = 1, ..., s ,(194)ãäå q, p è Q, P íàáîðû ñòàðûõ è íîâûõ îáîáùåííûõ êîîðäèíàò è îáîáùåííûõ èìïóëüñîâ, ñîîòâåòñòâåííî. Èç âñåõ òàêèõ ïðåîáðàçîâàíèé îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþòïðåîáðàçîâàíèÿ, îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà êîâàðèàíòíû.

Èìåííî,íàçîâåì ïðåîáðàçîâàíèå (194) êàíîíè÷åñêèì, åñëè â íîâûõ ïåðåìåííûõ Q, P óðàâíåíèÿäâèæåíèÿ èìåþò êàíîíè÷åñêèé âèä∂H 0, α = 1, ..., s ,∂Qα∂H 0, α = 1, ..., s ,Q̇α =∂PαṖα = −(195)(196)ñ íåêîòîðîé íîâîé ôóíêöèåé Ãàìèëüòîíà H 0 = H 0 (Q, P, t).Ãàìèëüòîíîâà ôîðìóëèðîâêà ïðèíöèïà íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ, èçëîæåííàÿ â ïðåäûäóùåì ïóíêòå, äàåò âîçìîæíîñòü î÷åíü ïðîñòî âûäåëèòü âàæíûé è øèðîêèé ïîäêëàññ66êàíîíè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé. Êàê ìû âèäåëè, óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà (195), (196) ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èç óñëîâèÿ ìèíèìàëüíîñòè äåéñòâèÿS 0 [Q(t), P (t)] =Zt2 ÃXs!Pα Q̇α − H 0 (Q, P, t) dt ,(197)α=1t1ïðè óñëîâèèQα (t1 ) = Q(1)α ,Qα (t2 ) = Q(2)α ,α = 1, ..., s .(198)Äîïóñòèì, ÷òî íàì óäàëîñü çàäàòü òàêîå ñîîòíîøåíèå ìåæäó äâóìÿ ôóíêöèîíàëàìèS[q(t), p(t)] è S 0 [Q(t), P (t)], ÷òî åñëè S[q(t), p(t)] ïðèíèìàåò ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå íàôóíêöèÿõ q̄(t), p̄(t), òî S 0 [Q(t), P (t)] ïðèíèìàåò ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå íà ôóíêöèÿõQ̄(t), P̄ (t), ñâÿçàííûõ ñ q̄(t), p̄(t) ñîîòíîøåíèÿìè âèäà (194), è íàîáîðîò.

Ïîñêîëüêó óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà ïîëó÷àþòñÿ èìåííî èç óñëîâèÿ ìèíèìàëüíîñòè äåéñòâèÿ, òî ýòî îçíà÷àëî áû, ÷òî ïðè ïðåîáðàçîâàíèè (194) óðàâíåíèÿ (169), (170) ïåðåõîäÿò â óðàâíåíèÿ(195), (196), ò.å. êàê ðàç êîâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà.Ñâÿæåì òåïåðü ôóíêöèîíàëû S[q(t), p(t)] è S 0 [Q(t), P (t)] ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèåìZt20S[q(t), p(t)] = S [Q(t), P (t)] +dF (q, Q, t)dt ,dt(199)t1ñ íåêîòîðîé ôóíêöèåé F (q, Q, t) ñòàðûõ è íîâûõ îáîáùåííûõ êîîðäèíàò. Ýòî ñîîòíîøåíèå çàäàåò æåëàåìîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ìèíèìóìàìè ôóíêöèîíàëîâ S[q(t), p(t)] èS 0 [Q(t), P (t)]. Äåéñòâèòåëüíî, âòîðîé ÷ëåí â åãî ïðàâîé ÷àñòè ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê:Zt2dF (q, Q, t)dt = F (q, Q, t)|tt21 = F (q (2) , Q(2) , t2 ) − F (q (1) , Q(1) , t1 ) .dt(200)t1 ñèëó óñëîâèé (191), (198) ïðàâàÿ ÷àñòü ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéíåêîòîðóþ ôèêñèðîâàííóþ ïîñòîÿííóþ, çíà÷åíèå êîòîðîé íå çàâèñèò îò âûáîðà âèðòóàëüíîé òðàåêòîðèè íà ïðîìåæóòêå t ∈ [t1 , t2 ], è ïîýòîìó èç ìèíèìàëüíîñòè äåéñòâèÿS ñëåäóåò ìèíèìàëüíîñòü S 0 , è íàîáîðîò.Ðàâåíñòâî (199) áóäåò âûïîëíÿòüñÿ äëÿ âñåõ ìîìåíòîâ âðåìåíè t1 , t2 , òîëüêî åñëèïîäûíòåãðàëüíûå âûðàæåíèÿ â îáåèõ åãî ÷àñòÿõ òîæäåñòâåííî ñîâïàäàþò:sXpα q̇α − H(q, p, t) =α=1sXPα Q̇α − H 0 (Q, P, t) +α=1dF (q, Q, t).dtÏîñëåäíåå ðàâåíñòâî ìîæåò áûòü òàêæå ïåðåïèñàíî â âèäå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ äèôôåðåíöèàëîâsXα=1pα dqα − H(q, p, t)dt =sXPα dQα − H 0 (Q, P, t)dt + dF (q, Q, t) .α=167(201)Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà âûðàæåíèå äëÿ äèôôåðåíöèàëà ôóíêöèè F (q, Q, t)¶s µX∂F∂F∂Fdqα +dQα +dF (q, Q, t) =dt ,∂q∂Q∂tααα=1è ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè íåçàâèñèìûõ äèôôåðåíöèàëàõ dqα , dQα è dt, ïîëó÷èì ôîðìóëû ïåðåõîäà îò íàáîðà ïåðåìåííûõ q, p ê Q, P â âèäå∂Fpα =, α = 1, ..., s ,(202)∂qα∂F, α = 1, ..., s ,(203)Pα = −∂Qα∂FH0 = H +.(204)∂tÒàêèì îáðàçîì, êàíîíè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî òèïà îïðåäåëÿþòñÿçàäàíèåì íåêîòîðîé ôóíêöèè ñòàðûõ è íîâûõ îáîáùåííûõ êîîðäèíàò ñèñòåìû è âðåìåíè, â ñâÿçè ñ ÷åì ýòó ôóíêöèþ íàçûâàþò ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé êàíîíè÷åñêîãîïðåîáðàçîâàíèÿ.Òî æå ñàìîå ïðåîáðàçîâàíèå ìîæíî òàêæå çàäàòü ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè, çàâèñÿùåé îò ñòàðûõ êîîðäèíàò è íîâûõ èìïóëüñîâ (è âðåìåíè).